Θέματα Μαθηματικών

[Jeronymo Simonstone]

paei na pei oti i sinartisi den pairnei pio mikres times apo ti sigkekrimeni, ara i sigkekrimeni timi einai i elaxisti timi tis f sto sigkekrimeno diastima.

Διαισθητικά συμφωνώ μαζί σου, πρέπει να είναι έτσι. Μα δεν βλέπω τρόπο να αποδείξουμε πως χωρίς περαιτέρω υπόθεση.



Υγ. Θέλουμε και άλλες ασκήσεις ανάλυσης

[NickNafplio]

paei na pei oti i sinartisi den pairnei pio mikres times apo ti sigkekrimeni, ara i sigkekrimeni timi einai i elaxisti timi tis f sto sigkekrimeno diastima.

Διαισθητικά συμφωνώ μαζί σου, πρέπει να είναι έτσι. Μα δεν βλέπω τρόπο να αποδείξουμε πως χωρίς περαιτέρω υπόθεση.



Υγ. Θέλουμε και άλλες ασκήσεις ανάλυσης

Nomizo oti isxiei to parakatw:

inf(f) = inf(f([a, b])) = a, kai epidi to f([a, b]) einai kleisto exoume oti to a anikei sto f([a, b]), ara iparxei m tetoio oste f(m) = a = inf(f).

To oti inf(f) = inf(f([a, b])) to apodikneiw afstira ws eksis:
esto k = inf(f), tote f(x) >= k gia kathe x sto [a, b] => s >= k gia kathe s sto f([a, b])
esto tora e >= 0, epidi k = inf(f), iparxei n tetoio oste k =< f(n) =< k + e diladi iparxei u = f(n) sto f([a, b]) tetoio oste k =< u =< k + e. To telefteo isxiei gia to tixaio e > 0. Ara k = inf(f[a, b]).

Ena para poli diskolo provlima analisis pou apaitei poli anoteres gnoseis einai to eksis:
Esto f apeiros paragogisimi sinartisi oste gia kathe x sto R na iparxei n fisikos tetoios oste f^{n}(x) = 0. Ndo i f einai polionimo. (me f^{n} simvolizo ti n-osti paragogo)

[Jeronymo Simonstone]

inf(f) = inf(f([a, b])) = a, kai epidi to f([a, b]) einai kleisto exoume oti to a anikei sto f([a, b]), ara iparxei m tetoio oste f(m) = a = inf(f)...

Bρε συμφωνώ πως διαισθητικά αυτό μας λέει το πρόβλημα, μα χωρίς συνέχεια δεν μπορούμε να πούμε ότι το διάστημα είναι το και όχι το .

Esto f apeiros paragogisimi sinartisi oste gia kathe x sto R na iparxei n fisikos tetoios oste f^{n}(x) = 0. Ndo i f einai polionimo.

Χμμμ...

Έστω ότι ισχύει η άρνηση της συνθήκης. Τότε υπάρχει τέτοιο ώστε . Άρα
αν αναπτύξουμε κατά Taylor περί το , η δεν μπορεί να είναι πολυώνυμο.

...
Βέβαια αυτή η απόδειξη πάσχει
έχω αυτόματα υποθέσει πως η απείρως παραγωγίσιμη είναι και αναλυτική...
Ενδιαφέρον πρόβλημα. Για να δούμε...

[NickNafplio]

Τα πραγματα ειναι απλα και χωρις λογο τα κανουμε δυσκολα... η εικονα της f στο [α, β] ειναι ενα κλειστο διαστημα [μ, Μ], επομενως το μ ειναι ελαχιστη τιμη της f στο [α, β].

Απο τη στιγμη που το μ ανοικει στο κλειστο διαστημα [μ, Μ], υπαρχει κ στο [α, β] ωστε f(k) = μ, ενω η f δεν παιρνει μικροτερες τιμες λογο του οτι για ν < μ το ν δεν ανοικει στο [μ, Μ], αρα το μ ειναι ελαχιστη τιμη της f στο [α, β].

Δεν χρειαζεται να πουμε τιποτα αλλο

Για να τελειωσει καποια στιγμη αυτη η διαφωνια, ανοιξα τοπικ για το συγκεκριμενο ζητημα εδω:

http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... f=9&t=3644

[spartiatisgx]

Καλησπερα.
Παρακολουθω το μαθημα της θεωριας συνολων και εχω να πω οτι ειναι πολυ ενδιαφερον αλλα και απο εκεινα που με μπερδευουν αρκετα.......

Το ερωτημα μου ειναι το εξης:

Aν εχω οτι p<-->q οπου p,q ειναι προτασεις και δεχτω οτι ειναι η συνολικη προταση(p<-->q) ειναι αληθης τοτε ειτε p,q και τα δυο αληθη ειτε και τα δυο ψευδη;

Bασικα σε μια ασκηση μας λεει να δειξουμε οτι δεν υπαρχει συνολο Α τετοιο ωστε για συνολο Χ να ισχυει

ΠΡΟΤΑΣΗ: Α ανηκει στο Α <-->το Α δεν ειναι αθεμελιωτο.

Το παει με ατοπο,δηλ οτι υπαρχει Α τετοιο ωστε να ειναι αληθης η ΠΡΟΤΑΣΗ.
Και σε καποιο σημειο της αποδειξης λεει οτι εστω οτι το Α δεν ανηκει στο Α=> το Α ειναι αθεμελιωτο.Αυτο γιατι ισχυει;
Αυτο προκυπτει διοτι επειδη εχουμε δεχτει οτι η ΠΡΟΤΑΣΗ ειναι αληθης το Α δεν ανηκει στο Α =>το Α ανηκει στο Α ειναι ψευδες => οτι πρεπει και το Α δεν ειναι αθεμελιωτο να ειναι ψευδες κι αρα το Α πρεπει να ειναι αθεμελιωτο;

Mπορει να μην ειναι σαφες αυτο που ρωταω ετσι οπως το διατυπωνω...

[Philip+]

Aν εχω οτι p<-->q οπου p,q ειναι προτασεις και δεχτω οτι ειναι η συνολικη προταση(p<-->q) ειναι αληθης τοτε ειτε p,q και τα δυο αληθη ειτε και τα δυο ψευδη;

Ακριβώς. Για να το 'αποδείξεις' :

(p-->q) είναι True αν και μόνο αν
----------------------------
Είτε p,q είναι T
είτε το p είναι F (και τό q ότι ναναι.)

Οπότε επειδή το (p<-->q) είναι στην ουσία (p-->q) και (q-->p) το αποτέλεσμα έπεται.



Για το πραγματικό πρόβλημα, άπο όσο κατάλαβα αυτό που λες στο τέλος είναι μια απόδειξη αυτού.

Έπειδή κάικα και έγραφα τόση ώρα το ίδιο πράγμα υπεραναλύτικα ..πάρτο το ίδιο επιχείρημα και έτσι

Αν θεωρήσεις ότι ισχύει το ακόλουθο :

Α ανηκει στο Α <-->το Α δεν ειναι αθεμελιωτο. (1)

Τότε, θα δείξουμε την συνεπαγωγή : (*) Α δεν ανηκει στο Α=> το Α ειναι αθεμελιωτο.
{Για να το δείξουμε αύτο πρέπει να αποδείξουμε ότι αν για το Α ισχύει η εξής πρόταση "Α δεν ανηκει στο Α", τότε " το Α ειναι αθεμελιωτο"}

Τα συστατικά που θα χρειστείς να το δείξεις {δεδομένου του (1)} είναι η διπλή συνεπαγωγή του (1) και το γεγονός ότι είτε το Α είναι αθεμελίωτο είτε το Α δεν είναι αθεμελίωτο
------------------------------------------------------------------------------
Ξέρεις απο (1) ότι : (2) Α δεν ειναι αθεμελιωτο => Α ανηκει στο Α

Επίσης υποθέτεις το αριστερό σκέλος του (*) για το Α. Επειδή το Α είναι είτε αθεμελιώτο είτε όχι, αρκεί να υποθέσουμε ότι το αριστερο σκελός του (*) συνεπάγεται ότι το Α δεν είναι αθεμελίωτο και να φτάσουμε σε άτοπο.

Υποθέτοντας αυτό {δηλαδή ότι το Α δεν είναι αθεμελίωτο} απο το (2) έχουμε ότι : (3) 'Α ανήκει Α'.

Τελικά 'Α ανήκει Α' απο τον παραπάνω συλλογισμό και 'Α δεν ανήκει Α'. ΑΤΟΠΟ.

Άρα, δεδομένου του (1), αν το Α δεν ανηκει στο Α τοτε το Α ειναι αθεμελιωτο (αφού μόλις δείξαμε ότι είναι ΑΤΟΠΟ να μην είναι αθεμελιώτο), δηλαδη με άλλα λόγια δεδομένου του (1) => Α δεν ανηκει στο Α=> το Α ειναι αθεμελιωτο.

-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------

Δεν έχει τίποτα το περίεργο ή δύσκολο αυτό το επιχείρημα, απλά τα βάζεις όλα κάτω και ακολουθείς του απλούς λογικους κανόνες. Θέλει απλά εξασκήση και μετά θα προκύπτει φυσικά όλο αυτό νομίζω... άμα επιμείνεις λίγο, επείδη καλά τα λες θα αρχίσουν όλα να ξεκαθαρίζουνννννν

[spartiatisgx]

σε ευχαριστω Philip+

[spartiatisgx]

Οποιος έχει διαθεση να βοηθησει τον παρακαλω:

Eιναι μαι ασκηση που ζηταει να δειξουμε οτι η συλλογη ολων των μονοσυνολων δεν ειναι συνολο,δηλ οτι το:

X={x| x is a singleton} δεν ειναι συνολο αλλα σωστη κλαση και σαν hint μου λεει να παω με ατοπο.

Λοιπον υποθετω οτι το Χ ειναι συνολο.Τοτε απο το αξιωμα του ζευγους εχω οτι το {Χ,Χ} ειναι συνολο κι αρα το {Χ} είναι συνολο.
Ομως το {Χ} ειναι μονοσυνολο κι αρα το {Χ} ανηκει στο Χ.
ΑΤΟΠΟ νομιζω .



Ελπιζω ο Philip+ που με ειχε βοηθησει και προηγουμενως να με διαφωτισει

[NickNafplio]

Κοιτα το οτι ενα στοιχειο ανηκει σε ενα συνολο δεν σημαινει οτι ειναι υποσυνολο του, παρε πχ το συνολο {{α}}, δηλαδη το μονοσυνολο που εχει ως στοιχειο του το μονοσυνολο {α}, τοτε εχεις {α} ανηκει στο {{α}}, ομως το {α} δεν ειναι υποσυνολο του {{α}} διοτι περιεχει ενα στοιχειο (το α) το οποιο δεν ειναι στοιχειο του {{α}}

Για το προβλημα τωρα μια ιδεα ειναι η εξης: παιρνουμε το δυναμοσυνολο του Χ, δηλαδη το 2^Χ, τοτε σε καθε στοιχειο Υ του 2^Χ αντιστοιχιζεται το μονοσυνολο {Υ}. Χρησημοποιοντας το οτι δυο συνολα ειναι ισα αν και μονο αν περιεχουν ακριβως τα ιδια στοιχεια, δεν εινα δυσκολο να δουμε οτι η παραπανω αντιστοιχια ειναι 1-1... αυτο ομως ειναι ατοπο διοτι δεν μπορει να υπαρξει 1-1 αντιστοιχια απο το 2^Χ στο Χ διοτι το Χ εχει παντα μικροτερη πληθηκοτητα απο το 2^Χ

[1/2rizax]

Θα μπορούσες άραγε να πας και μέσω του αξιώματος της ένωσης; Πάρε Χ την κλάση των μονοσυνόλων, λόγω του αξιώματος της ένωσης υπάρχει σύνολο με μέλη τα μέλη των μελών του Χ. Δηλαδή υπάρχει το σύνολο όλων των συνόλων, άτοπο από παράδοξο Ράσελ.

[NickNafplio]

Θα μπορούσες άραγε να πας και μέσω του αξιώματος της ένωσης; Πάρε Χ την κλάση των μονοσυνόλων, λόγω του αξιώματος της ένωσης υπάρχει σύνολο με μέλη τα μέλη των μελών του Χ. Δηλαδή υπάρχει το σύνολο όλων των συνόλων, άτοπο από παράδοξο Ράσελ.

Πολυ σωστα, μονο που το αξιωμα που χρησημοποιεις ειναι το αξιωμα της επιλογης και οχι της ενωσης (νομιζω)

[1/2rizax]

Χμμ... γιατί νικ; Αφού δεν πήρα μια επιλογή από στοιχεία του Χ, πήρα όλα τα στοιχεία του Χ.
ΥΓ. Χρόνια πολλά

[spartiatisgx]

Και γιατι εαν παρω την ενωση προκυπτει το συνολο ολων των συνολων;
Πως προκυπτει ότι εαν Χ ειναι η κλαση ολων των μονοσυνολων τοτε η ενωση αυτης ειναι η κλαση ολων των συνολων;
Δεν μου ακουγεται παραλογο αλλα ουτε μπορω απλα να το δεχτω..

Kαλα οκ.Ειναι βραδυ και τα εχω παιξει.

Έστω Χ={{y}:οπου y ενα οποιοδηποτε συνολο}.Τοτε το Χ ειναι η συλλογη ολων των μονοσυνολοων κι αν δεχτουμε οτι το Χ ειναι συνολο τοτε η UX θα ειναι συνολο και στοιχεια της θα ειναι ακριβως τα στοιχεια των στοιχειων της, δηλαδη τα s ,κι αρα ολα τα συνολα.Αρα το συνολο ολων των συνολων ειναι συνολο ατοπο.


edit: Νick μου φαινεται σωστο το σκεπτικο σου.Στην ασκηση λεει οτι μπορουμε να χρησιμοποιησουμε μονο το αξιωμα της εκτασης ,του ζευγους,του κενου συνολου,του δυναμοσυνολου,της ενωσης και του διαχωρισμου.Υποτιθεται οτι ξερεις μονο αυτα και οχι για πληθηκοτητες!Οποτε πρεπει να το αποδειξω μονο με αυτα!!!

Χρονια πολλα


edit 2: Παντως πιστευω οτι το {Χ} ανηκει στο Χ ειναι ατοπο αλλα δεν μπορω τετοια ωρα να το δειξω.Θα προσπαθησω κι αυριο

[spartiatisgx]

Λοιπον εχω μια ιδεα αλλα πιθανως να κανω λαθος!(Συνηθως οταν ειμαι σιγουρος αυτο γινεται):

έστω ότι το σύνολο ολων των μονοσυνολων είναι συνολο,δηλ το:

Χ={{y}:το y ενα οποιοδηποτε συνολο}.
Τοτε απο την αρχη του διαχωρισμου το :
Β={{z} του Χ:για τα οποια το {z} δεν ανηκει στο z} ειναι συνολο.

Το {Β} ειτε ανηκει στο Β ειτε οχι.

Εστω οτι το {Β} ανηκει στο Β.Τοτε ως μονοσυνολο θα ανηκει στο Χ και επιπλεον θα πρεπει το {Β} να μην ανηκει στο Β.
ΑΤΟΠΟ.
Εστω οτι το {Β} δεν ανηκει στο Β.Τοτε το {Β} ως μονοσυνολο θα ανηκει στο Χ και θα πρεπει το {Β} να ανηκει στο Β(αφου δεν πρεπει να ικανοποιειται η χαρακτηριστικη ιδιοτητα που πρεπει ενα μονοσυνολο να εχει ωστε να ανηκει στο Β).
ΑΤΟΠΟ.
Αρα οδηγουμαστε σε αντιφαση διοτι {Β} ανηκει στο Β αν και μονον αν το {Β} δεν ανηκει στο Β.

Αρα το Χ δεν ειναι συνολο.

[1/2rizax]

Δηλαδή τα μόνα αξιώματα που δε μπορείς να χρησιμοποιήσεις είναι το αξίωμα του απείρου και το αξίωμα της επιλογής. Στην απόδειξη του Νίκου δε χρησιμοποιείται κάποιο από αυτά. Δες πχ και στις σημειώσεις του Κολέτσου. Το θ. του Καντόρ ότι Χ<Ρ(Χ) (σελ. 21) αποδεικνύεται πριν μιλήσει για AC.
Οπότε δεν υπάρχει κάποιο πρόβλημα, μπορείς να την χρησιμοποιήσεις.