Θέματα Μαθηματικών
Συντονιστές: kostas213, markelos, Tulis
- apolski
- Δημοσιεύσεις: 846
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 21, 2007 3:09 pm
- Real Name: ---
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: UK
Re: Θέματα Μαθηματικών
Κωστα και Νικο, ωραιε οι λυσεις σας!
Για την ασκηση με την ακολουθια εχω λιγο διαφορετικη λυση.
Με την μεθοδο της μαθηματικης επαγωγης δειχνουμε ευκολα οτι
οπου
Για n=1 ισχυει. Εστω οτι ισχυει για καποιο n=k, οποτε
Αρα αποδειξαμε οτι
Επιπλεον για καθε m
(*)
Αν για n αρτιο, δηλαδη , τοτε απο την (*) προκυπτει οτι για καθε m.
Αν (k,m,s θετικοι ακεραιοι) τοτε απο τα πανω χουμε οτι δηλαδη
και απο την (*) εχουμε
Και οι δυο ριζες της τελευταιας εξισωσης ειναι αρρητοι αριθμοι .
Ατοπο καθως ολα τα πρεπει να ειναι ρητοι αριθμοι (γιατι καθε αριθμος της μορφης με x ρητο ειναι ρητος.)
Για την ασκηση με την ακολουθια εχω λιγο διαφορετικη λυση.
Με την μεθοδο της μαθηματικης επαγωγης δειχνουμε ευκολα οτι
οπου
Για n=1 ισχυει. Εστω οτι ισχυει για καποιο n=k, οποτε
Αρα αποδειξαμε οτι
Επιπλεον για καθε m
(*)
Αν για n αρτιο, δηλαδη , τοτε απο την (*) προκυπτει οτι για καθε m.
Αν (k,m,s θετικοι ακεραιοι) τοτε απο τα πανω χουμε οτι δηλαδη
και απο την (*) εχουμε
Και οι δυο ριζες της τελευταιας εξισωσης ειναι αρρητοι αριθμοι .
Ατοπο καθως ολα τα πρεπει να ειναι ρητοι αριθμοι (γιατι καθε αριθμος της μορφης με x ρητο ειναι ρητος.)
- apolski
- Δημοσιεύσεις: 846
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 21, 2007 3:09 pm
- Real Name: ---
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: UK
Re: Θέματα Μαθηματικών
Εστω , για καθε και a>0
Υπολογιστε το αθροισμα
Υπολογιστε το αθροισμα
- antony07
- Forum Moderator
- Δημοσιεύσεις: 1673
- Εγγραφή: Τετ Νοέμ 15, 2006 4:37 pm
- Real Name: Αντώνης
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: Uncertain (by principle)
- Επικοινωνία:
Re: Θέματα Μαθηματικών
Ορίστε κι ένα γλυκούλι προβληματάκι που το έβαλε ο Παπ στην επαναληπτική του "Θεωρία Αριθμών & Κρύπτο". Μου είπε ότι προέρχεται από διαγωνισμό, αλλά δεν θυμάμαι από ποιόν...
Έστω ο φυσικός ν. Ο φυσικός αριθμός Α αποτελείται από 2ν ψηφία καθένα από τα οποία είναι το 4, ενώ ένας άλλος φυσικός Β αποτελείται από ν ψηφία καθένα από τα οποία είναι το 8. Να δειχθεί ότι ο φυσικός Α+2Β+4 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου αριθμού!
Έστω ο φυσικός ν. Ο φυσικός αριθμός Α αποτελείται από 2ν ψηφία καθένα από τα οποία είναι το 4, ενώ ένας άλλος φυσικός Β αποτελείται από ν ψηφία καθένα από τα οποία είναι το 8. Να δειχθεί ότι ο φυσικός Α+2Β+4 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου αριθμού!
"Ωραία παιδιά κατάχαμα κυλάει
το πιο ωραίο ρόδο απ' το στεφάνι σας
αδράξτε κάθε τι που προσπερνάει
μα αν σε βιτρίνα εμπρός βρεθεί η χάρη σας
ή σε γκισέ, φυλάξτε το τομάρι σας
θυμάστε, Colin de Cayeux τον λέγανε
το άσυλο εμπιστεύτηκε ναι σαν κι εσάς,
σημάδεψε ο μπάτσος και τον ξέκανε"
το πιο ωραίο ρόδο απ' το στεφάνι σας
αδράξτε κάθε τι που προσπερνάει
μα αν σε βιτρίνα εμπρός βρεθεί η χάρη σας
ή σε γκισέ, φυλάξτε το τομάρι σας
θυμάστε, Colin de Cayeux τον λέγανε
το άσυλο εμπιστεύτηκε ναι σαν κι εσάς,
σημάδεψε ο μπάτσος και τον ξέκανε"
- NickNafplio
- Δημοσιεύσεις: 705
- Εγγραφή: Τρί Ιούλ 01, 2008 5:50 pm
- Real Name: Νικος (mod(p^n)) ...
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom
Re: Θέματα Μαθηματικών
Poli oraio, paromio eixe mpei prin kati xronia sti Balkaniki mathimatiki Olimpiada alla ligo diaforetikoantony07 έγραψε:Ορίστε κι ένα γλυκούλι προβληματάκι που το έβαλε ο Παπ στην επαναληπτική του "Θεωρία Αριθμών & Κρύπτο". Μου είπε ότι προέρχεται από διαγωνισμό, αλλά δεν θυμάμαι από ποιόν...
Έστω ο φυσικός ν. Ο φυσικός αριθμός Α αποτελείται από 2ν ψηφία καθένα από τα οποία είναι το 4, ενώ ένας άλλος φυσικός Β αποτελείται από ν ψηφία καθένα από τα οποία είναι το 8. Να δειχθεί ότι ο φυσικός Α+2Β+4 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου αριθμού!
O arithmos einai isos me:
to opoio einai teleio tetragono akeraiou efoson diksoume oti o arithmos einai pollaplasio tou 3. Pragmati:
opote i apodiksi oloklirothike!
PS: Sorry gia ta greeklish, kati pathenei to pc merikes fores kai den allazei i glossa.
Ο νεοφιλελές της διπλανής πόρτας
- antony07
- Forum Moderator
- Δημοσιεύσεις: 1673
- Εγγραφή: Τετ Νοέμ 15, 2006 4:37 pm
- Real Name: Αντώνης
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: Uncertain (by principle)
- Επικοινωνία:
Re: Θέματα Μαθηματικών
Πολύ καλή απόδειξη!
Τώρα που θυμήθηκα τον Παπ, πάρτε και ένα ιστορικό ( ) θέμα από τα Διακριτά! Αντιγράφω (κατά λέξη):
Η Αντριάνα έφυγε από την Αθήνα για 14 μέρες και έκανε συνολικά 17 υπεραστικά τηλέφωνα στον Καρεμπέ της.Αν έκανε τουλάχιστον ένα τηλεφώνημα κάθε μέρα, δείξτε ότι υπάρχει ένα σύνολο διαδοχικών ημερών που έκανε ακριβώς 10 τηλεφωνήματα!!
Προφανώς, απαιτείται η χρήση της αρχής του περιστερεώνα....
Τώρα που θυμήθηκα τον Παπ, πάρτε και ένα ιστορικό ( ) θέμα από τα Διακριτά! Αντιγράφω (κατά λέξη):
Η Αντριάνα έφυγε από την Αθήνα για 14 μέρες και έκανε συνολικά 17 υπεραστικά τηλέφωνα στον Καρεμπέ της.Αν έκανε τουλάχιστον ένα τηλεφώνημα κάθε μέρα, δείξτε ότι υπάρχει ένα σύνολο διαδοχικών ημερών που έκανε ακριβώς 10 τηλεφωνήματα!!
Προφανώς, απαιτείται η χρήση της αρχής του περιστερεώνα....
"Ωραία παιδιά κατάχαμα κυλάει
το πιο ωραίο ρόδο απ' το στεφάνι σας
αδράξτε κάθε τι που προσπερνάει
μα αν σε βιτρίνα εμπρός βρεθεί η χάρη σας
ή σε γκισέ, φυλάξτε το τομάρι σας
θυμάστε, Colin de Cayeux τον λέγανε
το άσυλο εμπιστεύτηκε ναι σαν κι εσάς,
σημάδεψε ο μπάτσος και τον ξέκανε"
το πιο ωραίο ρόδο απ' το στεφάνι σας
αδράξτε κάθε τι που προσπερνάει
μα αν σε βιτρίνα εμπρός βρεθεί η χάρη σας
ή σε γκισέ, φυλάξτε το τομάρι σας
θυμάστε, Colin de Cayeux τον λέγανε
το άσυλο εμπιστεύτηκε ναι σαν κι εσάς,
σημάδεψε ο μπάτσος και τον ξέκανε"
- antony07
- Forum Moderator
- Δημοσιεύσεις: 1673
- Εγγραφή: Τετ Νοέμ 15, 2006 4:37 pm
- Real Name: Αντώνης
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: Uncertain (by principle)
- Επικοινωνία:
Re: Θέματα Μαθηματικών
Και μία καλή από Ολυμπιάδα:
Για κάθε φυσικό αριθμό n να υπολογιστεί το άθροισμα:
όπου το [ ], συμβολίζει ακέραιο μέρος!
Για κάθε φυσικό αριθμό n να υπολογιστεί το άθροισμα:
όπου το [ ], συμβολίζει ακέραιο μέρος!
"Ωραία παιδιά κατάχαμα κυλάει
το πιο ωραίο ρόδο απ' το στεφάνι σας
αδράξτε κάθε τι που προσπερνάει
μα αν σε βιτρίνα εμπρός βρεθεί η χάρη σας
ή σε γκισέ, φυλάξτε το τομάρι σας
θυμάστε, Colin de Cayeux τον λέγανε
το άσυλο εμπιστεύτηκε ναι σαν κι εσάς,
σημάδεψε ο μπάτσος και τον ξέκανε"
το πιο ωραίο ρόδο απ' το στεφάνι σας
αδράξτε κάθε τι που προσπερνάει
μα αν σε βιτρίνα εμπρός βρεθεί η χάρη σας
ή σε γκισέ, φυλάξτε το τομάρι σας
θυμάστε, Colin de Cayeux τον λέγανε
το άσυλο εμπιστεύτηκε ναι σαν κι εσάς,
σημάδεψε ο μπάτσος και τον ξέκανε"
- NickNafplio
- Δημοσιεύσεις: 705
- Εγγραφή: Τρί Ιούλ 01, 2008 5:50 pm
- Real Name: Νικος (mod(p^n)) ...
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom
Re: Θέματα Μαθηματικών
Αυτη με τον Καρεμπε λυνεται ακριβος οπως το 2ο θεμα στον Αρχιμιδη 2001:
http://www.hms.gr/eme/modules/wfsection ... icleid=323
Θυμομουν κατι λιγα απο το θεμα αυτο του Αρχιμιδη (το ειχα κοιταξει λιγακι πριν κατι μηνες) αλλα παρ ολα αυτα δεν υπηρχε περιπτωση να βγαλω μονος μου την ασκηση με τον Καρεμπε, διοτι τον περασμενο Ιουνιο αρχισα να διαβαζω μαθηματικα (περα απο αυτα του σχολειου) και η Συνδιαστικη ειναι ο μονος κλαδος με τον οποιο δεν εχω προλαβει να ασχοληθω καθολου.
Ειναι και ο Seemous σε 5 μηνες, μακαρι να προλαβαινα μεχρι τοτε να διαβασω και να μαθω τιποτα απο Διακριτα. Αλλα με τις μηχανικες που θα εχουμε να διαβαζουμε ολο το χειμωνα (εχω ακουσει οτι ειναι αρκετα ζορικες) δεν το βλεπω...
http://www.hms.gr/eme/modules/wfsection ... icleid=323
Θυμομουν κατι λιγα απο το θεμα αυτο του Αρχιμιδη (το ειχα κοιταξει λιγακι πριν κατι μηνες) αλλα παρ ολα αυτα δεν υπηρχε περιπτωση να βγαλω μονος μου την ασκηση με τον Καρεμπε, διοτι τον περασμενο Ιουνιο αρχισα να διαβαζω μαθηματικα (περα απο αυτα του σχολειου) και η Συνδιαστικη ειναι ο μονος κλαδος με τον οποιο δεν εχω προλαβει να ασχοληθω καθολου.
Ειναι και ο Seemous σε 5 μηνες, μακαρι να προλαβαινα μεχρι τοτε να διαβασω και να μαθω τιποτα απο Διακριτα. Αλλα με τις μηχανικες που θα εχουμε να διαβαζουμε ολο το χειμωνα (εχω ακουσει οτι ειναι αρκετα ζορικες) δεν το βλεπω...
Ο νεοφιλελές της διπλανής πόρτας
- apolski
- Δημοσιεύσεις: 846
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 21, 2007 3:09 pm
- Real Name: ---
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: UK
Re: Θέματα Μαθηματικών
antony07 έγραψε:Και μία καλή από Ολυμπιάδα:
Για κάθε φυσικό αριθμό n να υπολογιστεί το άθροισμα:
όπου το [ ], συμβολίζει ακέραιο μέρος!
ΥΓ. Ευχαριστουμε για το latex! Τωρα λειτουργει κανονικα
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος apolski την Τετ Οκτ 01, 2008 6:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- kostas.m
- Δημοσιεύσεις: 118
- Εγγραφή: Τρί Οκτ 23, 2007 3:24 pm
- Real Name: k.mastakas
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: Στο σταυροδρόμι
- Επικοινωνία:
Re: Θέματα Μαθηματικών
Ναι και εγώ αυτό βρήκα. Έχεις κάποια απόδειξη για αυτό?apolski έγραψε:[
Ειναι σωστο
"Πρέπει να μάθουμε, θα μάθουμε" David Hilbert
- antony07
- Forum Moderator
- Δημοσιεύσεις: 1673
- Εγγραφή: Τετ Νοέμ 15, 2006 4:37 pm
- Real Name: Αντώνης
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: Uncertain (by principle)
- Επικοινωνία:
Re: Θέματα Μαθηματικών
Κάπου είχα βρει μία.Το βραδάκι θα την βρω και θα σας την γράψω!
"Ωραία παιδιά κατάχαμα κυλάει
το πιο ωραίο ρόδο απ' το στεφάνι σας
αδράξτε κάθε τι που προσπερνάει
μα αν σε βιτρίνα εμπρός βρεθεί η χάρη σας
ή σε γκισέ, φυλάξτε το τομάρι σας
θυμάστε, Colin de Cayeux τον λέγανε
το άσυλο εμπιστεύτηκε ναι σαν κι εσάς,
σημάδεψε ο μπάτσος και τον ξέκανε"
το πιο ωραίο ρόδο απ' το στεφάνι σας
αδράξτε κάθε τι που προσπερνάει
μα αν σε βιτρίνα εμπρός βρεθεί η χάρη σας
ή σε γκισέ, φυλάξτε το τομάρι σας
θυμάστε, Colin de Cayeux τον λέγανε
το άσυλο εμπιστεύτηκε ναι σαν κι εσάς,
σημάδεψε ο μπάτσος και τον ξέκανε"
- kostas.m
- Δημοσιεύσεις: 118
- Εγγραφή: Τρί Οκτ 23, 2007 3:24 pm
- Real Name: k.mastakas
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: Στο σταυροδρόμι
- Επικοινωνία:
Re: Θέματα Μαθηματικών
Θα βάλω μία απόδειξη που σκέφτηκα.antony07 έγραψε:Κάπου είχα βρει μία.Το βραδάκι θα την βρω και θα σας την γράψω!
Στην άσκηση που έβαλες antony07 μου άρεσε η ιδέα που κρύβεται από πίσω.
Λοιπόν, πρώτα από όλα.
Κάθε φυσικός αριθμός n γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στην δυαδική του μορφή.
Δηλαδή, υπάρχουν και μοναδικοί συντελεστές , τέτοιοι ώστε
. Τότε,
.
Τώρα, στο άθροισμα ο δείκτης m τρέχε από 0 εως κ.
Γιατί μετά .
Και τώρα, παίρνοντας για τυχαίο . Έχω, ότι Και αθρίζοντας αυτά από m=1 εως k+1. Τότε, θα έχω ότι το άθροισμα θα είναι ίσο με
. Μετά πό τις πράξεις.
"Πρέπει να μάθουμε, θα μάθουμε" David Hilbert
- apolski
- Δημοσιεύσεις: 846
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 21, 2007 3:09 pm
- Real Name: ---
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: UK
Re: Θέματα Μαθηματικών
[/quote]kostas.m έγραψε: Ναι και εγώ αυτό βρήκα. Έχεις κάποια απόδειξη για αυτό?
Η αποδειξη μου δεν ειναι ακομα ετοιμη(εχει καποιες ελλειψεις) για αυτο θα την ποσταρω αργοτερα μολις την ολοκληρωσω..
- kostas.m
- Δημοσιεύσεις: 118
- Εγγραφή: Τρί Οκτ 23, 2007 3:24 pm
- Real Name: k.mastakas
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: Στο σταυροδρόμι
- Επικοινωνία:
Re: Θέματα Μαθηματικών
Και εμείς τι κάνουμε εδώ Νίκο. Μπρίκια κολαμε?NickNafplio έγραψε:Αυτη με τον Καρεμπε λυνεται ακριβος οπως το 2ο θεμα στον Αρχιμιδη 2001:
http://www.hms.gr/eme/modules/wfsection ... icleid=323
Θυμομουν κατι λιγα απο το θεμα αυτο του Αρχιμιδη (το ειχα κοιταξει λιγακι πριν κατι μηνες) αλλα παρ ολα αυτα δεν υπηρχε περιπτωση να βγαλω μονος μου την ασκηση με τον Καρεμπε, διοτι τον περασμενο Ιουνιο αρχισα να διαβαζω μαθηματικα (περα απο αυτα του σχολειου) και η Συνδιαστικη ειναι ο μονος κλαδος με τον οποιο δεν εχω προλαβει να ασχοληθω καθολου.
Ειναι και ο Seemous σε 5 μηνες, μακαρι να προλαβαινα μεχρι τοτε να διαβασω και να μαθω τιποτα απο Διακριτα. Αλλα με τις μηχανικες που θα εχουμε να διαβαζουμε ολο το χειμωνα (εχω ακουσει οτι ειναι αρκετα ζορικες) δεν το βλεπω...
Λοιπόν, βάζω κάποιες από τις στοιχειώδεις ασκήσεις που πρέπει να ξέρει κάποιoς αν ασχοληθεί με συνδυαστική.
1) Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω n αντικείμενα σε k<=n θέσεις (Διατάξεις των n ανα κ )
2)Πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς κ αντικειμένων από ν μπορώ να πάρω ( Συνδυασμοί των n ανα κ)
3)Αν έχω n αντικείμενα. Με πόσους τρόπους μπορώ να βάλω στο πρώτο σύνολο, στο δεύτερο,..., στο m-οστό σύνολο, έτσι ώστε . (Συνδυασμοί των n ανά k1,k2,...,km )
4)Να βρείτε πόσες διαφορετικές κ-αδες υπάρχουν αν και ,n>k. και όλοι είναι φυσικοί
5) Να βρείτε πόσες διαφορετικές κ-αδες υπάρχουν αν και και όλοι οι xi είναι ακέραιοι και n φυσικός
"Πρέπει να μάθουμε, θα μάθουμε" David Hilbert
- NickNafplio
- Δημοσιεύσεις: 705
- Εγγραφή: Τρί Ιούλ 01, 2008 5:50 pm
- Real Name: Νικος (mod(p^n)) ...
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom
Re: Θέματα Μαθηματικών
Νομιζω οτι εμεινε και αυτη αρκετο καιρο αλυτη. Εχω σκευτει κατι αλλα ισχυει μονο για συνεχεις συναρτησεις. Θελουμε να ειναι συνεχης η f?kostas.m έγραψε: 2)
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:R->R για τις οποίες για κάθε α,β στους πραγματικούς με α<β έχω ότι το η εικόνα f[α,β] είναι κλειστό διάστημα μήκους β-α.
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος NickNafplio την Σάβ Νοέμ 01, 2008 11:49 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ο νεοφιλελές της διπλανής πόρτας
- kostas.m
- Δημοσιεύσεις: 118
- Εγγραφή: Τρί Οκτ 23, 2007 3:24 pm
- Real Name: k.mastakas
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: Στο σταυροδρόμι
- Επικοινωνία:
Re: Θέματα Μαθηματικών
Ναι, έμεινε αρκετό καιρό άλυτη. Στην εκφώνηση δεν προϋποθέτει ότι είναι παραγωγίσιμη. Αλλά, ίσως να μπορείς να αποδείξεις ότι είναι παραγωγίσιμη .
"Πρέπει να μάθουμε, θα μάθουμε" David Hilbert