Απορια για κλειστα συνολα
Συντονιστές: kostas213, markelos, Tulis
- spartiatisgx
- Δημοσιεύσεις: 310
- Εγγραφή: Τετ Νοέμ 14, 2007 9:07 pm
- Τοποθεσία: ilisia,athens
Απορια για κλειστα συνολα
παιδια πως αποδεικνυουμε οτι ενα συνολο ειναι κλειστο;
πχ:οτι το Α={(x,y):x^2+y^2<=1} ειναι κλειστο υποσυνολο του R^2;
Ξερει κανεις κανα καλο βιβλιο για διαφορικη γεωμετρια παρεπιπτοντως;
EYΧΑΡΙΣΤΩ
πχ:οτι το Α={(x,y):x^2+y^2<=1} ειναι κλειστο υποσυνολο του R^2;
Ξερει κανεις κανα καλο βιβλιο για διαφορικη γεωμετρια παρεπιπτοντως;
EYΧΑΡΙΣΤΩ
- pao132003
- Δημοσιεύσεις: 1905
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 03, 2006 10:06 am
- Real Name: Γιάννης
- Gender: Male
- Τοποθεσία: Αθήνα(ως επί το πλείστον)
- Επικοινωνία:
Re: Απορια για κλειστα συνολα....
μπορείς να δείξεις ότι ισούται με την κλειστότητά του, ότι περιέχει κάθε οριακό του σημείο ή ότι είναι συμπλήρωμα ανοιχτού συνόλου.
διαφορική γεωμετρία το βιβλίο που μας διανέμεται νομίζω είναι πολύ καλό
διαφορική γεωμετρία το βιβλίο που μας διανέμεται νομίζω είναι πολύ καλό
No battle is ever won he said. They are not even fought. The field only reveals to man his own folly and despair, and victory is an illusion of philosophers and fools.
-William Faulkner, novelist (1897-1962)
H πιο επαναστατική πράξη σήμερα (2013) είναι να κρατήσεις ένα σχολείο ανοικτό.
-Άγνωστου
-William Faulkner, novelist (1897-1962)
H πιο επαναστατική πράξη σήμερα (2013) είναι να κρατήσεις ένα σχολείο ανοικτό.
-Άγνωστου
Re: Απορια για κλειστα συνολα
Πάρε μια ακολουθία (xn,yn) μέσα στο σύνολο Α που συγκλίνει στο (x,y) το οποίο ανήκει στο αρχικό μετρικό χώρο.
Θα είναι xn^2+yn^2<=1 => lim (xn^2+yn^2)<=1 => x^2+y^2<=1
Άρα (x,y) ανήκει στο Α.
Θα είναι xn^2+yn^2<=1 => lim (xn^2+yn^2)<=1 => x^2+y^2<=1
Άρα (x,y) ανήκει στο Α.
- armaos
- Δημοσιεύσεις: 258
- Εγγραφή: Τρί Νοέμ 06, 2007 8:43 pm
- Real Name: Αρμαος
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Επικοινωνία:
Re: Απορια για κλειστα συνολα
Φωτη απο την αποδειξη σου εχω δυο αποριες.
1. αν καταλαβα καλα εχεις στηριχτει σε καποια προταση της μορφης: "ενα συνολο Α ειναι κλειστο αν για καθε (Xn,Yn)->(X,Y) με (Xn,Yn)εΑ ισχυει οτι (X,Υ)εA". Απο που την εχεις βρει αυτη την προταση;
2. Οταν λες (Xn,Yn) μεσα στο Α, εννοεις οτι ολα τα στοιχεια της πλην πεπερασμενου πληθους βρισκονται μεσα στο Α;
Γιατι αν εννοεις αυτο τοτε νομιζω πως εξορισμου θα συνεκλινε η ακολουθια που διαλεξες κ αρα η επιλογη δεν θα ηταν τυχαια (αρα η αποδειξη θα ειναι λαθος).
1. αν καταλαβα καλα εχεις στηριχτει σε καποια προταση της μορφης: "ενα συνολο Α ειναι κλειστο αν για καθε (Xn,Yn)->(X,Y) με (Xn,Yn)εΑ ισχυει οτι (X,Υ)εA". Απο που την εχεις βρει αυτη την προταση;
2. Οταν λες (Xn,Yn) μεσα στο Α, εννοεις οτι ολα τα στοιχεια της πλην πεπερασμενου πληθους βρισκονται μεσα στο Α;
Γιατι αν εννοεις αυτο τοτε νομιζω πως εξορισμου θα συνεκλινε η ακολουθια που διαλεξες κ αρα η επιλογη δεν θα ηταν τυχαια (αρα η αποδειξη θα ειναι λαθος).
- armaos
- Δημοσιεύσεις: 258
- Εγγραφή: Τρί Νοέμ 06, 2007 8:43 pm
- Real Name: Αρμαος
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Επικοινωνία:
Re: Απορια για κλειστα συνολα
Με βαση τον ορισμο οτι κλειστο ειναι ενα συνολο οταν το συμπληρωμα του ειναι ανοικτο μπορουμε να πουμε τα εξης:
Εχουμε Α={(x,y) : x^2+y^2<=1}
Εστω (x1,y1)εR^2\A
τοτε θα ισχυει x1^2+y1^2>1. Θέτω ε1=x1^2+y1^2-1>0
Παίρνουμε το σύνολο Β1={(x1,y1) : (x-x1)^2+(y-y1)^2 < ε1}
Το συνολο Β1 είναι ανοικτο ως η ανοικτη σφαίρα S((x1,y1),ε1)
Προφανώς ισχυει Β1(τομη)Α=(κενο)
Αντιστοιχα ισχυει για καθε Βi με (xi,yi) να μην ανηκει στο Α
Αρα, αν παρουμε την οικογενεια των Βι, η ενωση τους ειναι ανοικτο συνολο ως ενωση ανοικτων συνολων κ επισης ισχυει (ενωση)Βι=R^2\A
Aρα R^2\A ανοικτο συνολο, αρα Α κλειστο
σορρυ αλλα δεν ξερω να γραφω με συμβολα (μαλλον καποια στιγμη πρεπει να μαθω )
Εχουμε Α={(x,y) : x^2+y^2<=1}
Εστω (x1,y1)εR^2\A
τοτε θα ισχυει x1^2+y1^2>1. Θέτω ε1=x1^2+y1^2-1>0
Παίρνουμε το σύνολο Β1={(x1,y1) : (x-x1)^2+(y-y1)^2 < ε1}
Το συνολο Β1 είναι ανοικτο ως η ανοικτη σφαίρα S((x1,y1),ε1)
Προφανώς ισχυει Β1(τομη)Α=(κενο)
Αντιστοιχα ισχυει για καθε Βi με (xi,yi) να μην ανηκει στο Α
Αρα, αν παρουμε την οικογενεια των Βι, η ενωση τους ειναι ανοικτο συνολο ως ενωση ανοικτων συνολων κ επισης ισχυει (ενωση)Βι=R^2\A
Aρα R^2\A ανοικτο συνολο, αρα Α κλειστο
σορρυ αλλα δεν ξερω να γραφω με συμβολα (μαλλον καποια στιγμη πρεπει να μαθω )
- antony07
- Forum Moderator
- Δημοσιεύσεις: 1673
- Εγγραφή: Τετ Νοέμ 15, 2006 4:37 pm
- Real Name: Αντώνης
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: Uncertain (by principle)
- Επικοινωνία:
Re: Απορια για κλειστα συνολα
Η πιο ασφαλής και απλή λύση είναι να αποδείξεις ότι είναι συμπλήρωμα ανοιχτού συνόλου. Αυτό θα το κάνεις με το να δείξεις (με χρήση της τριγωνικής ιδιότητας της μετρικής, όπως στις αποδείξεις της Πραγματικής) ότι για κάθε σημείο x που ανήκει στο συμπλήρωμα, η S(x,ε) είναι υποσύνολο του συμπληρώματος. Δεν σου γράφω το τεχνικό μέρος, για να το δουλέψεις εσύ. Αν κολλήσεις, εδώ είμαστε!
"Ωραία παιδιά κατάχαμα κυλάει
το πιο ωραίο ρόδο απ' το στεφάνι σας
αδράξτε κάθε τι που προσπερνάει
μα αν σε βιτρίνα εμπρός βρεθεί η χάρη σας
ή σε γκισέ, φυλάξτε το τομάρι σας
θυμάστε, Colin de Cayeux τον λέγανε
το άσυλο εμπιστεύτηκε ναι σαν κι εσάς,
σημάδεψε ο μπάτσος και τον ξέκανε"
το πιο ωραίο ρόδο απ' το στεφάνι σας
αδράξτε κάθε τι που προσπερνάει
μα αν σε βιτρίνα εμπρός βρεθεί η χάρη σας
ή σε γκισέ, φυλάξτε το τομάρι σας
θυμάστε, Colin de Cayeux τον λέγανε
το άσυλο εμπιστεύτηκε ναι σαν κι εσάς,
σημάδεψε ο μπάτσος και τον ξέκανε"
Re: Απορια για κλειστα συνολα
Υπάρχει πρόταση (αποδεικνύεται εύκολα) που εξασφαλίζει ότι ένα σύνολο είναι κλειστό αν, και μόνο αν, περιέχει τα όρια των συγκλινουσών ακολουθιών του.
Αυτό που έγραψα παραπάνω είναι " {(xn,yn) : nεΝ} υποσύνολο του Α ".
Όταν οι χώροι είναι αφηρημένοι ή πολύπλοκοι είναι ο πιο εύχρηστος τρόπος και χρησιμοποιείται συνέχεια στην ανάλυση. Όπως και με τη συμπάγεια, δύσκολα θα χρησιμοποιήσεις τον ορισμό με τα καλύμματα.
Αυτό που έγραψα παραπάνω είναι " {(xn,yn) : nεΝ} υποσύνολο του Α ".
Όταν οι χώροι είναι αφηρημένοι ή πολύπλοκοι είναι ο πιο εύχρηστος τρόπος και χρησιμοποιείται συνέχεια στην ανάλυση. Όπως και με τη συμπάγεια, δύσκολα θα χρησιμοποιήσεις τον ορισμό με τα καλύμματα.
- surf_tha_curl
- Δημοσιεύσεις: 101
- Εγγραφή: Πέμ Σεπ 27, 2007 9:54 pm
- Τοποθεσία: liquid
Re: Απορια για κλειστα συνολα
επισης μπορεις να το πας με συνεχεια συναρτήσεων :
εστω f(x,y) : R^2 ----> R
με f(x,y)=(x^2 + y^2)^1/2
η συναρτηση ειναι συνεχης (2-norm)
και το κλειστο διαστημα [0,1] επιστρέφει μέσω της αντιστροφής της f στο σύνολο που θες
αρα ειναι κλειστό
εστω f(x,y) : R^2 ----> R
με f(x,y)=(x^2 + y^2)^1/2
η συναρτηση ειναι συνεχης (2-norm)
και το κλειστο διαστημα [0,1] επιστρέφει μέσω της αντιστροφής της f στο σύνολο που θες
αρα ειναι κλειστό
Re: Απορια για κλειστα συνολα
Μια χαρά είναι η απόδειξη του φώτη. Αρμάο, για το 2ο ερώτημά σου μπορείς να θεωρήσεις το σύνολο Β=(0,1) και την ακολουθία 1/ν. Όλα τα στοιχεία της 1/ν ανήκουν στο Β αλλά το όριό της όχι. (Αυτό μάλιστα δείχνει ότι το Β δεν είναι κλειστό.) Άρα δεν ισχύει αυτόματα αυτό που έγραψες.
- spartiatisgx
- Δημοσιεύσεις: 310
- Εγγραφή: Τετ Νοέμ 14, 2007 9:07 pm
- Τοποθεσία: ilisia,athens
Re: Απορια για κλειστα συνολα
ευχαριστω...τωρα καταλαβαινω τι λαθος εκανα που δεν παρακολουθησα πραγματικη αναλυση!!!!!
κριμα....αραγε εχει κανεις κανα καλο βιβλιο πραγματικης στο νου του;περαν των σημειωσεων του καθηγητη που τις εχω...εννοειται ακομη και ξενογλωσσα να ειναι τα διαβαζω εστω και με πιο αργο ρυθμο.......
κριμα....αραγε εχει κανεις κανα καλο βιβλιο πραγματικης στο νου του;περαν των σημειωσεων του καθηγητη που τις εχω...εννοειται ακομη και ξενογλωσσα να ειναι τα διαβαζω εστω και με πιο αργο ρυθμο.......
Re: Απορια για κλειστα συνολα
1. Metric Spaces, Shirali, Satish, Vasudeva, Harkrishan L.
2. Metric Spaces, Ó Searcóid, Mícheál
3. Introduction to Metric and Topological Spaces, W. A. Sutherland
4. Γενική τοπολογία και συναρτησιακή ανάλυση, Νεγρεπόντης,...
Τα δύο πρώτα μπορείς να τα βρεις στο www.gigapedia.org
2. Metric Spaces, Ó Searcóid, Mícheál
3. Introduction to Metric and Topological Spaces, W. A. Sutherland
4. Γενική τοπολογία και συναρτησιακή ανάλυση, Νεγρεπόντης,...
Τα δύο πρώτα μπορείς να τα βρεις στο www.gigapedia.org
- spartiatisgx
- Δημοσιεύσεις: 310
- Εγγραφή: Τετ Νοέμ 14, 2007 9:07 pm
- Τοποθεσία: ilisia,athens
Re: Απορια για κλειστα συνολα
σε ευχαριστω Φωτη...μαλλον γαυρος πρεπει να εισαι!!!!