Απορια για κλειστα συνολα

Βρήκες ή ψάχνεις κάτι ενδιαφέρον για τους τομείς των Μαθηματικών, της Φυσικής ή της Πληροφορικής; Για πέρνα να τα πούμε...

Συντονιστές: kostas213, markelos, Tulis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
spartiatisgx
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 14, 2007 9:07 pm
Τοποθεσία: ilisia,athens

Απορια για κλειστα συνολα

Δημοσίευση από spartiatisgx »

παιδια πως αποδεικνυουμε οτι ενα συνολο ειναι κλειστο;

πχ:οτι το Α={(x,y):x^2+y^2<=1} ειναι κλειστο υποσυνολο του R^2;
Ξερει κανεις κανα καλο βιβλιο για διαφορικη γεωμετρια παρεπιπτοντως;
EYΧΑΡΙΣΤΩ
Άβαταρ μέλους
pao132003
Δημοσιεύσεις: 1905
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 03, 2006 10:06 am
Real Name: Γιάννης
Gender: Male
Τοποθεσία: Αθήνα(ως επί το πλείστον)
Επικοινωνία:

Re: Απορια για κλειστα συνολα....

Δημοσίευση από pao132003 »

μπορείς να δείξεις ότι ισούται με την κλειστότητά του, ότι περιέχει κάθε οριακό του σημείο ή ότι είναι συμπλήρωμα ανοιχτού συνόλου.

διαφορική γεωμετρία το βιβλίο που μας διανέμεται νομίζω είναι πολύ καλό
No battle is ever won he said. They are not even fought. The field only reveals to man his own folly and despair, and victory is an illusion of philosophers and fools.
-William Faulkner, novelist (1897-1962)

H πιο επαναστατική πράξη σήμερα (2013) είναι να κρατήσεις ένα σχολείο ανοικτό.
-Άγνωστου
fotispnb
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Τετ Ιαν 17, 2007 3:03 pm

Re: Απορια για κλειστα συνολα

Δημοσίευση από fotispnb »

Πάρε μια ακολουθία (xn,yn) μέσα στο σύνολο Α που συγκλίνει στο (x,y) το οποίο ανήκει στο αρχικό μετρικό χώρο.
Θα είναι xn^2+yn^2<=1 => lim (xn^2+yn^2)<=1 => x^2+y^2<=1
Άρα (x,y) ανήκει στο Α.
Άβαταρ μέλους
armaos
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 06, 2007 8:43 pm
Real Name: Αρμαος
Gender: Male
Facebook ID: 0
Επικοινωνία:

Re: Απορια για κλειστα συνολα

Δημοσίευση από armaos »

Φωτη απο την αποδειξη σου εχω δυο αποριες.

1. αν καταλαβα καλα εχεις στηριχτει σε καποια προταση της μορφης: "ενα συνολο Α ειναι κλειστο αν για καθε (Xn,Yn)->(X,Y) με (Xn,Yn)εΑ ισχυει οτι (X,Υ)εA". Απο που την εχεις βρει αυτη την προταση;

2. Οταν λες (Xn,Yn) μεσα στο Α, εννοεις οτι ολα τα στοιχεια της πλην πεπερασμενου πληθους βρισκονται μεσα στο Α;
Γιατι αν εννοεις αυτο τοτε νομιζω πως εξορισμου θα συνεκλινε η ακολουθια που διαλεξες κ αρα η επιλογη δεν θα ηταν τυχαια (αρα η αποδειξη θα ειναι λαθος).
Άβαταρ μέλους
armaos
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 06, 2007 8:43 pm
Real Name: Αρμαος
Gender: Male
Facebook ID: 0
Επικοινωνία:

Re: Απορια για κλειστα συνολα

Δημοσίευση από armaos »

Με βαση τον ορισμο οτι κλειστο ειναι ενα συνολο οταν το συμπληρωμα του ειναι ανοικτο μπορουμε να πουμε τα εξης:

Εχουμε Α={(x,y) : x^2+y^2<=1}
Εστω (x1,y1)εR^2\A
τοτε θα ισχυει x1^2+y1^2>1. Θέτω ε1=x1^2+y1^2-1>0
Παίρνουμε το σύνολο Β1={(x1,y1) : (x-x1)^2+(y-y1)^2 < ε1}
Το συνολο Β1 είναι ανοικτο ως η ανοικτη σφαίρα S((x1,y1),ε1)
Προφανώς ισχυει Β1(τομη)Α=(κενο)
Αντιστοιχα ισχυει για καθε Βi με (xi,yi) να μην ανηκει στο Α
Αρα, αν παρουμε την οικογενεια των Βι, η ενωση τους ειναι ανοικτο συνολο ως ενωση ανοικτων συνολων κ επισης ισχυει (ενωση)Βι=R^2\A
Aρα R^2\A ανοικτο συνολο, αρα Α κλειστο


σορρυ αλλα δεν ξερω να γραφω με συμβολα (μαλλον καποια στιγμη πρεπει να μαθω :) )
Άβαταρ μέλους
antony07
Forum Moderator
Forum Moderator
Δημοσιεύσεις: 1673
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 15, 2006 4:37 pm
Real Name: Αντώνης
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: Uncertain (by principle)
Επικοινωνία:

Re: Απορια για κλειστα συνολα

Δημοσίευση από antony07 »

Η πιο ασφαλής και απλή λύση είναι να αποδείξεις ότι είναι συμπλήρωμα ανοιχτού συνόλου. Αυτό θα το κάνεις με το να δείξεις (με χρήση της τριγωνικής ιδιότητας της μετρικής, όπως στις αποδείξεις της Πραγματικής) ότι για κάθε σημείο x που ανήκει στο συμπλήρωμα, η S(x,ε) είναι υποσύνολο του συμπληρώματος. Δεν σου γράφω το τεχνικό μέρος, για να το δουλέψεις εσύ. Αν κολλήσεις, εδώ είμαστε!
"Ωραία παιδιά κατάχαμα κυλάει
το πιο ωραίο ρόδο απ' το στεφάνι σας
αδράξτε κάθε τι που προσπερνάει
μα αν σε βιτρίνα εμπρός βρεθεί η χάρη σας
ή σε γκισέ, φυλάξτε το τομάρι σας
θυμάστε, Colin de Cayeux τον λέγανε
το άσυλο εμπιστεύτηκε ναι σαν κι εσάς,
σημάδεψε ο μπάτσος και τον ξέκανε
"
fotispnb
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Τετ Ιαν 17, 2007 3:03 pm

Re: Απορια για κλειστα συνολα

Δημοσίευση από fotispnb »

Υπάρχει πρόταση (αποδεικνύεται εύκολα) που εξασφαλίζει ότι ένα σύνολο είναι κλειστό αν, και μόνο αν, περιέχει τα όρια των συγκλινουσών ακολουθιών του.

Αυτό που έγραψα παραπάνω είναι " {(xn,yn) : nεΝ} υποσύνολο του Α ".

Όταν οι χώροι είναι αφηρημένοι ή πολύπλοκοι είναι ο πιο εύχρηστος τρόπος και χρησιμοποιείται συνέχεια στην ανάλυση. Όπως και με τη συμπάγεια, δύσκολα θα χρησιμοποιήσεις τον ορισμό με τα καλύμματα.
Άβαταρ μέλους
surf_tha_curl
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 27, 2007 9:54 pm
Τοποθεσία: liquid

Re: Απορια για κλειστα συνολα

Δημοσίευση από surf_tha_curl »

επισης μπορεις να το πας με συνεχεια συναρτήσεων :
εστω f(x,y) : R^2 ----> R
με f(x,y)=(x^2 + y^2)^1/2

η συναρτηση ειναι συνεχης (2-norm)
και το κλειστο διαστημα [0,1] επιστρέφει μέσω της αντιστροφής της f στο σύνολο που θες
αρα ειναι κλειστό
Άβαταρ μέλους
1/2rizax
Δημοσιεύσεις: 231
Εγγραφή: Δευ Δεκ 04, 2006 3:39 pm

Re: Απορια για κλειστα συνολα

Δημοσίευση από 1/2rizax »

Μια χαρά είναι η απόδειξη του φώτη. Αρμάο, για το 2ο ερώτημά σου μπορείς να θεωρήσεις το σύνολο Β=(0,1) και την ακολουθία 1/ν. Όλα τα στοιχεία της 1/ν ανήκουν στο Β αλλά το όριό της όχι. (Αυτό μάλιστα δείχνει ότι το Β δεν είναι κλειστό.) Άρα δεν ισχύει αυτόματα αυτό που έγραψες.
Άβαταρ μέλους
spartiatisgx
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 14, 2007 9:07 pm
Τοποθεσία: ilisia,athens

Re: Απορια για κλειστα συνολα

Δημοσίευση από spartiatisgx »

ευχαριστω...τωρα καταλαβαινω τι λαθος εκανα που δεν παρακολουθησα πραγματικη αναλυση!!!!!
κριμα....αραγε εχει κανεις κανα καλο βιβλιο πραγματικης στο νου του;περαν των σημειωσεων του καθηγητη που τις εχω...εννοειται ακομη και ξενογλωσσα να ειναι τα διαβαζω εστω και με πιο αργο ρυθμο.......
fotispnb
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Τετ Ιαν 17, 2007 3:03 pm

Re: Απορια για κλειστα συνολα

Δημοσίευση από fotispnb »

1. Metric Spaces, Shirali, Satish, Vasudeva, Harkrishan L.
2. Metric Spaces, Ó Searcóid, Mícheál
3. Introduction to Metric and Topological Spaces, W. A. Sutherland
4. Γενική τοπολογία και συναρτησιακή ανάλυση, Νεγρεπόντης,...

Τα δύο πρώτα μπορείς να τα βρεις στο www.gigapedia.org
Άβαταρ μέλους
spartiatisgx
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 14, 2007 9:07 pm
Τοποθεσία: ilisia,athens

Re: Απορια για κλειστα συνολα

Δημοσίευση από spartiatisgx »

σε ευχαριστω Φωτη...μαλλον γαυρος πρεπει να εισαι!!!!
Απάντηση

Επιστροφή στο “Ζητήματα Μαθηματικών - Φυσικής - Πληροφορικής”