Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (Μέχρι 2009-2010)

Συζητήσεις για μαθήματα του 3ου έτους στην κατεύθυνση Μαθηματικού Εφαρμογών.

Συντονιστές: markelos, Ryu, meleneemil, Nasia!

Κλειδωμένο
Άβαταρ μέλους
remilt
Δημοσιεύσεις: 95
Εγγραφή: Δευ Δεκ 11, 2006 1:14 pm
Real Name: Καραμανλής Μίλτος
Gender: Male
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Δημοσίευση από remilt »

Να δούμε..Έχουμε:

Θέτουμε:

και απαιτώντας

Βρίσκουμε:

άρα

και τώρα πρέπει να λύσουμε το ομογενές:

Η γενική λύση αυτού είναι :

έτσι

από την

έχουμε ότι αναγκαστικά οι μόνοι συντελεστές που δεν μηδενίζονται είναι οι

και ισχύει η σχέση:

Δηλαδή

και για να ικανοποιείται η

αφού

πρέπει

Δηλαδή πρέπει

και

τώρα λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε τους συντελεστές και άρα την W και άρα και την u.......Έχω κάπου λάθος (εκτός πράξεων που ποτέ μου δεν θα τις κάνω σωστά...)?
Και τώρα η κρήσιμη ερώτηση...Πώς υποτίθεται ότι πρέπει κάποιος να σκαρφιστεί την μορφή της v(ρ,φ)?
Άβαταρ μέλους
netrina
Δημοσιεύσεις: 75
Εγγραφή: Τρί Ιουν 24, 2008 7:57 am
Real Name: Φωτεινή
Gender: Female
Facebook ID: 0

Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Δημοσίευση από netrina »

Epeidi i laplasiani tis v einai ρcosφ, h v tha einai c (μια σταθερα) epi cosφ epi to ρ se 2 dunameis panw! ki epeidi edw to ρ einai stin prwti h v tha exei ρ^3.

Ean px itan Δv=4ρ^2sin3φ tote i v tha einai v=Bρ^4sin3φ. gia na vreis to B upologizeis tin laplasiani tis v se polikes pou einai Vpp+1/p Vp +1/p^2 Vφφ kai eksiswneis me to Δv=4ρ^2sin3φ. ean kaneis tis prakseis tha deis oti feugoun ta ρ^2 kai ta sin3φ kai etsi vriskeis to B!
Άβαταρ μέλους
remilt
Δημοσιεύσεις: 95
Εγγραφή: Δευ Δεκ 11, 2006 1:14 pm
Real Name: Καραμανλής Μίλτος
Gender: Male
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Δημοσίευση από remilt »

Ευχαριστώ! Ξεκόλησα τώρα...Ναι όντως αφού sin και cos μετά από δύο παραγωγίσεις επιστρέφουν στα "πάτρεια εδάφη" η παραγώγιση ώς προς φ δεν δυσκολεύει την κατάσταση, ελπίζω μόνο να μήν πέσει καμία ποιό περίεργη.
Άβαταρ μέλους
BILLYDELUXE
Δημοσιεύσεις: 277
Εγγραφή: Τρί Μάιος 22, 2007 9:49 pm

Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Δημοσίευση από BILLYDELUXE »

Geia sas,eimai stin kateuthinsi Fusikou kai ithela na rotiso an ektos apo diaforetika themata einai kai mikroteri i ili gia emas..thanks
Άβαταρ μέλους
remilt
Δημοσιεύσεις: 95
Εγγραφή: Δευ Δεκ 11, 2006 1:14 pm
Real Name: Καραμανλής Μίλτος
Gender: Male
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Δημοσίευση από remilt »

Νάμαστε πάλι.....Ερώτηση κρίσεως...
Θέμα 4ο κανονική μαθηματικού εφαρμογών 2010, έχουμε το

Μή τετριμμένες λύσεις βρίσκουμε μόνο για λ > 1 και τα ζεύγη ιδιοτιμών - ιδιοσυναρτήσεων που προκύπτουν είναι :

όπου έχω πάρει κατευθείαν τις κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις, που προκύπτουν αφού φέρουμε το πρόβλημα σε μορφή Strum:

και από την οποία προκύπτει η σχέση ορθοκανονικότητας :

Τώρα θέλουμε να επιλύσουμε το ημιομογενές

Το οποίο είναι ισοδύναμο με το

Σύμφωνα λοιπόν με την θεωρία τα ιδιοδιανύσματα του ομογενούς αποτελούν μία ορθοκανονική βάση του χώρου των συνεχών συναρτήσεων στο [0,L] και έτσι η λύση του ημιομογενούς (άν υπάρχει) η οποία θα είναι αναγκαστικά συνεχής αφού είναι διαφορίσιμη, θα μπορεί να γραφτεί ώς :

όπου η τελευταία ισότητα ισχύει λόγω του ότι τα ιδιοδιανύσματα είναι κανονικοποιημένα, και η ισότητα της λύσης με την σειρά είναι κατά norm, ενώ αν η λύση έχει συνεχείς παραγώγους μέχρι και δεύτερης τάξης η σύγκλιση είναι και ομοιόμορφη.
Τώρα ορίζουμε τον γραμμικό διαφορικό τελεστη

ο οποίος ικανοποιεί τις:

Αφού οι και είναι λύσεις του ομογενούς και του ημιομογενούς αντίστοιχα.
Επίσης σύμφωνα με την ταυτότητα Lagrange αφού οι συναρτήσεις και ικανοποιούν τις ίδιες συνοριακές συνθύκες ισχύει ότι:

Έτσι έχουμε τα επόμενα :


Συνεπώς έχουμε

και αφού

Από το οποίο καταλήγουμε στο τελικό αποτέλεσμα

Έτσι η λύση του ημιομογενούς θα είναι η

Απλοποιώντας όσο γίνεται

Στην συνέχεια και για να φτάσουμε στο ζουμί του θέματος μας ζητείται να εκφράσουμε την συνάρτηση ώς στην ορθοκανονική της ανάπτυξη ώς πρός τις ιδιοσυναρτήσεις του προβλήματος. Έχουμε


Παραδίδουμε την κόλλα μας και είμαστε ευχαριστιμένοι... ή μήπως όχι?
Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι λύση του ημιομογενούς... η οποία θα πρέπει να είναι και μοναδική αρα οι συντελεστές στα δύο αναπτύγματα θα έπρεπε να είναι ίσοι αφού για δεδομένη ορθοκανονική βάση του χώρου έχουμε μοναδική αναπαράσταση, αυτό όμως δεν ισχύει....... :oops2: Τί μλκσ που είμαι!!!! :weedman: τώρα μόλι συνειδητοίησα ότι το μή ομογενές γενικά έχει λύση μοναδική ανν το ομογενές έχει μόνο την τετριμμένη!!! grrrrrrrr τσάμπα το post :Hangman:

P.S Αλήθεια πόσες ασκήσεις πρέπει να έχει λύσει κάποιος από κάθε τύπο προβλήματος ώστε να καταφέρει να γράψει 6 τέτοια θέματα μέσα σε τρείς ώρες?
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος remilt την Δευ Σεπ 13, 2010 6:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Άβαταρ μέλους
remilt
Δημοσιεύσεις: 95
Εγγραφή: Δευ Δεκ 11, 2006 1:14 pm
Real Name: Καραμανλής Μίλτος
Gender: Male
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Δημοσίευση από remilt »

Και επανέρχομαι.... Τελικά είχα δίκιο ότι κάπου έχω άδικο....το αντίστοιχο ομογενές του ημιομογενούς είναι το

Το οποίο αφού το 2 δεν αποτελεί ιδιοτιμή έχει μόνο την τετριμμένη λύση...άρα η λύση του ημιομογενούς είναι μοναδική και άρα θα έπρεπε να ισχύει ότι

Σίγουρα κάπου σφάλω.... υπάρχει κανείς γεναίος να βρεί αν και πού έχω υπολογιστικό ή λογικό σφάλμα στον συλογισμό μου? Θα το εκτιμούσα πολύ γιατί έχω σπαστεί πολύ με το θέμα αλλά δεν έχω άλλο κουράγιο για το συγκεκριμένο πρόβλημα...
Συνημμένα
strumkaps.pdf
Το όλο θεμα σε PDF για διευκόλυσνη...
(106.65 KiB) Μεταφορτώθηκε 176 φορές
Άβαταρ μέλους
Malefino
Δημοσιεύσεις: 453
Εγγραφή: Τετ Ιαν 28, 2009 6:50 pm
Real Name: Thomas
Gender: Male
Facebook ID: 2147483647

Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Δημοσίευση από Malefino »

Ρε παιδιά εξηγήστε μου λίγο τι θα παιχτεί τελικά με το ζήτημα θεμάτων Μαθηματικού-Φυσικού... :e_confused: :e_confused:
Αν αγαπάς θα φας πακέτο
κι αν μ'αγαπάς θα φας μπουκέτο.

VoxPopuli: producer, beatmaker and dj
https://soundcloud.com/voxpopuli2
https://voxpopuli2.bandcamp.com

Αναρχοσυνδικαλιστική Πρωτοβουλία Ροσινάντε: ΖΗΤΩ Η ΕΛΛΑΔΑ ΧΩΡΙΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΗ!
https://rocinante.gr
Άβαταρ μέλους
remilt
Δημοσιεύσεις: 95
Εγγραφή: Δευ Δεκ 11, 2006 1:14 pm
Real Name: Καραμανλής Μίλτος
Gender: Male
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Δημοσίευση από remilt »

Εγώ πάντος δεν έχω ιδέα...υποθέτω ότι δεν θα μας ρωτάνε έναν έναν τι κατεύθηνση έχουμε οπότε τα θέματα μάλλον τα ίδια θα είναι και η ύλη η τομή των υλών.....
Άβαταρ μέλους
Alekos
Δημοσιεύσεις: 171
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 02, 2008 2:18 pm
Real Name: Alekos
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: Los Alimos

Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Δημοσίευση από Alekos »

Γιατί είναι απίθανο να μπουν θέματα στην κοινή ύλη :?:

το θέμα είναι ότι μόνο εικασίες μπορούμε να κάνουμε.....υπομονή μέχρι μεθαύριο :?
Άβαταρ μέλους
kostas213
Forum Administrator
Forum Administrator
Δημοσιεύσεις: 1531
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 28, 2006 8:03 pm
Real Name: Κωνσταντίνος
Gender: Male
Τοποθεσία: Zürich

Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Δημοσίευση από kostas213 »

Είναι απλό γιατί κάθε χρόνο το ίδιο γίνεται: σε κάποιες αίθουσες γραφούν οι μαθηματικοί και σε κάποιες άλλες οι φυσικοί. Φέτος μαζί με τους μαθηματικούς γράφει και ο κορμός. Δεν υπάρχει περίπτωση κοινών θεμάτων, εξ' άλλου ποτέ δεν έγινε.
There's no place like ::1
Άβαταρ μέλους
remilt
Δημοσιεύσεις: 95
Εγγραφή: Δευ Δεκ 11, 2006 1:14 pm
Real Name: Καραμανλής Μίλτος
Gender: Male
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Δημοσίευση από remilt »

Ρε παιδιά κανείς για το 4ο θεμα 2010 κανονική του Μαθηματικού? :e_sad:
niki
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 20, 2009 3:05 pm
Real Name: nikolina
Facebook ID: 0

Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Δημοσίευση από niki »

SOS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ΞΕΡΕΙ ΚΑΝΕΙΣ ΤΗ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΘΕΜΑ 2α ΤΟΥ 2010 ΦΥΣΙΚΟΥ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ΣΟΣ!!!!!
Άβαταρ μέλους
kostas213
Forum Administrator
Forum Administrator
Δημοσιεύσεις: 1531
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 28, 2006 8:03 pm
Real Name: Κωνσταντίνος
Gender: Male
Τοποθεσία: Zürich

Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (μέχρι 2009-2010)

Δημοσίευση από kostas213 »

Κλειδώνεται αφού το μάθημα έχει πλεόν μεταφερθεί στον κορμό ως Εισαγωγή στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις.
There's no place like ::1
Κλειδωμένο

Επιστροφή στο “Μαθηματικού Εφαρμογών”