ΣΕΜΦΕ forum

Μπορεί κάποιος να βοηθήσει με την απόδειξη του Θεωρήματος 6.37 από το βιβλίο του Αργυρού;
Συγκεκριμένα να αποδειχθεί πως εάν (Χ,ρ) μετρικός χώρος η μετρική p1=min{1 , p } είναι ισοδύναμη της ρ.
Προσπαθώ να το δείξω με συγκλίνουσες ακολουθίες πάνω στην p και p1 αλλά δυσκολεύομαι.
Υπάρχει μήπως κάποια άλλη προσφορότερη προσέγγιση;

Λίγο πολύ το ίδιο είναι με όποιο χαρακτηρισμό των ισοδύναμων μετρικών και να πας. Ας πάμε με ακολουθίες που συνήθως είναι πιο εύχρηστες. Επειδή το tex εμφανίζεται εντελώς δυσανάγνωστο, αναγκαστικά θα το γράψω λίγο περιγραφικά:

Αν η (x_n) συγκλίνει στο x_0 ως προς την ρ, τότε ρ(x_n, x_0) \rightarrow 0 και επομένως το ίδιο συμβαίνει και για το \min\{ρ(x_n, x_0), 1\}.

Αν η (x_n) συγκλίνει στο x_0 ως προς την ρ_1, τότε για ε=1, υπάρχει n_0 τέτοιο ώστε ρ_1(x_n, x_0)<1 για κάθε n > n_0. Όμως από τον ορισμό της ρ_1 αυτό σημαίνει ότι ρ_1(x_n, x_0)=ρ(x_n, x_0) για κάθε n > n_0 και επειδή η πρώτη συγκλίνει στο μηδέν, θα συγκλίνει και η δεύτερη.

Πολύ ωραία η λύση, μάλλον είναι η πιο σύντομη.
Διαφορετικά θα μπορούσες να χρησιμοποιήσεις τον 2ο χαρακτηρισμό (Θ.6.30) στο 2) (η παραπάνω λύση χρησιμοποιεί το 3), γιατί ο 1ος χαρακτηρισμός δε φαίνεται να βολεύει. Οπότε μετά να το πας με ε,δ ορισμό και με τον ορισμό της αμφισυνέχειας για την ισοδυναμία.

Αλλά σίγουρα η λύση παραπάνω του 1/2rizax είναι συντομότερη κ χρησιμοποιεί τον χαρακτηρισμό αντί για τον ορισμό, το οποίο σου γλυτώνει φασαρία.

Ευχαριστώ πολύ 1/2rizax και constant!

Μήπως ξέρει κανείς τι παίζει σε αυτό το εξάμηνο με την Πραγματική Ανάλυση που την έχει ο Gaspar; Από ποιο βιβλίο κάνει; Οι σημειώσεις του Αργυρού ισχύουν;