[Ασκήσεις] Ανάλυση Ι

Παρακολουθώ όλα τα μαθήματα.

Συντονιστές: markelos, Ryu, φιάλη klein, meleneemil

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
apolski
Δημοσιεύσεις: 846
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 21, 2007 3:09 pm
Real Name: ---
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: UK

Ανάλυση Ι

Δημοσίευση από apolski »

Ειδα οτι δεν υπαρχει τετοιο θεμα και ειπα να το ανοιξω...

Ειμαι στο τμημα του Ρασσια(φοβερος καθηγητης) και μας εβαλε κατι ασκηεις οι οποιες υπαρχουν στο βιβλιο του(το οποιο δυστιχως δεν το πηραμε ακομα). Θα ηθελα να με βοηθησετε με μια ασκηση η οποια οπως μας ειπε λυνεται με την βοηθεια της ανισωτητας Cauchy:

Αν Εικόνα ειναι θετικοι πραγματικοι αριθμοι να δειξετε οτι

Εικόνα

ΥΓ. βρε παιδια ειναι ντροπη να μην υπαρχει δυνατοτητα γραφης με Latex στο φορουμ  :?
BO
Δημοσιεύσεις: 176
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 02, 2006 5:46 am

Δημοσίευση από BO »

Λοιπόν η ανισότητα Cauchy για θετικούς όρους είναι:

(α1+α2+...+αν)/ν  >=  (α1*α2*...*αν)^(1/ν)  >=  ν /( 1/α1 +  ... + 1/αν )

Έχουμε α1^3 + α2^3 + α3^3 = (α1^3 + α2^3)/3 + (α2^3 + α3^3)/3 + (α3^3 + α1^3)/3 + (α1^3 + α2^3 + α3^3)/3

Σε αυτό τώρα μπορείς να εφαρμόσεις την ανισότητα και ίσως βγει κάτι χρήσιμο...
Άβαταρ μέλους
apolski
Δημοσιεύσεις: 846
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 21, 2007 3:09 pm
Real Name: ---
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: UK

Δημοσίευση από apolski »

BO έγραψε: Σε αυτό τώρα μπορείς να εφαρμόσεις την ανισότητα και ίσως βγει κάτι χρήσιμο...
Μπορεις να το γραψεις γιατι δεν το καταλαβα  :roll:
BO
Δημοσιεύσεις: 176
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 02, 2006 5:46 am

Δημοσίευση από BO »

α1^3 + α2^3 + α3^3 = (α1^3 + α2^3)/3 + (α2^3 + α3^3)/3 + (α3^3 + α1^3)/3 + (α1^3 + α2^3 + α3^3)/3

>= (α1^3*α2^3)^(1/3)+(α2^3*α3^3)^(1/3)+(α3^3*α1^3)^(1/3)+(α1^3*α2^3*α3^3)^(1/3) = α1*α2 + α2*α3 + α3*α1 + α1*α2*α3

Δεν βγαίνει ακριβώς αυτό που θες, αλλά κάτι είναι για αρχή..
Άβαταρ μέλους
apolski
Δημοσιεύσεις: 846
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 21, 2007 3:09 pm
Real Name: ---
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: UK

Δημοσίευση από apolski »

καταλαβα αυτο που λες ομως μετα τι κανεις?  :oops:

Εγω κατελειξα στο:

Εικόνα

αλλα δεν λεει και πολλα...
Άβαταρ μέλους
coyote
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 04, 2006 5:00 am
Τοποθεσία: Στα ιχνη του Roadrunner

Δημοσίευση από coyote »

Εφάρμοσε την γενικευμένη ανισότητα Radon στο πρώτο μέρος και τα υπόλοιπα είναι πράξεις.


Για την Radon δες http://www.jstor.org/view/00029890/di991366/99p0006m/0
   

*Tη Radon ισως την έχεις ακούσει  και ως Adreescu
Άβαταρ μέλους
apolski
Δημοσιεύσεις: 846
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 21, 2007 3:09 pm
Real Name: ---
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: UK

Re: [Κ1ο] Ανάλυση Ι

Δημοσίευση από apolski »

Μπορει να μου πει καποιος πως λυνεται το οριο ?
Άβαταρ μέλους
el_greco
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 01, 2006 9:30 am
Real Name: Νίκος Βέργος
Gender: Male
Τοποθεσία: Austin, TX
Επικοινωνία:

Re: [Κ1ο] Ανάλυση Ι

Δημοσίευση από el_greco »

Πάντως κάνει μηδέν:P
                 
fotispnb
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Τετ Ιαν 17, 2007 3:03 pm

Re: [Κ1ο] Ανάλυση Ι

Δημοσίευση από fotispnb »

0 <= 2^n + 3^n <= 3^n + 3^n = 2 * 3^n

0 <= 1/ (4^n + 5^n) <= 1/ (4^n + 4^n) = 1/ (2 * 4^n)

"Πολλαπλασιάζεις" κατά μέλη και έχεις:

0 <= (2^n + 3^n) / (4^n + 5^n) <= 3^n / 4^n = (3/4)^n

Για n -> οο είναι (3/4)^n ->0 διότι 3/4 < 1.

Όπως καταλαβαίνεις και το ζητούμενο τότε τείνει στο μηδέν.
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος fotispnb την Πέμ Φεβ 07, 2008 1:10 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Άβαταρ μέλους
antony07
Forum Moderator
Forum Moderator
Δημοσιεύσεις: 1673
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 15, 2006 4:37 pm
Real Name: Αντώνης
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: Uncertain (by principle)
Επικοινωνία:

Re: [Κ1ο] Ανάλυση Ι

Δημοσίευση από antony07 »

Τυπογραφικό λάθος: Πολλαπλασιάζεις κατά μέλη (δεν μπορούμε να διαιρέσουμε κατά μέλη ανισότητες)!
Εδώ μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε γιατί όλοι οι όροι είναι σίγουρα θετικοί.
Εννοείται ότι η λύση είναι ορθότατη.
"Ωραία παιδιά κατάχαμα κυλάει
το πιο ωραίο ρόδο απ' το στεφάνι σας
αδράξτε κάθε τι που προσπερνάει
μα αν σε βιτρίνα εμπρός βρεθεί η χάρη σας
ή σε γκισέ, φυλάξτε το τομάρι σας
θυμάστε, Colin de Cayeux τον λέγανε
το άσυλο εμπιστεύτηκε ναι σαν κι εσάς,
σημάδεψε ο μπάτσος και τον ξέκανε
"
Άβαταρ μέλους
kostas.m
Δημοσιεύσεις: 118
Εγγραφή: Τρί Οκτ 23, 2007 3:24 pm
Real Name: k.mastakas
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: Στο σταυροδρόμι
Επικοινωνία:

Re: [Κ1ο] Ανάλυση Ι

Δημοσίευση από kostas.m »

Ωραία η απόδειξή σου fotispnb, μία άλλη λύση του προβλήματος, είναι να διαιρέσεις πάνω και κάτω με το 5^ν, τότε ο αριθμητής γίνεται (2/5)^ν +(3/5)^ν που καθώς το ν τείνει στο άπειρο μηδενίζεται καθώς κάθε όρος του αθροίσματος μηδενίζεται. Ο παρονομαστής τώρα γίνεται (4/5)^ν +1 που τείνει στο 1 καθώς το ν τείνει στο άπειρο. Οπότε το όριο γίνεται 0/1=0.
fotispnb
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Τετ Ιαν 17, 2007 3:03 pm

Re: [Κ1ο] Ανάλυση Ι

Δημοσίευση από fotispnb »

Υπό προϋποθέσεις μπορείς να διαιρέσεις όπως ακριβώς και υπό πορϋποθέσεις μπορείς να πολλαπλασιάσεις. Και εδώ είναι μια τέτοια περίπτωση.

Για την ακρίβεια αυτό που ισχύει στους πραγματικούς είναι το εξής: αν α<=β και γ>0 τότε αγ<=βγ.

Οπότε σαν έκφραση μπορεί να είναι λάθος και ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση κατά μέλη.

Μπορείς όμως να αποδείξεις ότι η τελευταία ανισότητα προκύπτει από τις δύο προηγούμενες.
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος pao132003 την Πέμ Φεβ 07, 2008 12:28 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: merged posts
Άβαταρ μέλους
antony07
Forum Moderator
Forum Moderator
Δημοσιεύσεις: 1673
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 15, 2006 4:37 pm
Real Name: Αντώνης
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: Uncertain (by principle)
Επικοινωνία:

Re: [Κ1ο] Ανάλυση Ι

Δημοσίευση από antony07 »

Σύμφωνοι, όμως εφόσον υπολογίζεις όριο εκθετικών συναρτήσεων, δουλεύεις στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών, όπου κατά μέλη διαίρεση ανισοτήτων δεν υφίσταται.
Έτσι κι αλλιώς, εσύ πολλαπλασιασμό κατά μέλη έκανες :-). Το επισήμανα μόνο για να μην το αντιγράψει κάποιος λανθασμένα.
"Ωραία παιδιά κατάχαμα κυλάει
το πιο ωραίο ρόδο απ' το στεφάνι σας
αδράξτε κάθε τι που προσπερνάει
μα αν σε βιτρίνα εμπρός βρεθεί η χάρη σας
ή σε γκισέ, φυλάξτε το τομάρι σας
θυμάστε, Colin de Cayeux τον λέγανε
το άσυλο εμπιστεύτηκε ναι σαν κι εσάς,
σημάδεψε ο μπάτσος και τον ξέκανε
"
Άβαταρ μέλους
apolski
Δημοσιεύσεις: 846
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 21, 2007 3:09 pm
Real Name: ---
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: UK

Re: [Κ1ο] Ανάλυση Ι

Δημοσίευση από apolski »

Ωραια λυση :)
fotispnb έγραψε:Για n -> οο είναι (3/4)^n ->0 διότι 3/4 < 1
Αυτο πως το αποδεικνύουμε ? Δηλαδη οτι αν 0<a<1 τοτε :roll:
Άβαταρ μέλους
pao132003
Δημοσιεύσεις: 1905
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 03, 2006 10:06 am
Real Name: Γιάννης
Gender: Male
Τοποθεσία: Αθήνα(ως επί το πλείστον)
Επικοινωνία:

Re: [Κ1ο] Ανάλυση Ι

Δημοσίευση από pao132003 »

apolski έγραψε:Αυτο πως το αποδεικνύουμε ? Δηλαδη οτι αν 0<a<1 τοτε :roll:
Αυτό δε χρειάζεται απόδειξη. Είναι φανερό από τη γραφική παράσταση!
No battle is ever won he said. They are not even fought. The field only reveals to man his own folly and despair, and victory is an illusion of philosophers and fools.
-William Faulkner, novelist (1897-1962)

H πιο επαναστατική πράξη σήμερα (2013) είναι να κρατήσεις ένα σχολείο ανοικτό.
-Άγνωστου
Απάντηση

Επιστροφή στο “Πρώτο Έτος”