Πραγματική Ανάλυση

Συζητήσεις για μαθήματα του 3ου έτους στην κατεύθυνση Μαθηματικού Εφαρμογών.

Συντονιστές: markelos, Ryu, meleneemil, Nasia!

Απάντηση
DeXteR
Δημοσιεύσεις: 339
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 16, 2006 11:26 pm

Re: Πραγματική Ανάλυση

Δημοσίευση από DeXteR »

Μπορεί κάποιος να βοηθήσει με την απόδειξη του Θεωρήματος 6.37 από το βιβλίο του Αργυρού;
Συγκεκριμένα να αποδειχθεί πως εάν (Χ,ρ) μετρικός χώρος η μετρική p1=min{1 , p } είναι ισοδύναμη της ρ.
Προσπαθώ να το δείξω με συγκλίνουσες ακολουθίες πάνω στην p και p1 αλλά δυσκολεύομαι.
Υπάρχει μήπως κάποια άλλη προσφορότερη προσέγγιση;
Άβαταρ μέλους
1/2rizax
Δημοσιεύσεις: 231
Εγγραφή: Δευ Δεκ 04, 2006 3:39 pm

Re: Πραγματική Ανάλυση

Δημοσίευση από 1/2rizax »

Λίγο πολύ το ίδιο είναι με όποιο χαρακτηρισμό των ισοδύναμων μετρικών και να πας. Ας πάμε με ακολουθίες που συνήθως είναι πιο εύχρηστες. Επειδή το tex εμφανίζεται εντελώς δυσανάγνωστο, αναγκαστικά θα το γράψω λίγο περιγραφικά:

Αν η (x_n) συγκλίνει στο x_0 ως προς την ρ, τότε ρ(x_n, x_0) \rightarrow 0 και επομένως το ίδιο συμβαίνει και για το \min\{ρ(x_n, x_0), 1\}.

Αν η (x_n) συγκλίνει στο x_0 ως προς την ρ_1, τότε για ε=1, υπάρχει n_0 τέτοιο ώστε ρ_1(x_n, x_0)<1 για κάθε n > n_0. Όμως από τον ορισμό της ρ_1 αυτό σημαίνει ότι ρ_1(x_n, x_0)=ρ(x_n, x_0) για κάθε n > n_0 και επειδή η πρώτη συγκλίνει στο μηδέν, θα συγκλίνει και η δεύτερη.
Άβαταρ μέλους
constant
Portal Administrator
Portal Administrator
Δημοσιεύσεις: 1684
Εγγραφή: Τετ Δεκ 01, 2010 2:16 pm
Real Name: Konstantinos
Gender: Male
Facebook ID: 0

Re: Πραγματική Ανάλυση

Δημοσίευση από constant »

Πολύ ωραία η λύση, μάλλον είναι η πιο σύντομη.
Διαφορετικά θα μπορούσες να χρησιμοποιήσεις τον 2ο χαρακτηρισμό (Θ.6.30) στο 2) (η παραπάνω λύση χρησιμοποιεί το 3), γιατί ο 1ος χαρακτηρισμός δε φαίνεται να βολεύει. Οπότε μετά να το πας με ε,δ ορισμό και με τον ορισμό της αμφισυνέχειας για την ισοδυναμία.

Αλλά σίγουρα η λύση παραπάνω του 1/2rizax είναι συντομότερη κ χρησιμοποιεί τον χαρακτηρισμό αντί για τον ορισμό, το οποίο σου γλυτώνει φασαρία.
DeXteR
Δημοσιεύσεις: 339
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 16, 2006 11:26 pm

Re: Πραγματική Ανάλυση

Δημοσίευση από DeXteR »

Ευχαριστώ πολύ 1/2rizax και constant!
leonardcohen
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Παρ Μαρ 23, 2018 6:12 pm
Real Name: alexandros
Gender: Male

Πραγματική Ανάλυση

Δημοσίευση από leonardcohen »

Μήπως ξέρει κανείς τι παίζει σε αυτό το εξάμηνο με την Πραγματική Ανάλυση που την έχει ο Gaspar; Από ποιο βιβλίο κάνει; Οι σημειώσεις του Αργυρού ισχύουν;
Απάντηση

Επιστροφή στο “Μαθηματικού Εφαρμογών”