Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (Μέχρι 2009-2010)
Συντονιστές: markelos, Ryu, meleneemil, Nasia!
- remilt
- Δημοσιεύσεις: 95
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 11, 2006 1:14 pm
- Real Name: Καραμανλής Μίλτος
- Gender: Male
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Να δούμε..Έχουμε:
Θέτουμε:
και απαιτώντας
Βρίσκουμε:
άρα
και τώρα πρέπει να λύσουμε το ομογενές:
Η γενική λύση αυτού είναι :
έτσι
από την
έχουμε ότι αναγκαστικά οι μόνοι συντελεστές που δεν μηδενίζονται είναι οι
και ισχύει η σχέση:
Δηλαδή
και για να ικανοποιείται η
αφού
πρέπει
Δηλαδή πρέπει
και
τώρα λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε τους συντελεστές και άρα την W και άρα και την u.......Έχω κάπου λάθος (εκτός πράξεων που ποτέ μου δεν θα τις κάνω σωστά...)?
Και τώρα η κρήσιμη ερώτηση...Πώς υποτίθεται ότι πρέπει κάποιος να σκαρφιστεί την μορφή της v(ρ,φ)?
Θέτουμε:
και απαιτώντας
Βρίσκουμε:
άρα
και τώρα πρέπει να λύσουμε το ομογενές:
Η γενική λύση αυτού είναι :
έτσι
από την
έχουμε ότι αναγκαστικά οι μόνοι συντελεστές που δεν μηδενίζονται είναι οι
και ισχύει η σχέση:
Δηλαδή
και για να ικανοποιείται η
αφού
πρέπει
Δηλαδή πρέπει
και
τώρα λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε τους συντελεστές και άρα την W και άρα και την u.......Έχω κάπου λάθος (εκτός πράξεων που ποτέ μου δεν θα τις κάνω σωστά...)?
Και τώρα η κρήσιμη ερώτηση...Πώς υποτίθεται ότι πρέπει κάποιος να σκαρφιστεί την μορφή της v(ρ,φ)?
- netrina
- Δημοσιεύσεις: 75
- Εγγραφή: Τρί Ιουν 24, 2008 7:57 am
- Real Name: Φωτεινή
- Gender: Female
- Facebook ID: 0
Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Epeidi i laplasiani tis v einai ρcosφ, h v tha einai c (μια σταθερα) epi cosφ epi to ρ se 2 dunameis panw! ki epeidi edw to ρ einai stin prwti h v tha exei ρ^3.
Ean px itan Δv=4ρ^2sin3φ tote i v tha einai v=Bρ^4sin3φ. gia na vreis to B upologizeis tin laplasiani tis v se polikes pou einai Vpp+1/p Vp +1/p^2 Vφφ kai eksiswneis me to Δv=4ρ^2sin3φ. ean kaneis tis prakseis tha deis oti feugoun ta ρ^2 kai ta sin3φ kai etsi vriskeis to B!
Ean px itan Δv=4ρ^2sin3φ tote i v tha einai v=Bρ^4sin3φ. gia na vreis to B upologizeis tin laplasiani tis v se polikes pou einai Vpp+1/p Vp +1/p^2 Vφφ kai eksiswneis me to Δv=4ρ^2sin3φ. ean kaneis tis prakseis tha deis oti feugoun ta ρ^2 kai ta sin3φ kai etsi vriskeis to B!
- remilt
- Δημοσιεύσεις: 95
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 11, 2006 1:14 pm
- Real Name: Καραμανλής Μίλτος
- Gender: Male
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Ευχαριστώ! Ξεκόλησα τώρα...Ναι όντως αφού sin και cos μετά από δύο παραγωγίσεις επιστρέφουν στα "πάτρεια εδάφη" η παραγώγιση ώς προς φ δεν δυσκολεύει την κατάσταση, ελπίζω μόνο να μήν πέσει καμία ποιό περίεργη.
- BILLYDELUXE
- Δημοσιεύσεις: 277
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 22, 2007 9:49 pm
Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Geia sas,eimai stin kateuthinsi Fusikou kai ithela na rotiso an ektos apo diaforetika themata einai kai mikroteri i ili gia emas..thanks
- remilt
- Δημοσιεύσεις: 95
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 11, 2006 1:14 pm
- Real Name: Καραμανλής Μίλτος
- Gender: Male
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Νάμαστε πάλι.....Ερώτηση κρίσεως...
Θέμα 4ο κανονική μαθηματικού εφαρμογών 2010, έχουμε το
Μή τετριμμένες λύσεις βρίσκουμε μόνο για λ > 1 και τα ζεύγη ιδιοτιμών - ιδιοσυναρτήσεων που προκύπτουν είναι :
όπου έχω πάρει κατευθείαν τις κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις, που προκύπτουν αφού φέρουμε το πρόβλημα σε μορφή Strum:
και από την οποία προκύπτει η σχέση ορθοκανονικότητας :
Τώρα θέλουμε να επιλύσουμε το ημιομογενές
Το οποίο είναι ισοδύναμο με το
Σύμφωνα λοιπόν με την θεωρία τα ιδιοδιανύσματα του ομογενούς αποτελούν μία ορθοκανονική βάση του χώρου των συνεχών συναρτήσεων στο [0,L] και έτσι η λύση του ημιομογενούς (άν υπάρχει) η οποία θα είναι αναγκαστικά συνεχής αφού είναι διαφορίσιμη, θα μπορεί να γραφτεί ώς :
όπου η τελευταία ισότητα ισχύει λόγω του ότι τα ιδιοδιανύσματα είναι κανονικοποιημένα, και η ισότητα της λύσης με την σειρά είναι κατά norm, ενώ αν η λύση έχει συνεχείς παραγώγους μέχρι και δεύτερης τάξης η σύγκλιση είναι και ομοιόμορφη.
Τώρα ορίζουμε τον γραμμικό διαφορικό τελεστη
ο οποίος ικανοποιεί τις:
Αφού οι και είναι λύσεις του ομογενούς και του ημιομογενούς αντίστοιχα.
Επίσης σύμφωνα με την ταυτότητα Lagrange αφού οι συναρτήσεις και ικανοποιούν τις ίδιες συνοριακές συνθύκες ισχύει ότι:
Έτσι έχουμε τα επόμενα :
Συνεπώς έχουμε
και αφού
Από το οποίο καταλήγουμε στο τελικό αποτέλεσμα
Έτσι η λύση του ημιομογενούς θα είναι η
Απλοποιώντας όσο γίνεται
Στην συνέχεια και για να φτάσουμε στο ζουμί του θέματος μας ζητείται να εκφράσουμε την συνάρτηση ώς στην ορθοκανονική της ανάπτυξη ώς πρός τις ιδιοσυναρτήσεις του προβλήματος. Έχουμε
Παραδίδουμε την κόλλα μας και είμαστε ευχαριστιμένοι... ή μήπως όχι?
Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι λύση του ημιομογενούς... η οποία θα πρέπει να είναι και μοναδική αρα οι συντελεστές στα δύο αναπτύγματα θα έπρεπε να είναι ίσοι αφού για δεδομένη ορθοκανονική βάση του χώρου έχουμε μοναδική αναπαράσταση, αυτό όμως δεν ισχύει....... Τί μλκσ που είμαι!!!! τώρα μόλι συνειδητοίησα ότι το μή ομογενές γενικά έχει λύση μοναδική ανν το ομογενές έχει μόνο την τετριμμένη!!! grrrrrrrr τσάμπα το post
P.S Αλήθεια πόσες ασκήσεις πρέπει να έχει λύσει κάποιος από κάθε τύπο προβλήματος ώστε να καταφέρει να γράψει 6 τέτοια θέματα μέσα σε τρείς ώρες?
Θέμα 4ο κανονική μαθηματικού εφαρμογών 2010, έχουμε το
Μή τετριμμένες λύσεις βρίσκουμε μόνο για λ > 1 και τα ζεύγη ιδιοτιμών - ιδιοσυναρτήσεων που προκύπτουν είναι :
όπου έχω πάρει κατευθείαν τις κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις, που προκύπτουν αφού φέρουμε το πρόβλημα σε μορφή Strum:
και από την οποία προκύπτει η σχέση ορθοκανονικότητας :
Τώρα θέλουμε να επιλύσουμε το ημιομογενές
Το οποίο είναι ισοδύναμο με το
Σύμφωνα λοιπόν με την θεωρία τα ιδιοδιανύσματα του ομογενούς αποτελούν μία ορθοκανονική βάση του χώρου των συνεχών συναρτήσεων στο [0,L] και έτσι η λύση του ημιομογενούς (άν υπάρχει) η οποία θα είναι αναγκαστικά συνεχής αφού είναι διαφορίσιμη, θα μπορεί να γραφτεί ώς :
όπου η τελευταία ισότητα ισχύει λόγω του ότι τα ιδιοδιανύσματα είναι κανονικοποιημένα, και η ισότητα της λύσης με την σειρά είναι κατά norm, ενώ αν η λύση έχει συνεχείς παραγώγους μέχρι και δεύτερης τάξης η σύγκλιση είναι και ομοιόμορφη.
Τώρα ορίζουμε τον γραμμικό διαφορικό τελεστη
ο οποίος ικανοποιεί τις:
Αφού οι και είναι λύσεις του ομογενούς και του ημιομογενούς αντίστοιχα.
Επίσης σύμφωνα με την ταυτότητα Lagrange αφού οι συναρτήσεις και ικανοποιούν τις ίδιες συνοριακές συνθύκες ισχύει ότι:
Έτσι έχουμε τα επόμενα :
Συνεπώς έχουμε
και αφού
Από το οποίο καταλήγουμε στο τελικό αποτέλεσμα
Έτσι η λύση του ημιομογενούς θα είναι η
Απλοποιώντας όσο γίνεται
Στην συνέχεια και για να φτάσουμε στο ζουμί του θέματος μας ζητείται να εκφράσουμε την συνάρτηση ώς στην ορθοκανονική της ανάπτυξη ώς πρός τις ιδιοσυναρτήσεις του προβλήματος. Έχουμε
Παραδίδουμε την κόλλα μας και είμαστε ευχαριστιμένοι... ή μήπως όχι?
Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι λύση του ημιομογενούς... η οποία θα πρέπει να είναι και μοναδική αρα οι συντελεστές στα δύο αναπτύγματα θα έπρεπε να είναι ίσοι αφού για δεδομένη ορθοκανονική βάση του χώρου έχουμε μοναδική αναπαράσταση, αυτό όμως δεν ισχύει....... Τί μλκσ που είμαι!!!! τώρα μόλι συνειδητοίησα ότι το μή ομογενές γενικά έχει λύση μοναδική ανν το ομογενές έχει μόνο την τετριμμένη!!! grrrrrrrr τσάμπα το post
P.S Αλήθεια πόσες ασκήσεις πρέπει να έχει λύσει κάποιος από κάθε τύπο προβλήματος ώστε να καταφέρει να γράψει 6 τέτοια θέματα μέσα σε τρείς ώρες?
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος remilt την Δευ Σεπ 13, 2010 6:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- remilt
- Δημοσιεύσεις: 95
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 11, 2006 1:14 pm
- Real Name: Καραμανλής Μίλτος
- Gender: Male
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Και επανέρχομαι.... Τελικά είχα δίκιο ότι κάπου έχω άδικο....το αντίστοιχο ομογενές του ημιομογενούς είναι το
Το οποίο αφού το 2 δεν αποτελεί ιδιοτιμή έχει μόνο την τετριμμένη λύση...άρα η λύση του ημιομογενούς είναι μοναδική και άρα θα έπρεπε να ισχύει ότι
Σίγουρα κάπου σφάλω.... υπάρχει κανείς γεναίος να βρεί αν και πού έχω υπολογιστικό ή λογικό σφάλμα στον συλογισμό μου? Θα το εκτιμούσα πολύ γιατί έχω σπαστεί πολύ με το θέμα αλλά δεν έχω άλλο κουράγιο για το συγκεκριμένο πρόβλημα...
Το οποίο αφού το 2 δεν αποτελεί ιδιοτιμή έχει μόνο την τετριμμένη λύση...άρα η λύση του ημιομογενούς είναι μοναδική και άρα θα έπρεπε να ισχύει ότι
Σίγουρα κάπου σφάλω.... υπάρχει κανείς γεναίος να βρεί αν και πού έχω υπολογιστικό ή λογικό σφάλμα στον συλογισμό μου? Θα το εκτιμούσα πολύ γιατί έχω σπαστεί πολύ με το θέμα αλλά δεν έχω άλλο κουράγιο για το συγκεκριμένο πρόβλημα...
- Συνημμένα
-
- strumkaps.pdf
- Το όλο θεμα σε PDF για διευκόλυσνη...
- (106.65 KiB) Μεταφορτώθηκε 178 φορές
- Malefino
- Δημοσιεύσεις: 453
- Εγγραφή: Τετ Ιαν 28, 2009 6:50 pm
- Real Name: Thomas
- Gender: Male
- Facebook ID: 2147483647
Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Ρε παιδιά εξηγήστε μου λίγο τι θα παιχτεί τελικά με το ζήτημα θεμάτων Μαθηματικού-Φυσικού...
Αν αγαπάς θα φας πακέτο
κι αν μ'αγαπάς θα φας μπουκέτο.
VoxPopuli: producer, beatmaker and dj
https://soundcloud.com/voxpopuli2
https://voxpopuli2.bandcamp.com
Αναρχοσυνδικαλιστική Πρωτοβουλία Ροσινάντε: ΖΗΤΩ Η ΕΛΛΑΔΑ ΧΩΡΙΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΗ!
https://rocinante.gr
κι αν μ'αγαπάς θα φας μπουκέτο.
VoxPopuli: producer, beatmaker and dj
https://soundcloud.com/voxpopuli2
https://voxpopuli2.bandcamp.com
Αναρχοσυνδικαλιστική Πρωτοβουλία Ροσινάντε: ΖΗΤΩ Η ΕΛΛΑΔΑ ΧΩΡΙΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΗ!
https://rocinante.gr
- remilt
- Δημοσιεύσεις: 95
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 11, 2006 1:14 pm
- Real Name: Καραμανλής Μίλτος
- Gender: Male
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Εγώ πάντος δεν έχω ιδέα...υποθέτω ότι δεν θα μας ρωτάνε έναν έναν τι κατεύθηνση έχουμε οπότε τα θέματα μάλλον τα ίδια θα είναι και η ύλη η τομή των υλών.....
- Alekos
- Δημοσιεύσεις: 171
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 02, 2008 2:18 pm
- Real Name: Alekos
- Gender: Male
- Facebook ID: 0
- Τοποθεσία: Los Alimos
Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Γιατί είναι απίθανο να μπουν θέματα στην κοινή ύλη
το θέμα είναι ότι μόνο εικασίες μπορούμε να κάνουμε.....υπομονή μέχρι μεθαύριο
το θέμα είναι ότι μόνο εικασίες μπορούμε να κάνουμε.....υπομονή μέχρι μεθαύριο
- kostas213
- Forum Administrator
- Δημοσιεύσεις: 1531
- Εγγραφή: Τρί Νοέμ 28, 2006 8:03 pm
- Real Name: Κωνσταντίνος
- Gender: Male
- Τοποθεσία: Zürich
Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Είναι απλό γιατί κάθε χρόνο το ίδιο γίνεται: σε κάποιες αίθουσες γραφούν οι μαθηματικοί και σε κάποιες άλλες οι φυσικοί. Φέτος μαζί με τους μαθηματικούς γράφει και ο κορμός. Δεν υπάρχει περίπτωση κοινών θεμάτων, εξ' άλλου ποτέ δεν έγινε.
There's no place like ::1
- remilt
- Δημοσιεύσεις: 95
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 11, 2006 1:14 pm
- Real Name: Καραμανλής Μίλτος
- Gender: Male
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Ρε παιδιά κανείς για το 4ο θεμα 2010 κανονική του Μαθηματικού?
Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
SOS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ΞΕΡΕΙ ΚΑΝΕΙΣ ΤΗ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΘΕΜΑ 2α ΤΟΥ 2010 ΦΥΣΙΚΟΥ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ΣΟΣ!!!!!
- kostas213
- Forum Administrator
- Δημοσιεύσεις: 1531
- Εγγραφή: Τρί Νοέμ 28, 2006 8:03 pm
- Real Name: Κωνσταντίνος
- Gender: Male
- Τοποθεσία: Zürich
Re: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (μέχρι 2009-2010)
Κλειδώνεται αφού το μάθημα έχει πλεόν μεταφερθεί στον κορμό ως Εισαγωγή στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις.
There's no place like ::1