Γρίφος

[Ιάσωνας]

Μπράβο ρε charals, ωραίος!

[Hengeo]

Εξανίσταμαι! Αν ο φύλακας δει το ένα κελί άδειο, δεν θα καταλάβει ότι κάτι παίζεται;

[Ιάσωνας]

Μια κληρωτίδα περιέχει n αριθμημένα μπαλάκια με αριθμούς από το 1 έως το n. Παίρνουμε στην τύχη ένα μπαλάκι. Αν το να πάρουμε μπαλάκι με αριθμό που δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 είναι κατά 40% πιθανότερο από το να είναι πολλαπλάσιο του 3, μπορείτε να βρείτε πόσα μπαλάκια έχει η κληρωτίδα?

[constant]

Το ότι να πάρουμε μπαλάκι με αριθμό που δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 είναι κατά 40% πιθανότερο από το να είναι πολλαπλάσιο του 3, μας δηλώνει ότι:
αν πάρουμε ένα μπαλάκι από το σύνολο, η πιθανότητα να είναι πολλαπλάσιο του 3 είναι 30%.

Τώρα, παίρνουμε 3 περιπτώσεις για το n.
1η περίπτωση) Αν . Για παράδειγμα, 1, 4, 7, 10, 13 κτλ μπαλάκια. Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι κτλ. Δηλαδή είναι της μορφής: . Οπότε αν απαιτήσουμε παίρνουμε ότι k = 3, άρα η απάντηση είναι μπαλάκια.


2η περίπτωση) Αν . Για παράδειγμα, κτλ μπαλάκια. Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι κτλ. Δηλαδή είναι της μορφής: . Οπότε αν απαιτήσουμε παίρνουμε ότι k = 6, άρα η απάντηση είναι μπαλάκια.


3η περίπτωση) Αν . Για παράδειγμα, κτλ μπαλάκια. Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι κτλ. Δηλαδή συνεχώς η πιθανότητα είναι . Όντως, αν απαιτήσουμε παίρνουμε ότι k = 0, άρα άτοπο.

Οπότε οι μόνες λύσεις είναι τα μπαλάκια να είναι ή .

[bouldog]

o constant einai megalos noubas den nomizw na to vrhke monos tou mporei na ton voithise kapoios(krhtikos) gia na to vrei toso grhgora alla vevaia mas to paizei kai magkas apo panw

[foithths]

i'm stunned!!!

[constant]

Oh, don't be..

[Hengeo]

Ως βασική ιδέα έχει δίκιο ο constant, όμως νομίζω ότι έχει κάνει αριθμητικό λάθος. Αν η πιθανότητα για πολλαπλάσιο του 3 είναι 30%, η πιθανότητα για μη πολλαπλάσιο θα είναι 70%, δηλαδή 133% φορές μεγαλύτερη! Για 40% μεγαλύτερη οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι περίπου 41,7% και 58,3%, δεν βγαίνουν ακριβώς και τελικά δεν βγαίνει αποτέλεσμα με αυτά τα δεδομένα! Εκτός αν κάτι έχω καταλάβει λάθος!

[constant]

To be honest, λέει "είναι κατά 40% πιθανότερο" και όχι "είναι 40% φορές πιθανότερο" άρα όπως το καταλαβαίνω εγώ εννοεί η πιθανότητα να είναι πολλαπλάσιο, η πιθανότητα να μην είναι άρα, κτλ..

[Hengeo]

Μάλλον έχεις δίκιο, αυτό εννοεί η εκφώνηση και αυτό είναι ένα πολύ καλό παράδειγμα γιατί δεν αρκεί μόνο να έχεις σωστές ιδέες αλλά να ερμηνεύεις σωστά και τα δεδομένα!

[Ιάσωνας]

Ωραίος ο constant. Άλλος ένας:

Να ζωγραφίσετε ένα τετράγωνο με πλευρά 6 cm. Να διαιρέσετε δυο κάθετες πλευρές του σε 6 ίσα μέρη και να φέρετε από τα σημεία των διαιρέσεων παράλληλες προς τις πλευρές του αρχικού τετραγώνου. Να φτιάξετε κάτι σαν πλέγμα δηλαδή. Να βρείτε: α) Το πλήθος όλων των τετραγώνων που σχηματίζονται, β) Το άθροισμα των εμβαδών όλων αυτών των τετραγώνων, γ) Μπορείτε να γενικεύσετε το (α) ερώτημα, δηλαδή να διαιρέσετε κάθε μία από δυο κάθετες πλευρές σε n ίσα τμήματα και να βρείτε το πλήθος των τετραγώνων; Αυτό σημαίνει να ανακαλύψετε εσείς ένα τύπο που να μας δίνει τον αριθμό των τετραγώνων σε κάθε περίπτωση.

[Hengeo]

α) 36 τετράγωνα

β) Το κάθε τετράγωνο θα έχει πλευρά 1 cm, άρα εμβαδο 1 cm^2, επομένως το άθροισμα των εμβαδών και των 36 θα είναι 36cm^2 όσο και του αρχικού, όπως θα αναμενόταν.

γ) n^2

[otinanai]

Νομίζω οτι αυτο που λεει ο Ιασωνας ειναι πιο συνθετο
δηλαδη τετραγωνο είναι και το αρχικό και το καθενα από τα μικρά και 4 μικρα μαζί κλπ

[Ιάσωνας]

Ναι, όλα τα τετράγωνα πρέπει να μετρήσετε, και τα 2x2 και τα 3x3, κ.ο.κ. Και ο μαθηματικός τύπος πρέπει να μας τα δίνει όλα

[Hengeo]

Α, τότε..

α) 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91

β) Το συνολικό τους εμβαδό θα είναι 36 * 1 + 25 * 4 + 16 * 9 + 9 * 16 + 4 * 25 + 1 * 36 =
= 36 + 100 + 144 + 144 + 100 + 36 = 560 cm^2

γ) Ο γενικός τύπος για τον αριθμό των τετραγώνων θα είναι: 1^2 + 2^2 + ... + n^2, όπου σε n ίσα
τμήματα διαιρέσαμε τις πλευρές. Αντίστοιχα για το εμβαδό θα είναι: n^2 * 1^2 + (n-1)^2 * 2^2 + ... +
+ 2^2 * (n-1)^2 + 1^2 * n^2