ΣΕΜΦΕ forum

Θέτω ένα πρόβλημα που δεν χρειάζεται γνώσεις, μόνο σκέψη.

1) Το επίπεδο είναι βαμμένο με 2 χρώματα, μπλε και κόκκινο. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δυο σημεία του επιπέδου με απόσταση 1 μέτρο τα οποία είναι βαμμένα με το ίδιο χρώμα.

2) Αποδείξτε το ίδιο αν τώρα το επίπεδο είναι βαμμένο με 3 χρώματα. (πιο δύσκολο)

3) Βάψτε εσείς το επίπεδο με 9 χρώματα έτσι ώστε να μην υπάρχουν δυο σημεία με απόσταση 1 μέτρο που να έχουν το ίδιο χρώμα.

Επιτέλους, Αλέξανδρε σε βλέπω να γράφεις στο semfe.gr. Περίμενα από καιρό να βάλεις κάποιο πρόβλημα και πραγματικά χαίρομαι πολύ που το έκανες.
Ελπίζω σιγά σιγά αυτό το topic να μεγαλώσει και να αρχίσουν να γράφουν περισσότεροι φοιτητές. Δεν χρειάζεται να γράψει κάποιος μια πολύ δύσκολη λύση ή να πρέπει να βάλει ένα πρόβλημα που να μην μπορεί να το λύσει κανείς. Ακόμα και δυσκολία σε μια σχετικά εύκολη άσκηση ή απόδειξη να έχει κάποιος, θα ήταν καλό να ρωτήσει. Έτσι κι αλλιώς το δύσκολο στα μαθηματικά είναι να καταλάβεις τα απλά πράγματα και να μάθεις να χρησιμοποιείς τις απλές προτάσεις για να λύσεις ένα πρόβλημα. Ακόμα και τα πιο δύσκολα προβλήματα, λύνονται χρησιμοποιώντας μια σειρά από απλές προτάσεις και σκέψεις.
Τώρα,

AlexandrosG έγραψε:Θέτω ένα πρόβλημα που δεν χρειάζεται γνώσεις, μόνο σκέψη.

1) Το επίπεδο είναι βαμμένο με 2 χρώματα, μπλε και κόκκινο. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δυο σημεία του επιπέδου με απόσταση 1 μέτρο τα οποία είναι βαμμένα με το ίδιο χρώμα.

Νομίζω ότι κάποιος έβαλε το ίδιο πρόβλημα

kostas.m έγραψε:Έστω ένας τοίχος απείρων διαστάσεων τον οποίον τον χρωματίζουμε τυχαία με τα χρώματα κόκκινο και μπλέ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία σε απόσταση 1m που να έχουν το ίδιο χρώμα.

σελίδα 7 του topic τα πόστ 2,3,10,14 μιλάνε για αυτό

Το

3) Βάψτε εσείς το επίπεδο με 9 χρώματα έτσι ώστε να μην υπάρχουν δυο σημεία με απόσταση 1 μέτρο που να έχουν το ίδιο χρώμα.

Μου φαίνεται πολύ ωραίο πρόβλημα

Υ.Γ: Έχω βρεί μια λύση για το πρόβλημα 4 του προκριματικού διαγωνισμού για τον Imc χρησιμοποιώντας γεννήτριες συναρτήσεις, αν κάποιος θέλει μπορώ να ανεβάσω την λύση μου.

kostas.m έγραψε:Νομίζω ότι κάποιος έβαλε το ίδιο πρόβλημα

kostas.m έγραψε:Έστω ένας τοίχος απείρων διαστάσεων τον οποίον τον χρωματίζουμε τυχαία με τα χρώματα κόκκινο και μπλέ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία σε απόσταση 1m που να έχουν το ίδιο χρώμα.

σελίδα 7 του topic τα πόστ 2,3,10,14 μιλάνε για αυτό

Χαχααχαχαχαχαχα
Γειά σου ρε Mast. Δεν το πρόσεξα. Άρα μένουν τα ερωτήματα 2 και 3.

Έγω θα ήθελα να δω τη λύση σου στο θέμα του προκριματικού!

Πρόβλημα 4 Προκριματικού Imc

Ορίζουμε αναδρομικά την ακολουθία ως εξής: και


α) Δείξτε ότι η συγκλίνει και υπολογίστε το οριό της.

β) Υπολογίστε το όριο

θα αποδείξω το α).
Έχω βρεί μια απόδειξη και για το β) με γεννήτριες συναρτήσεις, αλλά στο τέλος του post θα βάλω άσκηση πιο γενική από το β) ερώτημα από την οποία θα προκύπτει αμέσως η απάντηση

Λύση για το α)

Θεωρώ την γεννήτρια συνάρτηση της , τότε έχω ότι , άρα .
Θέτω , τότε , οπότε η γίνεται , οπότε υπάρχει c τέτοιο ώστε , όμως , οπότε, και ξέροντας την G και G' αντικαθιστώ στην και έχω ότι , άρα .
Οπότε καθώς το όριο είναι η σειρά Taylor της

Άσκηση:

Έστω η ακολουθία , με . Να δείξετε ότι
α)
β)

Υγ1: Ελπίζω να μην έχω κάνει κανένα λάθος γράφοντας σε latex ή σε πράξεις, αν έχω κάνει μην ντραπείτε να μου το πείτε
Υγ2: Αν κάποιος δεν έχει καταλάβει κάτι ή θέλει περισσότερες info για γεννήτριες ή οτιδήποτε, μπορεί να ρωτήσει.

Αλέξανδρε επιτέλους σε βλέπουμε στο φόρουμ! Έπρεπε να πας στο 5ο έτος για να αποφασίσεις να γραφτείς!
Βάζω μια λύση για το β) του Αλέξανδρου και ελπίζω να μην έχω κάποιο λάθος:

Έστω ότι τα 3 χρώματα είναι: μαύρο, πράσινο, κόκκινο.
Έστω τώρα πως δεν ισχύει το ζητούμενο και πάμε να φτάσουμε σε άτοπο:

Θα δείξουμε τον ακόλουθο ισχυρισμό:
Κάθε 2 σημεία στο επίπεδο με απόσταση έχουν το ίδιο χρώμα.
Απόδειξη ισχυρισμού:
Θεωρούμε τυχαίο τμήμα ΑΒ με μήκος και υποθέτουμε ότι τα άκρα του έχουν διαφορετικό χρώμα, έστω χωρίς βλάβη ότι το Α είναι κόκκινο και το Β πράσινο. Παίρνουμε σημείο Κ της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ τέτοιο ώστε |ΚΑ|=|ΚΒ|=1 (είναι εύκολο να δει κανείς ότι τέτοιο σημείο υπάρχει) και έστω Κ' το συμμετρικό του Κ ως προς το τμήμα ΑΒ. Με πολύ απλή γεωμετρία μπορούμε να δούμε ότι |Κ'Α|=|Κ'Β|=|ΚΚ'|=|ΚΑ|=|ΚΒ|=1. Τώρα από την υπόθεση το Κ πρέπει να είναι μαύρο και αφού |ΚΚ'|=1 το Κ' πρέπει να είναι κόκκινο η πράσινο, άτοπο αφού τότε το Κ' θα είχε ίδιο χρώμα είτε με το Α είτε με το Β ενώ ισχύει |Κ'Α|=|Κ'Β|=1.

Τώρα θέλουμε να φτάσουμε σε άτοπο για τον αρχικό ισχυρισμό, έχοντας δείξει ότι αν αυτός είναι αληθής (δηλαδή αν δεν υπάρχουν 2 σημεία με απόσταση 1 που να έχουν το ίδιο χρώμα), τότε υποχρεωτικά όλα τα τμήματα μήκους έχουν άκρα του ίδιου χρώματος. Πράγματι, επειδή 1 < 2, υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ= και ΒΓ=1, οπότε τα Β,Γ έχουν απόσταση 1 και ίδιο χρώμα διότι πρέπει να έχουν ίδιο χρώμα με το Α (αφου ΑΒ=ΑΓ=), και έτσι καταλήγουμε σε αυτό που έχουμε υποθέσει ότι δεν ισχύει, δηλαδή σε άτοπο!
Άρα πάντα θα υπάρχει ευθ. τμήμα μήκους 1 με άκρα του ίδιου χρώματος!

Εχω λυση και για το γ) στο προβλημα του Αλεξανδρου, αλλα επειδη ειναι πιο ευκολο απο το β), θα δωσω μονο ενα hint και αν δεν το λυσει κανενας μεσα στις επομενες μερες, τοτε θα βαλω τη λυση μου:
Προσπαθειστε να χωρισετε το επιπεδο σε καταλληλα μονοχρωματικα χωρια για τα οποια να ισχυει το ζητουμενο

Νίκο μπράβο για την λύση. Mast επίσης πολύ καλή λύση. Το ερώτημα α) που θέτεις είναι το άθροισμα Cesaro μια ακολουθίας και το β) το γινόμενο Cauchy δυο ακολουθιών. Αποδεικνύονται και τα δυο με τον ορισμό του ορίου ακολουθίας και είναι πολύ καλές ασκήσεις.

Θέτω ακόμη ένα πρόβλημα:

Στην περιφέρεια ενός τετραγώνου πλευράς 50 μέτρων κινούνται 4 σκυλιά. Στο εσωτερικό του βρίσκεται ένας λύκος. Όταν ο λύκος βρεθεί στο ίδιο σημείο με ένα μόνο σκυλί τότε μπορεί να το φάει. Αν όμως στο σημείο υπάρχουν δυο σκυλιά τότε φοβάται και κάνει πίσω. Γνωρίζουμε επίσης ότι κάθε σκυλί είναι μιάμιση φορά γρηγορότερο από το λύκο. Τα σκυλιά έχουν την δυνατότητα να επιλέξουν τις αρχικές τους θέσεις. Να αποδειχθεί ότι μπορούν να μην αφήσουν το λύκο να βγει από το τετράγωνο.

Ένα πρόβλημα ακόμα:

Πέντε πειρατές με ονόματα Α,Β,Γ,Δ,Ε θέλουν να μοιραστούν τις 100 χρυσές λίρες που βρήκαν. Έχουν αυστηρή ιεραρχία δηλαδή ο Α είναι ανώτερος του Β, ο Β του Γ κ.ο.κ. Έχουν το εξής σύστημα για τη μοιρασιά:ο ανώτερος από τους πειρατές προτείνει μια μοιρασιά και μετά όλοι ψηφίζουν. Αν τουλάχιστον το 50% ψηφίσει υπέρ τότε τα μοιράζονται έτσι όπως πρότεινε. Αν όχι τότε τον σκοτώνουν και συνεχίζουν την ίδια διαδικασία με τον επόμενο στην ιεραρχία να προτείνει. Οι πειρατές βασίζουν τις αποφάσεις τους σε τρεις παράγοντες με σειρά: 1ον θέλουν να ζήσουν, 2ον θέλουν το μεγαλύτερο κέρδος και 3ον αν θα μπορούσαν να σκοτώσουν κάποιον άλλο πειρατή (εννοείται μέσα από ψηφοφορία) θα το έκαναν. Τέλος είναι λογικοί και γνωρίζουν και ότι όλοι οι άλλοι είναι λογικοί. Το ερώτημα είναι τι μπορεί να κάνει ο Α για να μεγιστοποιήσει το κέρδος του και πόσες λίρες μπορεί να πάρει. Η απάντηση εκπλήσσει!

Βάζω ακόμα ένα πρόβλημα:

Έχουμε 100 βαρέλια με νερό και στο ένα από αυτά υπάρχει δηλητήριο.
Για να βρούμε σε ποιο υπάρχει το δηλητήριο, στέλνουμε δείγματα από τα βαρέλια στο χημείο.
Σε ένα δείγμα μπορούμε να βάλουμε νερό από πολλά βαρέλια, πχ από τα 50 πρώτα.
Σε κάθε δείγμα, το χημείο μας απαντά μόνο αν το δείγμα περιέχει δηλητήριο ή όχι.
Δεν μας απαντά σε τι περιεκτικότητα υπάρχει, δηλαδή αν το δηλητήριο βρίσκεται στο
πρώτο βαρέλι και εμείς βάλουμε στο δείγμα 10ml από το πρώτο βαρέλι και 20ml από κάθε
άλλο βαρέλι, το χημείο δεν θα μας πει ότι στο δείγμα έχουμε 10ml δηλητήριο, το μόνο
που θα μας πει είναι ότι στο δείγμα υπάρχει δηλητήριο.
Όλα τα δείγματα, τα στέλνουμε μαζί, δηλαδή δεν στέλνουμε ξέρω γω τα τελευταία 10 και
αν το χημείο μας απαντήσει ότι βρίσκεται εκεί στέλνουμε τα τελευταία 3 και πάει λέγοντας.
Αλλά, στέλνουμε μία φορά τα δείγματα Δ1: (10 πρώτα βαρέλια), Δ2:(30 επόμενα)
και πάει λέγοντας.

Ποιό είναι το ελάχιστο πλήθος δειγμάτων που μπορούμε να στείλουμε στο χημείο και με τις απαντήσεις που θα πάρουμε να ξέρουμε ακριβώς ποιο είναι το βαρέλι με το δηλητήριο?

Γράφω την απάντηση που είχα βρει μαζί με ένα φίλο μου όταν ο Mast μας είχε πει το πρόβλημα. Δεν είναι πάντως ο ελάχιστος αριθμός. Θα δείξουμε ότι με 8 δείγματα μπορούμε να βρούμε το δηλητήριο.

Παρατηρούμε ότι για 4 βαρέλια χρειαζόμαστε 2 δείγματα. Τα δυο πρώτα και το πρώτο με το τρίτο. Επίσης για 5 βαρέλια χρειαζόμαστε 3 δείγματα. Αποκλείουμε ένα βαρέλι και μετά κάνουμε ότι και πριν.

Τώρα χωρίζουμε τα βαρέλια σε 4 25-άδες

0102030405
0607080910
1112131415
1617181920
2122232425

Τώρα με δυο δείγματα βρίσκουμε σε ποιά 25-άδα είναι το δηλητήριο, με τρεις σε ποιά σειρά είναι και με άλλες τρεις σε ποιά στήλη είναι. Συνολικά 8 δείγματα.

Πολύ καλή σκέψη είχατε κάνει στην εκδρομή του τρίτου έτους και πολύ στοιχειώδης.
Χρησιμοποιήσατε μόνο απλές σκέψεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε κάποια δύσκολη μαθηματική
αρχή.
Νομίζω ότι με αυτόν τον αλγοριθμικό τρόπο, αλλάζοντας κάποια στοιχεία της μεθόδου,
θα προκύψει και το ελάχιστο.

Μιας και μιλάμε για σκέψεις, είμαι περίεργος να δω πως λύνεται το πρόβλημα με τα σκυλιά και τον λύκο.
Μιας και έχουμε εξεταστική, δεν έχω χρόνο να αφιερώσω. Τα μόνα που έχω σκεφτεί και πρέπει να έχουν σχέση με την απόδειξη είναι ότι
1,5>, και αφού κάθε απόσταση που διανύουν
τα σκυλιά μέσα στο τετράγωνο θα είναι με κάποιον τρόπο μικρότερη από την απόσταση που διανύει ο λύκος* τότε θα
τον προλαβαίνουνε. Επίσης, θα πρέπει να έχουμε συμμετρία στο πρόβλημα, δηλαδή ο λύκος με κάποιον τρόπο θα πρέπει
να είναι ένα κέντρο συμμετρίας για τα σκυλιά, ίσως να πρέπει να ανήκει στην μεσοκάθετο του ευθυγραμμου τμήματος με άκρα τα σκυλιά
για κάθε δύο σκυλιά, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η απόσταση που θα πρέπει να καλύψουν τα σκυλιά για να φτάσουν στον λύκο.
Λογικά, όταν ο σκύλος θα είναι στο κέντρο του τετραγώνου, τα σκυλιά θα πρέπει να είναι στα άκρα του τετραγώνου.
Εγω θα ήθελα να δω την λύση για αυτό το πρόβλημα.

Η εκφώνηση του προβλήματος

AlexandrosG έγραψε: Θέτω ακόμη ένα πρόβλημα:

Στην περιφέρεια ενός τετραγώνου πλευράς 50 μέτρων κινούνται 4 σκυλιά. Στο εσωτερικό του βρίσκεται ένας λύκος. Όταν ο λύκος βρεθεί στο ίδιο σημείο με ένα μόνο σκυλί τότε μπορεί να το φάει. Αν όμως στο σημείο υπάρχουν δυο σκυλιά τότε φοβάται και κάνει πίσω. Γνωρίζουμε επίσης ότι κάθε σκυλί είναι μιάμιση φορά γρηγορότερο από το λύκο. Τα σκυλιά έχουν την δυνατότητα να επιλέξουν τις αρχικές τους θέσεις. Να αποδειχθεί ότι μπορούν να μην αφήσουν το λύκο να βγει από το τετράγωνο.

AlexandrosG έγραψε:Παρατηρούμε ότι για 4 βαρέλια χρειαζόμαστε 2 δείγματα. Τα δυο πρώτα και το πρώτο με το τρίτο. Επίσης για 5 βαρέλια χρειαζόμαστε 3 δείγματα. Αποκλείουμε ένα βαρέλι και μετά κάνουμε ότι και πριν.

Τώρα χωρίζουμε τα βαρέλια σε 4 25-άδες

0102030405
0607080910
1112131415
1617181920
2122232425

Τώρα με δυο δείγματα βρίσκουμε σε ποιά 25-άδα είναι το δηλητήριο, με τρεις σε ποιά σειρά είναι και με άλλες τρεις σε ποιά στήλη είναι. Συνολικά 8 δείγματα.

Πολύ καλή σκέψη, αλλά αυτή η λύση δεν παραβιάζει αυτή την απαίτηση της εκφώνησης;

kostas.m έγραψε:Όλα τα δείγματα, τα στέλνουμε μαζί, δηλαδή δεν στέλνουμε ξέρω γω τα τελευταία 10 και αν το χημείο μας απαντήσει ότι βρίσκεται εκεί στέλνουμε τα τελευταία 3 και πάει λέγοντας.
Αλλά, στέλνουμε μία φορά τα δείγματα Δ1: (10 πρώτα βαρέλια), Δ2:(30 επόμενα)
και πάει λέγοντας.

Εδώ λέει ότι πρέπει να στείλουμε όλα τα δείγματα μαζί. Στην παραπάνω λύση όμως, θα στείλουμε τα πρώτα 2, μετά με βάση τα αποτελέσματα που θα πάρουμε θα επιλέξουμε τα άλλα 3 και με τα δεύτερα αποτελέσματα θα επιλέξουμε τα τελευταία 3.

Εκτός αν παρανόησα την εκφώνηση και εννοεί κάτι άλλο

Edit:

kostas.m έγραψε:Νομίζω ότι με αυτόν τον αλγοριθμικό τρόπο, αλλάζοντας κάποια στοιχεία της μεθόδου,
θα προκύψει και το ελάχιστο.

Μήπως με αυτό εννοούσες αυτά που έγραψα;

Αυτό που εννοεί ο Αλέξανδρος ή τουλάχιστον αυτό π καταλαβαίνω εγώ
ότι εννοεί είναι το εξής:

Στέλνει 8 δείγματα.

Στο πρώτο βάζει νερό από τα πρώτα 25(1-25) και τα δεύτερα 25(26-50) βαρέλια

Στο δεύτερο βάζει νερό από τα πρώτα 25(1-25) και τα τρίτα 25(51-75) βαρέλια

Από αυτά θα διαπιστώσει στο τέλος, σε ποιά 25-αδα βρίσκεται το δηλητήριο, αλλά
δεν τα στέλνει αυτά χωρίς να στείλει τα υπόλοιπα 6. Απλά από τις απαντήσεις που θα
πάρει από αυτά τα δυο συγκεκριμένα θα ξέρει σε ποια 25-αδα είναι το δηλητήριο.

Στο τρίτο βάζει νερό από τα 10 πρώτα βαρέλια κάθε 25-αδας (1-10, 26-35, 51-60, 76-85)

Στο τέταρτο βάζει νερό από τα 5 πρώτα και 5 τρίτα βαρέλια κάθε 25-αδας
(1-5,11-15) για τα πρώτα 25, (26-30,36-40) για τα δεύτερα 25, (51-55,61-65)
για τα τρίτα 25, (76-80, 86-90) για τα τέταρτα 25,

Στο πέμπτο βάζει νερό από τα τελευταία 5 βαρέλια κάθε 25-άδας
(21-25, 46-50, 71-75, 96-100)

Από το τρίτο, τέταρτο και πέμπτο δείγμα θα βρει σε ποιά πεντάδα κάποιας 25-αδας
βρίσκεται το δηλητήριο, και αυτά τα στέλνει την ίδια στιγμή με το πρώτο και το
δεύτερο δείγμα, γιατί δεν τον νοιάζει να ξέρει σε ποια 25-αδα είναι.

Τέλος,

Στο έκτο δείγμα στέλνει από τα πρώτα δύο βαρέλια κάθε πεντάδας κάθε 25-αδας
(κουραστικό έγινε το πράγμα ) (1-2, 6-7,11-12, 16-17, 21-22) για την
πρώτη 25-άδα και όμοια για τις επόμενες

Στο έβδομο δείγμα στέλνει από το πρώτο και το τρίτο βαρέλι κάθε πεντάδας κάθε
25-αδας (1,3, 6,8, 11,13, 16,18, 21, 23) για την πρώτη και όμοια για τις
υπόλοιπες

Στο όγδοο (επιτέλους ) στέλνει από το τελευταίο βαρέλι κάθε
πεντάδας (5,10,15,20,25) για την πρώτη και όμοια και για τις υπόλοιπες

Από το 6,7,8ο δείγμα θα ξέρει ακριβώς σε ποιά θέση(1,2,3,4,5) ΚΑΠΟΙΑΣ 5-αδας
ΚΑΠΟΙΑΣ 25-αδας βρίσκεται το δηλητήριο.

Οπότε,
Από τα 1,2 θα ξέρει την 25-αδα
Από τα 3,4,5 θα ξέρει την 5-αδα
Από τα 6,7,8 θα ξέρει την 1-αδα

Αυτό που κάνει ο Αλέξανδρος είναι σαν να είναι στο 5-αδικό σύστημα και να
αριθμεί το κάθε βαρέλι στο 5-αδικό σύστημα.
(προς τα εκεί πηγαίνει και η λύση αλλά όχι στο 5-αδικό)

Hengeo έγραψε: Edit:

kostas.m έγραψε:Νομίζω ότι με αυτόν τον αλγοριθμικό τρόπο, αλλάζοντας κάποια στοιχεία της μεθόδου,
θα προκύψει και το ελάχιστο.

Μήπως με αυτό εννοούσες αυτά που έγραψα;

Αυτό που εννοούσα ήταν ότι μέχρι τα 25 πάμε με το μέγιστο βήμα, δηλαδή με 2 δείματα και εκεί
χρησιμοποιούμε, ότι σε 4 βαρέλια βρίσκουμε το δηλητήριο με 2 δείγματα, που είναι πολύ γρήγορο
ενώ από τα 25 και κάτω πάμε με 5-αδες και οι 5-αδες είναι το πιο αργό βήμα γιατί
σε 5 βαρέλια βρίσκουμε το δηλητήριο με 3 δείγματα,
όμως και σε 8 βαρέλια βρίσκουμε το δηλητήριο σε 3 δείγματα (γιατί?)
Οπότε, το να επιλέξουμε με 3 δείγματα να ελέγξουμε 5-αδες είναι
πολύ αργό και χάνουμε πολλές πληροφορίες που μπορούμε να πάρουμε
με 3 δείγματα.

Hengeo, ελπίζω να σε κάλυψα

Α τώρα το έπιασα, πανέξυπνο! Thanks!

Προς διαχωρισμό με δυαδικό ή κάποιο άλλο σύστημα είχε πάει και εμένα το μυαλό μου, αλλά ομολογώ ότι όλη αυτή τη διαδικασία δεν θα την σκεφτόμουν!

AlexandrosG έγραψε:Πέντε πειρατές με ονόματα Α,Β,Γ,Δ,Ε θέλουν να μοιραστούν τις 100 χρυσές λίρες που βρήκαν. Έχουν αυστηρή ιεραρχία δηλαδή ο Α είναι ανώτερος του Β, ο Β του Γ κ.ο.κ. Έχουν το εξής σύστημα για τη μοιρασιά:ο ανώτερος από τους πειρατές προτείνει μια μοιρασιά και μετά όλοι ψηφίζουν. Αν τουλάχιστον το 50% ψηφίσει υπέρ τότε τα μοιράζονται έτσι όπως πρότεινε. Αν όχι τότε τον σκοτώνουν και συνεχίζουν την ίδια διαδικασία με τον επόμενο στην ιεραρχία να προτείνει. Οι πειρατές βασίζουν τις αποφάσεις τους σε τρεις παράγοντες με σειρά: 1ον θέλουν να ζήσουν, 2ον θέλουν το μεγαλύτερο κέρδος και 3ον αν θα μπορούσαν να σκοτώσουν κάποιον άλλο πειρατή (εννοείται μέσα από ψηφοφορία) θα το έκαναν. Τέλος είναι λογικοί και γνωρίζουν και ότι όλοι οι άλλοι είναι λογικοί. Το ερώτημα είναι τι μπορεί να κάνει ο Α για να μεγιστοποιήσει το κέρδος του και πόσες λίρες μπορεί να πάρει. Η απάντηση εκπλήσσει!

Το σκέφτηκα κάπως έτσι αυτό:

Αν ήταν μόνο 2 πειρατές, ο μεγαλύτερος στην ιεραρχία θα πρότεινε και θα ψήφιζε να τα πάρει όλα.
Αν ήταν 3, ο πρώτος στην ιεραρχία θα ήξερε ότι ο δεύτερος στην ιεραρχία θα τον καταψήφιζε ούτως ή άλλως για να μείνουν δύο και να τα πάρει όλα. Θα έδινε λοιπόν 1 στον τελευταίο για να τον κάνει να έχει συμφέρον να ψηφίσει την πρότασή του και θα έπαιρνε όλα τα υπόλοιπα 99.
Αν ήταν 4, ο πρώτος θα ήξερε λόγω των προηγούμενων ότι αρκεί να δώσει 1 στον τελευταίο για να τον υπερψηφίσει, αφού ούτως ή άλλως ο τελευταίως επίσης ξέρει λόγω των προηγουμένων ότι δεν μπορεί να πάρει κάτι παραπάνω.
Τώρα που είναι 5, ο πρώτος αρκεί να δώσει 1 στον τελευταίο και άλλο 1 στον προτελευταίο για να πάρει την πλειοψηφία, αφού οι δύο αυτοί ξέρουν λόγω των προηγουμένων ότι αν κάνει πρόταση ο 4ος ο μεν τελευταίος θα πάρει τα ίδια, ο μεν προτελευταίος δεν θα πάρει τίποτα.

Άρα, αν δεν μου ξέφυγε κάτι, η απάντηση είναι ότι ο πρώτος θα προτείνει να πάρει 98 λίτρες αυτός, 1 λίρα ο Δ και 1 ο Ε.

Πολύ καλό, μπράβο.

Νομίζω ότι αρχίζουμε και ανεβαίνουμε επίπεδο στην σκέψη με αυτά τα προβλήματα.

Όσο με το δυαδικό σύστημα, εκεί βρίσκεται η ουσία του προβλήματος με τα βαρέλια