Θέματα Μαθηματικών

Δευ Σεπ 29, 2008 11:32 pm

Κωστα και Νικο, ωραιε οι λυσεις σας!

Για την ασκηση με την ακολουθια εχω λιγο διαφορετικη λυση.

Με την μεθοδο της μαθηματικης επαγωγης δειχνουμε ευκολα οτι

Εικόνα

οπου

Για n=1 ισχυει. Εστω οτι ισχυει για καποιο n=k, οποτε

Εικόνα

Αρα αποδειξαμε οτι Εικόνα

Επιπλεον για καθε m

Εικόνα

(*)

Αν Εικόνα

για n αρτιο, δηλαδη Εικόνα

, τοτε απο την (*) προκυπτει οτι Εικόνα

για καθε m.

Αν Εικόνα

(k,m,s θετικοι ακεραιοι) τοτε απο τα πανω χουμε οτι Εικόνα

δηλαδη

και απο την (*) εχουμε

Εικόνα

Και οι δυο ριζες της τελευταιας εξισωσης ειναι αρρητοι αριθμοι Εικόνα

.

Ατοπο καθως ολα τα Εικόνα

πρεπει να ειναι ρητοι αριθμοι (γιατι καθε αριθμος της μορφης Εικόνα

με x ρητο ειναι ρητος.)

Τρί Σεπ 30, 2008 12:33 am

Εστω

, για καθε Εικόνα

και a>0

Υπολογιστε το αθροισμα Εικόνα

Τρί Σεπ 30, 2008 1:27 am

Ορίστε κι ένα γλυκούλι προβληματάκι που το έβαλε ο Παπ στην επαναληπτική του "Θεωρία Αριθμών & Κρύπτο". Μου είπε ότι προέρχεται από διαγωνισμό, αλλά δεν θυμάμαι από ποιόν...

Έστω ο φυσικός ν. Ο φυσικός αριθμός Α αποτελείται από 2ν ψηφία καθένα από τα οποία είναι το 4, ενώ ένας άλλος φυσικός Β αποτελείται από ν ψηφία καθένα από τα οποία είναι το 8. Να δειχθεί ότι ο φυσικός Α+2Β+4 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου αριθμού!

Τρί Σεπ 30, 2008 3:50 pm

antony07 έγραψε:Ορίστε κι ένα γλυκούλι προβληματάκι που το έβαλε ο Παπ στην επαναληπτική του "Θεωρία Αριθμών & Κρύπτο". Μου είπε ότι προέρχεται από διαγωνισμό, αλλά δεν θυμάμαι από ποιόν...

Έστω ο φυσικός ν. Ο φυσικός αριθμός Α αποτελείται από 2ν ψηφία καθένα από τα οποία είναι το 4, ενώ ένας άλλος φυσικός Β αποτελείται από ν ψηφία καθένα από τα οποία είναι το 8. Να δειχθεί ότι ο φυσικός Α+2Β+4 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου αριθμού!

Poli oraio, paromio eixe mpei prin kati xronia sti Balkaniki mathimatiki Olimpiada alla ligo diaforetiko

O arithmos einai isos me:
Εικόνα

to opoio einai teleio tetragono akeraiou efoson diksoume oti o arithmos Εικόνα

einai pollaplasio tou 3. Pragmati:
Εικόνα

opote i apodiksi oloklirothike!

PS: Sorry gia ta greeklish, kati pathenei to pc merikes fores kai den allazei i glossa.

Τρί Σεπ 30, 2008 5:31 pm

Πολύ καλή απόδειξη!

Τώρα που θυμήθηκα τον Παπ, πάρτε και ένα ιστορικό (

) θέμα από τα Διακριτά! Αντιγράφω (κατά λέξη):

Η Αντριάνα έφυγε από την Αθήνα για 14 μέρες και έκανε συνολικά 17 υπεραστικά τηλέφωνα στον Καρεμπέ της.Αν έκανε τουλάχιστον ένα τηλεφώνημα κάθε μέρα, δείξτε ότι υπάρχει ένα σύνολο διαδοχικών ημερών που έκανε ακριβώς 10 τηλεφωνήματα!!

Προφανώς, απαιτείται η χρήση της αρχής του περιστερεώνα....

Τρί Σεπ 30, 2008 7:07 pm

Και μία καλή από Ολυμπιάδα:

Για κάθε φυσικό αριθμό n να υπολογιστεί το άθροισμα:

$\sum_{k=0}^{\infty} \left[ \frac{n+2^k}{2^{k+1}} \right]$
όπου το [ ], συμβολίζει ακέραιο μέρος!

Τετ Οκτ 01, 2008 1:04 am

Αυτη με τον Καρεμπε λυνεται ακριβος οπως το 2ο θεμα στον Αρχιμιδη 2001:

http://www.hms.gr/eme/modules/wfsection ... icleid=323

Θυμομουν κατι λιγα απο το θεμα αυτο του Αρχιμιδη (το ειχα κοιταξει λιγακι πριν κατι μηνες) αλλα παρ ολα αυτα δεν υπηρχε περιπτωση να βγαλω μονος μου την ασκηση με τον Καρεμπε, διοτι τον περασμενο Ιουνιο αρχισα να διαβαζω μαθηματικα (περα απο αυτα του σχολειου) και η Συνδιαστικη ειναι ο μονος κλαδος με τον οποιο δεν εχω προλαβει να ασχοληθω καθολου.

Ειναι και ο Seemous σε 5 μηνες, μακαρι να προλαβαινα μεχρι τοτε να διαβασω και να μαθω τιποτα απο Διακριτα. Αλλα με τις μηχανικες που θα εχουμε να διαβαζουμε ολο το χειμωνα (εχω ακουσει οτι ειναι αρκετα ζορικες) δεν το βλεπω...

Τετ Οκτ 01, 2008 6:41 am

antony07 έγραψε:Και μία καλή από Ολυμπιάδα:

Για κάθε φυσικό αριθμό n να υπολογιστεί το άθροισμα:

$\sum_{k=0}^{\infty} \left[ \frac{n+2^k}{2^{k+1}} \right]$
όπου το [ ], συμβολίζει ακέραιο μέρος!

$\sum_{k=0}^{\infty} \left[ \frac{n+2^k}{2^{k+1}} \right]=n$

ΥΓ. Ευχαριστουμε για το latex! Τωρα λειτουργει κανονικα

Τετ Οκτ 01, 2008 1:27 pm

apolski έγραψε:[

$\sum_{k=0}^{\infty} \left[ \frac{n+2^k}{2^{k+1}} \right]=n$

Ειναι σωστο

Ναι και εγώ αυτό βρήκα. Έχεις κάποια απόδειξη για αυτό?

Τετ Οκτ 01, 2008 1:47 pm

Κάπου είχα βρει μία.Το βραδάκι θα την βρω και θα σας την γράψω!

Τετ Οκτ 01, 2008 2:25 pm

antony07 έγραψε:Κάπου είχα βρει μία.Το βραδάκι θα την βρω και θα σας την γράψω!

Θα βάλω μία απόδειξη που σκέφτηκα.
Στην άσκηση που έβαλες antony07 μου άρεσε η ιδέα που κρύβεται από πίσω.

Λοιπόν, πρώτα από όλα.
Κάθε φυσικός αριθμός n γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στην δυαδική του μορφή.
Δηλαδή, υπάρχουν $k \in N$ και μοναδικοί συντελεστές $a_0,a_1,...,a_{k-1}$ , τέτοιοι ώστε
$n=2^k+a_{k-1}2^{k-1}+...+a_12+a_0$ . Τότε,

$\sum_{m=0}^{\infty} \left[ \frac{n+2^m}{2^{m+1}} \right]=\sum_{m=0}^{\infty} \left[ \frac{n}{2^{m+1}}+\frac{1}{2} \right]$ .
Τώρα, στο άθροισμα ο δείκτης m τρέχε από 0 εως κ.
Γιατί μετά $\left[ \frac{n}{2^{m+1}}+\frac{1}{2} \right]=0$ .

Και τώρα, παίρνοντας για τυχαίο $m \in {1,...,k+1}$ . Έχω, ότι $\left[\frac{n}{2^m+1}+\frac{1}{2}\right]=\left[\frac{a_{m-1}+1}{2}\right]+a_{m}+a_{m+1}2+...a_{k-1}2^{k-m-1}+2^{k-m}.$ Και αθρίζοντας αυτά από m=1 εως k+1. Τότε, θα έχω ότι το άθροισμα θα είναι ίσο με
$(2^k-1)+a_{k-1}(2^{k-1}-1)+...+a_{1}(2-1)+\sum_{m=1}^{k}\left[\frac{a_{m-1}+1}{2}\right]+1=n$ . Μετά πό τις πράξεις.

Τετ Οκτ 01, 2008 7:04 pm

kostas.m έγραψε: Ναι και εγώ αυτό βρήκα. Έχεις κάποια απόδειξη για αυτό?

[/quote]

Η αποδειξη μου δεν ειναι ακομα ετοιμη(εχει καποιες ελλειψεις) για αυτο θα την ποσταρω αργοτερα μολις την ολοκληρωσω..

Πέμ Οκτ 02, 2008 3:19 pm

NickNafplio έγραψε:Αυτη με τον Καρεμπε λυνεται ακριβος οπως το 2ο θεμα στον Αρχιμιδη 2001:

http://www.hms.gr/eme/modules/wfsection ... icleid=323

Θυμομουν κατι λιγα απο το θεμα αυτο του Αρχιμιδη (το ειχα κοιταξει λιγακι πριν κατι μηνες) αλλα παρ ολα αυτα δεν υπηρχε περιπτωση να βγαλω μονος μου την ασκηση με τον Καρεμπε, διοτι τον περασμενο Ιουνιο αρχισα να διαβαζω μαθηματικα (περα απο αυτα του σχολειου) και η Συνδιαστικη ειναι ο μονος κλαδος με τον οποιο δεν εχω προλαβει να ασχοληθω καθολου.

Ειναι και ο Seemous σε 5 μηνες, μακαρι να προλαβαινα μεχρι τοτε να διαβασω και να μαθω τιποτα απο Διακριτα. Αλλα με τις μηχανικες που θα εχουμε να διαβαζουμε ολο το χειμωνα (εχω ακουσει οτι ειναι αρκετα ζορικες) δεν το βλεπω...

Και εμείς τι κάνουμε εδώ Νίκο. Μπρίκια κολαμε?

Λοιπόν, βάζω κάποιες από τις στοιχειώδεις ασκήσεις που πρέπει να ξέρει κάποιoς αν ασχοληθεί με συνδυαστική.

1) Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω n αντικείμενα σε k<=n θέσεις (Διατάξεις των n ανα κ )
2)Πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς κ αντικειμένων από ν μπορώ να πάρω ( Συνδυασμοί των n ανα κ)
3)Αν έχω n αντικείμενα. Με πόσους τρόπους μπορώ να βάλω $k_1$ στο πρώτο σύνολο, $k_2$ στο δεύτερο,..., $k_m$ στο m-οστό σύνολο, έτσι ώστε $k_1+k_2+...+k_m=n$ . (Συνδυασμοί των n ανά k1,k2,...,km )
4)Να βρείτε πόσες διαφορετικές κ-αδες $(x_1,x_2,...,x_k)$ υπάρχουν αν $x_i>0$ και $x_1+x_2+...+x_k=n$ ,n>k. και όλοι είναι φυσικοί
5) Να βρείτε πόσες διαφορετικές κ-αδες $(x_1,x_2,...,x_k)$ υπάρχουν αν $x_i>=0$ και $x_1+x_2+...+x_k=n$ και όλοι οι xi είναι ακέραιοι και n φυσικός

Σάβ Νοέμ 01, 2008 10:31 am

kostas.m έγραψε: 2)
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:R->R για τις οποίες για κάθε α,β στους πραγματικούς με α<β έχω ότι το η εικόνα f[α,β] είναι κλειστό διάστημα μήκους β-α.

Νομιζω οτι εμεινε και αυτη αρκετο καιρο αλυτη. Εχω σκευτει κατι αλλα ισχυει μονο για συνεχεις συναρτησεις. Θελουμε να ειναι συνεχης η f?

Σάβ Νοέμ 01, 2008 11:47 am

Ναι, έμεινε αρκετό καιρό άλυτη. Στην εκφώνηση δεν προϋποθέτει ότι είναι παραγωγίσιμη. Αλλά, ίσως να μπορείς να αποδείξεις ότι είναι παραγωγίσιμη

.

ΣΕΜΦΕ forum

Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών