ΣΕΜΦΕ forum

Κωστα και Νικο, ωραιε οι λυσεις σας!

Για την ασκηση με την ακολουθια εχω λιγο διαφορετικη λυση.

Με την μεθοδο της μαθηματικης επαγωγης δειχνουμε ευκολα οτι

οπου

Για n=1 ισχυει. Εστω οτι ισχυει για καποιο n=k, οποτε



Αρα αποδειξαμε οτι

Επιπλεον για καθε m

(*)

Αν για n αρτιο, δηλαδη , τοτε απο την (*) προκυπτει οτι για καθε m.

Αν (k,m,s θετικοι ακεραιοι) τοτε απο τα πανω χουμε οτι δηλαδη



και απο την (*) εχουμε



Και οι δυο ριζες της τελευταιας εξισωσης ειναι αρρητοι αριθμοι .

Ατοπο καθως ολα τα πρεπει να ειναι ρητοι αριθμοι (γιατι καθε αριθμος της μορφης με x ρητο ειναι ρητος.)

Εστω , για καθε και a>0

Υπολογιστε το αθροισμα

Ορίστε κι ένα γλυκούλι προβληματάκι που το έβαλε ο Παπ στην επαναληπτική του "Θεωρία Αριθμών & Κρύπτο". Μου είπε ότι προέρχεται από διαγωνισμό, αλλά δεν θυμάμαι από ποιόν...

Έστω ο φυσικός ν. Ο φυσικός αριθμός Α αποτελείται από 2ν ψηφία καθένα από τα οποία είναι το 4, ενώ ένας άλλος φυσικός Β αποτελείται από ν ψηφία καθένα από τα οποία είναι το 8. Να δειχθεί ότι ο φυσικός Α+2Β+4 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου αριθμού!

antony07 έγραψε:Ορίστε κι ένα γλυκούλι προβληματάκι που το έβαλε ο Παπ στην επαναληπτική του "Θεωρία Αριθμών & Κρύπτο". Μου είπε ότι προέρχεται από διαγωνισμό, αλλά δεν θυμάμαι από ποιόν...

Έστω ο φυσικός ν. Ο φυσικός αριθμός Α αποτελείται από 2ν ψηφία καθένα από τα οποία είναι το 4, ενώ ένας άλλος φυσικός Β αποτελείται από ν ψηφία καθένα από τα οποία είναι το 8. Να δειχθεί ότι ο φυσικός Α+2Β+4 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου αριθμού!

Poli oraio, paromio eixe mpei prin kati xronia sti Balkaniki mathimatiki Olimpiada alla ligo diaforetiko

O arithmos einai isos me:


to opoio einai teleio tetragono akeraiou efoson diksoume oti o arithmos einai pollaplasio tou 3. Pragmati:
opote i apodiksi oloklirothike!

PS: Sorry gia ta greeklish, kati pathenei to pc merikes fores kai den allazei i glossa.

Πολύ καλή απόδειξη!

Τώρα που θυμήθηκα τον Παπ, πάρτε και ένα ιστορικό ( ) θέμα από τα Διακριτά! Αντιγράφω (κατά λέξη):

Η Αντριάνα έφυγε από την Αθήνα για 14 μέρες και έκανε συνολικά 17 υπεραστικά τηλέφωνα στον Καρεμπέ της.Αν έκανε τουλάχιστον ένα τηλεφώνημα κάθε μέρα, δείξτε ότι υπάρχει ένα σύνολο διαδοχικών ημερών που έκανε ακριβώς 10 τηλεφωνήματα!!

Προφανώς, απαιτείται η χρήση της αρχής του περιστερεώνα....

Και μία καλή από Ολυμπιάδα:

Για κάθε φυσικό αριθμό n να υπολογιστεί το άθροισμα:


όπου το [ ], συμβολίζει ακέραιο μέρος!

Αυτη με τον Καρεμπε λυνεται ακριβος οπως το 2ο θεμα στον Αρχιμιδη 2001:

http://www.hms.gr/eme/modules/wfsection ... icleid=323

Θυμομουν κατι λιγα απο το θεμα αυτο του Αρχιμιδη (το ειχα κοιταξει λιγακι πριν κατι μηνες) αλλα παρ ολα αυτα δεν υπηρχε περιπτωση να βγαλω μονος μου την ασκηση με τον Καρεμπε, διοτι τον περασμενο Ιουνιο αρχισα να διαβαζω μαθηματικα (περα απο αυτα του σχολειου) και η Συνδιαστικη ειναι ο μονος κλαδος με τον οποιο δεν εχω προλαβει να ασχοληθω καθολου.

Ειναι και ο Seemous σε 5 μηνες, μακαρι να προλαβαινα μεχρι τοτε να διαβασω και να μαθω τιποτα απο Διακριτα. Αλλα με τις μηχανικες που θα εχουμε να διαβαζουμε ολο το χειμωνα (εχω ακουσει οτι ειναι αρκετα ζορικες) δεν το βλεπω...

antony07 έγραψε:Και μία καλή από Ολυμπιάδα:

Για κάθε φυσικό αριθμό n να υπολογιστεί το άθροισμα:


όπου το [ ], συμβολίζει ακέραιο μέρος!

ΥΓ. Ευχαριστουμε για το latex! Τωρα λειτουργει κανονικα

apolski έγραψε:[



Ειναι σωστο

Ναι και εγώ αυτό βρήκα. Έχεις κάποια απόδειξη για αυτό?

Κάπου είχα βρει μία.Το βραδάκι θα την βρω και θα σας την γράψω!

antony07 έγραψε:Κάπου είχα βρει μία.Το βραδάκι θα την βρω και θα σας την γράψω!

Θα βάλω μία απόδειξη που σκέφτηκα.
Στην άσκηση που έβαλες antony07 μου άρεσε η ιδέα που κρύβεται από πίσω.


Λοιπόν, πρώτα από όλα.
Κάθε φυσικός αριθμός n γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στην δυαδική του μορφή.
Δηλαδή, υπάρχουν και μοναδικοί συντελεστές , τέτοιοι ώστε
. Τότε,

.
Τώρα, στο άθροισμα ο δείκτης m τρέχε από 0 εως κ.
Γιατί μετά .

Και τώρα, παίρνοντας για τυχαίο . Έχω, ότι Και αθρίζοντας αυτά από m=1 εως k+1. Τότε, θα έχω ότι το άθροισμα θα είναι ίσο με
. Μετά πό τις πράξεις.

kostas.m έγραψε: Ναι και εγώ αυτό βρήκα. Έχεις κάποια απόδειξη για αυτό?

[/quote]

Η αποδειξη μου δεν ειναι ακομα ετοιμη(εχει καποιες ελλειψεις) για αυτο θα την ποσταρω αργοτερα μολις την ολοκληρωσω..

NickNafplio έγραψε:Αυτη με τον Καρεμπε λυνεται ακριβος οπως το 2ο θεμα στον Αρχιμιδη 2001:

http://www.hms.gr/eme/modules/wfsection ... icleid=323

Θυμομουν κατι λιγα απο το θεμα αυτο του Αρχιμιδη (το ειχα κοιταξει λιγακι πριν κατι μηνες) αλλα παρ ολα αυτα δεν υπηρχε περιπτωση να βγαλω μονος μου την ασκηση με τον Καρεμπε, διοτι τον περασμενο Ιουνιο αρχισα να διαβαζω μαθηματικα (περα απο αυτα του σχολειου) και η Συνδιαστικη ειναι ο μονος κλαδος με τον οποιο δεν εχω προλαβει να ασχοληθω καθολου.

Ειναι και ο Seemous σε 5 μηνες, μακαρι να προλαβαινα μεχρι τοτε να διαβασω και να μαθω τιποτα απο Διακριτα. Αλλα με τις μηχανικες που θα εχουμε να διαβαζουμε ολο το χειμωνα (εχω ακουσει οτι ειναι αρκετα ζορικες) δεν το βλεπω...

Και εμείς τι κάνουμε εδώ Νίκο. Μπρίκια κολαμε?

Λοιπόν, βάζω κάποιες από τις στοιχειώδεις ασκήσεις που πρέπει να ξέρει κάποιoς αν ασχοληθεί με συνδυαστική.

1) Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω n αντικείμενα σε k<=n θέσεις (Διατάξεις των n ανα κ )
2)Πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς κ αντικειμένων από ν μπορώ να πάρω ( Συνδυασμοί των n ανα κ)
3)Αν έχω n αντικείμενα. Με πόσους τρόπους μπορώ να βάλω στο πρώτο σύνολο, στο δεύτερο,..., στο m-οστό σύνολο, έτσι ώστε . (Συνδυασμοί των n ανά k1,k2,...,km )
4)Να βρείτε πόσες διαφορετικές κ-αδες υπάρχουν αν και ,n>k. και όλοι είναι φυσικοί
5) Να βρείτε πόσες διαφορετικές κ-αδες υπάρχουν αν και και όλοι οι xi είναι ακέραιοι και n φυσικός

kostas.m έγραψε: 2)
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:R->R για τις οποίες για κάθε α,β στους πραγματικούς με α<β έχω ότι το η εικόνα f[α,β] είναι κλειστό διάστημα μήκους β-α.

Νομιζω οτι εμεινε και αυτη αρκετο καιρο αλυτη. Εχω σκευτει κατι αλλα ισχυει μονο για συνεχεις συναρτησεις. Θελουμε να ειναι συνεχης η f?

Ναι, έμεινε αρκετό καιρό άλυτη. Στην εκφώνηση δεν προϋποθέτει ότι είναι παραγωγίσιμη. Αλλά, ίσως να μπορείς να αποδείξεις ότι είναι παραγωγίσιμη .