ΣΕΜΦΕ forum

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 11, 2011 2:06 am**

Φίλε Γιώργο, πολύ σωστά, μπράβο.

Mast αυτά που λες για το πρόβλημα με τα σκυλιά είναι σωστά. Πρέπει τώρα να βρεις τι ακριβώς πρέπει να κάνουν τα σκυλιά. Είναι πραγματικά πολύ όμορφη η λύση.

Ένα ακόμα πρόβλημα που δεν χρειάζεται γνώσεις. Η τεχνική της λύσης είναι πάρα πολύ χρήσιμη.

Έστω ν σημεία στο επίπεδο τέτοια ώστε όλα τα τρίγωνα που φτιάχνουν κάθε τρια από αυτά έχουν εμβαδό το πολύ 1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τρίγωνο εμβαδού το πολύ 4 που τα περιέχει όλα.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 12, 2011 2:13 pm**

@Hengeo Διαφωνώ λίγο.

Μέχρι τους 3 πειρατές όλα καλά, όμως στους 4 και στους 5 ξέχασες τον τρίτο παράγοντα που επηρεάζει εναν πειρατή. "Αν θα μπορούσαν να σκοτώσουν κάποιον άλλο πειρατή (εννοείται μέσα από ψηφοφορία) θα το έκαναν".

Αυτό σημαίνει ότι στην περίπτωση των 4ων, αν ο πρώτος προσέφερε μόνο ένα στον τελευταίο, τότε αυτός θα είχε τις εξής εναλλακτικές:
-υπερψηφίζω και παίρνω μία λίρα
-καταψηφίζω, παίρνω μία λίρα και σκοτώνεται ένας πειρατής!
Άρα ο πρώτος για να ψηφιστεί από τον τελευταίο πρέπει να του προσφέρει 2 λίρες.
Όμως μπορεί να προσφέρει μία στον προτελευταίο που διαφορετικά δε θα έπαιρνε καμία και να του μέινουν 99.

Αντίστοιχα στην περίπτωση των 5 δεν θα πρέπει να προσφέρει λίρες στον προτελευταίο, γιατί θα χρειαστεί 2 για να τον πάρει με το μέρος του, άρα η τελική μοιρασιά είναι Α:98, Γ:1, Ε:1.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 12, 2011 3:01 pm**

Ευχαριστώ για τα καλά λόγια!

Το 3ο εγώ το ερμήνευσα ως ότι αν μπορούσαν να επωφεληθούν στη μοιρασιά σκοτώνοντας θα το έκαναν, όχι ότι έχουν προηγούμενα μεταξύ τους και ψάχνουν την ευκαιρία

Σε αυτή την περίπτωση, ναι όντως υπάρχει η διαφοροποίηση που λέτε..

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 14, 2011 2:42 pm**

AlexandrosG έγραψε: Έστω ν σημεία στο επίπεδο τέτοια ώστε όλα τα τρίγωνα που φτιάχνουν κάθε τρια από αυτά έχουν εμβαδό το πολύ 1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τρίγωνο εμβαδού το πολύ 4 που τα περιέχει όλα.

Πολύ όμορφο πρόβλημα, δυσκολούτσικο και πολύ καλό για διαγωνισμό, ενώ η τεχνική που το λύνει είναι μια τεχνική που όταν χρησημοποιείται έξυπνα λύνει πολύ δύσκολα προβλήματα.

Από το σύνολο των τριγώνων που σχηματίζουν τα ν σημεία, θεωρούμε ABC ένα τρίγωνο με το μέγιστο εμβαδόν (το οποίο θα είναι το πολύ 1 από την υπόθεση). Από τις κορυφές A,B,C φέρνουμε αντίστοιχα εA // BC, εB // ΑC, εC // AB οι οποίες θα τέμνονται ανα δύο στα σημεία A',B',C'. Με απλή γεωμετρία λυκείου μπορούμε να δούμε ότι A'B'C' ~ ABC με λόγο ομοιότητας 2, οπότε το εμβαδόν του A'B'C' θα είναι 4 φορές το εμβαδόν του ABC, δηλαδή το πολύ 4. Αν ένα από τα ν σημεία, έστω M, δεν περιέχετε στο A'B'C', τότε για κάποιο $i \in \{A,B,C\}$ θα πρέπει να βρήσκεται σε διαφορετικό ημιεπίπεδο από την πλευρά του ABC που δεν περιέχει την κορυφή i, ως πρός την ευθεία εi. Τότε όμως το εμβαδον του τριγώνου που θα σχημάτιζε το M με την πλευρά του ABC που δεν περιεχει την κορυφή i, θα ήταν μεγαλύτερο από το εμβαδόν του ABC, διότι τότε τα δύο τρίγωνα θα είχαν μια κοινή πλευρά (αυτή που δεν περιέχει την κορυφή i του τριγώνου ABC) ενώ το τελευταίο θα είχε ύψος προς την πλευρά αυτή μικρότερο από το ύψος του άλλου τριγώνου ως προς την ίδια πλευρά (που θα ήταν η απόσταση του M από την πλευρά αυτή), άτοπο.
Άρα όλα τα σημεία περιέχονται στο A'B'C' και τελειώσαμε.

ΥΓ: Για να κατανοήσει κάποιος την παραπάνω λύση θα πρέπει να κάνει ένα πρόχειρο σχήμα στο χαρτί.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 14, 2011 6:34 pm**

Παιδιά στο πρόβλημα με τα σκυλιά ζητείται ένα πρόγραμμα κινήσεων στη διάρκεια του χρόνου με αρχικές συνθήκες όποιες να ναι , ή κάνω λάθος??

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 14, 2011 9:33 pm**

Στο πρόβλημα με τα σκυλιά, τα σκυλιά επιλέγουν την αρχική τους θέση

AlexandrosG έγραψε: Τα σκυλιά έχουν την δυνατότητα να επιλέξουν τις αρχικές τους θέσεις.

Η αρχική θέση που επιλέγουν τα σκυλιά, εξαρτάται από την θέση που έχει ο λύκος.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 14, 2011 10:04 pm**

AlexandrosG έγραψε: 3) Βάψτε εσείς το επίπεδο με 9 χρώματα έτσι ώστε να μην υπάρχουν δυο σημεία με απόσταση 1 μέτρο που να έχουν το ίδιο χρώμα.

Θα χρωματίσω το επίπεδο χρησιμοποιώντας μονοχρωματικά τετράγωνα.
Τα τετράγωνα θα έχουν πλευρά $\frac{1}{2}$ . (Οποιαδήποτε πλευρά από
$\frac{1}{2}$ εως $\frac{1}{\sqrt{2}}$ κάνει)
Τα τετράγωνα είναι κλειστά κάτω αριστερά και ανοιχτά πάνω δεξιά.
Την θέση των τετραγώνων την προσδιορίζω από το κάτω αριστερό τους άκρο. Οπότε, αν το κάτω αριστερό άκρο ενός τετραγώνου είναι στο (ξ1,ξ2) τότε το τετράγωνο θα είναι το
{ $(x,y): \xi _1 \le x<\xi _1 +\frac{1}{2}, \xi _2 \le y<\xi _2 +\frac{1}{2}$ }.
Θα λέω ότι το τετράγωνο βρίσκεται στο σημείο (ξ1,ξ2) αν το κάτω αριστερό του σημείο βρίσκεται στο (ξ1,ξ2) ή ισοδύναμα το σύνολο { $(x,y): \xi _1 \le x<\xi _1 +\frac{1}{2}, \xi _2 \le y<\xi _2 +\frac{1}{2}$ } είναι χρωματισμένο με το χρώμα Α
Θα γράφω τα χρώματα ως A1,A2,..., A9.
θα τοποθετήσω τα αρχικά μονοχρωματικά τετράγωνα και μετά η επέκταση σε όλο το επίπεδο θα πάει περιοδικά. Οπότε,

το τετράγωνο χρώματος Α1 το τοποθετώ στο $(0,0)$
το τετράγωνο χρώματος Α2 το τοποθετώ στο $(0,\frac{-1}{2})$
το τετράγωνο χρώματος Α3 το τοποθετώ στο $(0,\frac{1}{2})$
το τετράγωνο χρώματος Α4 το τοποθετώ στο $(\frac{1}{2},\frac{-1}{2})$
το τετράγωνο χρώματος Α5 το τοποθετώ στο $(\frac{1}{2},0)$
το τετράγωνο χρώματος Α6 το τοποθετώ στο $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
το τετράγωνο χρώματος Α7 το τοποθετώ στο $(\frac{-1}{2},\frac{-1}{2})$
το τετράγωνο χρώματος Α8 το τοποθετώ στο $(\frac{-1}{2},0)$
το τετράγωνο χρώματος Α9 το τοποθετώ στο $(\frac{-1}{2},\frac{1}{2})$

Με τα παραπάνω έχω χρωματίσει το τετράγωνο { $(x,y): \frac{-1}{2} \le x<1, \frac{-1}{2} \le y<1$ } με 9 χρώματα έτσι ώστε να μην υπάρχουν δύο σημεία με απόσταση 1 μέτρο με το ίδιο χρώμα. Τώρα, για να χρωματίσω το επίπεδο απλά μεταφέρω το παραπάνω τετράγωνο περιοδικά,
οπότε πλέον τα τετράγωνο χρώματος
Α1 το τοποθετώ στο $(0,0)$ $+k(\frac{3}{2},0)+l(0,\frac{3}{2})$
Α2 τα τοποθετώ στο $(0,\frac{-1}{2})$ $+k(\frac{3}{2},0)+l(0,\frac{3}{2})$
Α3 το τοποθετώ στο $(0,\frac{1}{2})$ $+k(\frac{3}{2},0)+l(0,\frac{3}{2})$
Α4 το τοποθετώ στο $(\frac{1}{2},\frac{-1}{2})$ $+k(\frac{3}{2},0)+l(0,\frac{3}{2})$
Α5 το τοποθετώ στο $(\frac{1}{2},0)$ $+k(\frac{3}{2},0)+l(0,\frac{3}{2})$
Α6 το τοποθετώ στο $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ $+k(\frac{3}{2},0)+l(0,\frac{3}{2})$
Α7 το τοποθετώ στο $(\frac{-1}{2},\frac{-1}{2})$ $+k(\frac{3}{2},0)+l(0,\frac{3}{2})$
Α8 το τοποθετώ στο $(\frac{-1}{2},0)$ $+k(\frac{3}{2},0)+l(0,\frac{3}{2})$
Α9 το τοποθετώ στο $(\frac{-1}{2},\frac{1}{2})$ $+k(\frac{3}{2},0)+l(0,\frac{3}{2})$ , όπου k,l ακέραιοι αριθμοί

Υγ: Κάτι τέτοια προβλήματα είναι πιο εύκολο να τα σκεφτείς παρά να τα γράψεις

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 03, 2011 9:18 pm**

Παραθέτω τα θέματα του 18ου IMC 2011 (Διεθνής Διαγωνισμός Μαθηματικών για φοιτητές) ο οποίος ολοκληρώθηκε χτες με την απονομή των μεταλλίων.

ΠΡΩΤΗ ΜΕΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ - 30/07/2011

Πρόβλημα 1

Έστω συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ . Ένα σημείο $\displaystyle{x}$ λέγεται σκιώδες αν υπάρχει σημείο $y > x$ ώστε $\displaystyle{f\left( y \right) > f\left( x \right)}$ . Έστω οι πραγματικοί $\displaystyle{a < b}$ για τους οποίους

όλα τα σημεία του ανοικτού διαστήματος $\displaystyle{I = \left( {a,b} \right)}$ είναι σκιώδη σημεία.
τα $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{b}$ δεν είναι σκιώδη σημεία.

Αποδείξτε ότι:

α) $\displaystyle{f\left( x \right) \leq f\left( b \right)}$ για κάθε $\displaystyle{a < x < b}$ .
β) $\displaystyle{f\left( a \right) = f\left( b \right)}$ .

Πρόβλημα 2

Υπάρχει πραγματικός πίνακας $\displaystyle{A}$ , $\displaystyle{3 \times 3}$ ώστε $\displaystyle{tr\left( A \right) = 0}$ και $\displaystyle{{A^2} + {A^t} = I}$ ;
( ${A^t}$ είναι ο ανάστροφος του ${A}$ ενώ $tr\left( A \right)$ είναι το ίχνος (άθροισμα διαγώνιων στοιχείων) του πίνακα ${A}$ )

Πρόβλημα 3

Έστω $\displaystyle{p}$ ένας πρώτος αριθμός.Καλούμε ενδιαφέροντα έναν θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ αν $\displaystyle{{x^n} - 1 = \left( {{x^p} - x + 1} \right)f\left( x \right) + pg\left( x \right)}$ για κάποια πολυώνυμα $\displaystyle{f,g}$ με ακέραιους συντελεστές.

α) Αποδείξτε ότι ο αριθμός $\displaystyle{{p^p} - 1}$ είναι ενδιαφέροντας.
β) Για ποιους $p$ ο αριθμός $\displaystyle{{p^p} - 1}$ είναι ο μικρότερος ενδιαφέρων αριθμός.

Πρόβλημα 4

Έστω τα $\displaystyle{{A_1},{A_2},...,{A_n}}$ , τα οποία είναι πεπερασμένα, μη κενά σύνολα. Ορίστε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(t) = \sum\limits_{k = 1}^n {\sum\limits_{1 \leq {i_1} < {i_2} < \ldots < {i_k} \leq n} {{{( - 1)}^{k - 1}}} } {t^{|{A_{{i_1}}} \cup {A_{{i_2}}} \cup \ldots \cup {A_{{i_k}}}|}}.}$ .
Αποδείξτε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι μη φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[ {0,1} \right]}$ .
(Το $\displaystyle{\left| A \right|}$ συμβολίζει τον αριθμό των στοιχείων του Α)

Πρόβλημα 5
Έστω $n$ ένας θετικός ακέραιος και έστω $V$ ένας $(2n-1)$ -διάστατος διανυσματικός χώρος υπέρ του σώματος των δύο στοιχείων. Να αποδειχθεί ότι για τυχόντα διανύσματα $v_1,\dots,v_{4n-1} \in V,$ υπάρχει ακολουθία $1\leq i_1<\cdots<i_{2n}\leq 4n-1$ δεικτών έτσι ώστε $v_{i_1}+\dots+v_{i_{2n}}=0.$

ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΕΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ - 31/07/2011

Πρόβλημα 1
Έστω $\displaystyle{\left( {{a_n}} \right) \subset \left( {\frac{1}{2},1} \right)}$ . Ορίστε την ακολουθία $\displaystyle{{x_0} = {a_0}}$ , $\displaystyle{{x_{n + 1}} = \frac{{{a_{n + 1}} + {x_n}}}{{1 + {a_{n + 1}}{x_n}}}}$ . Μπορεί αυτή η τελευταία ακολουθία να μη συγκλίνει? Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του ορίου της συγκεκριμένης ακολουθίας, όταν αυτό υπάρχει.

Πρόβλημα 2
Μια εξωγήινη φυλή έχει τρία φύλα: αρσενικό,θυληκό και ουδέτερο. Μια παντρεμένη τριάδα αποτελείται από τρία άτομα, ένα από κάθε φύλο, από τα οποία ο καθένας αρέσει στον άλλον. Κάθε άτομο επιτρέπεται να ανήκει στο πολύ μια παντρεμένη τριάδα. Τα αισθήματα είναι πάντα αμοιβαία. (Αν ο $\displaystyle{x}$ αρέσει τον $\displaystyle{y}$ , τότε ο $\displaystyle{y}$ αρέσει τον $\displaystyle{x}$ )

H φυλή θέλει να αποικήσει έναν πλανήτη, οποτε στέλνει $\displaystyle{n}$ αρσενικά, $\displaystyle{n}$ θυληκά και $\displaystyle{n}$ ουδέτερα. Κάθε μέλος της αποστολής αρέσει τουλάχιστον $\displaystyle{k}$ μέλη των υπολοίπων δύο φύλων. Το πρόβλημα είναι να δημιουργηθούν όσο το δυνατόν περισσότερες παντρεμένες τριάδες για να αποικήσουν τον πλανήτη.

α) Αποδείξτε ότι ότι αν ο $\displaystyle{n}$ είναι άρτιος και $\displaystyle{k \geq \frac{n}{2}}$ , τότε μπορεί να μην υπάρχει καμία παντρεμένη τριάδα.
β) Αποδείξτε ότι αν $\displaystyle{k \geq \frac{3}{4}n}$ , τότε μπορούν να δημιουργηθούν πάντα $\displaystyle{n}$ παντρεμένες τριάδες.

Πρόβλημα 3

Υπολογίστε το:

$\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\ln{\left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)}\ln{\left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right)}} }$

Πρόβλημα 4

Έστω $\displaystyle{f}$ ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελέστές βαθμού $n$ . Έστω πως το κλάσμα $\displaystyle{\frac{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}}{{x - y}}}$ είναι ακέραιο για κάθε $\displaystyle{0 \leq x < y \leq n}$ . Αποδείξτε ότι το κλάσμα $\displaystyle{\frac{{f\left( a \right) - f\left( b \right)}}{{a - b}}}$ είναι ακέραιο για κάθε δύο διαφορετικούς ακέραιους $\displaystyle{a,b}$ .

Πρόβλημα 5
Έστω $F=A_0A_1 \cdots A_n$ κυρτό πολύγωνο στο επίπεδο. Ορίζουμε για κάθε $1 \leq k \leq n-1$ την πράξη $f_k$ η οποία αντικαθιστά το $F$ με ένα νέο πολύγωνο $f_k(F)=A_0A_1 \cdots A_{k-1}A^{'}_k A_{k+1} \cdots A_n$ όπου το $A^'_k$ είναι το συμμετρικό του $A_k$ ως προς την μεσοκάθετη της ευθείας $A_{k-1}A_{k+1}$ . Να αποδειχθεί ότι $(f_1\circ f_2 \circ f_3 \circ \cdots \circ f_{n-1})^n(F)=F$ .

*** Η εξέταση και τις 2 μέρες είχε διάρκεια 5 ώρες.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 06, 2011 5:38 am**

Γράφω τη λύση στο πρόβλημα με τα σκυλιά.

Έστω μια τυχαία θέση του λύκου μέσα στο τετράγωνο. Φέρουμε τις διαγωνίους του τετραγώνου. Τώρα φέρουμε παράλληλες στις διαγωνίους που περνάνε από τη θέση του λύκου. Αυτές τέμνουν την περιφέρεια του τετραγώνου σε 4 σημεία. Οι σκύλοι πάνε και κάθονται σε αυτά τα 4 σημεία. Εύκολα υπολογίζουμε ότι αν ο λύκος τρέχει με ταχύτητα $u$ τότε τα σημεία τρέχουν με $\sqrt{ 2 } u$ και άρα τα σκυλιά προλαβαίνουν να βρίσκονται πάνω σε αυτά τα σημεία αφού $\frac{3}{2} > \sqrt{2}$ . Τώρα αν ο λύκος πάει να βγει τότε σίγουρα δυο σκυλιά θα βρίσκονται εκεί αφού τα σημεία τους πλησιάζουν. Με ένα σχηματάκι τα παραπάνω γίνονται πολύ απλά. Ελπίζω να σας άρεσε.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 03, 2012 7:41 pm**

Ένα απλό μάλλον πρόβλημα για κάποιον που ασχολείται με θεωρία αριθμών:

"Έστω οι φυσικοί αριθμοί χ,y οι οποίοι είναι πρώτοι ως προς το 3. Δείξτε ότι ο χ^2+y^2 δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο."

Το δικό μου πρόβλημα είναι ότι πριν από μερικές μέρες ξεκίνησα να διαβάζω πρώτη φορά θεωρία αριθμών. Το έλυσα με κάποιον τρόπο (μάλλον άκομψο και δεν χωράει στο περιθώριο της σελίδας

) και θα ήθελα κάποιος που ασχολείται με θεωρία αριθμών (είστε πολλοί εκεί εξω

) να παρουσιάσει μια απόδειξη(όχι καμιά extreme, pozerικη απόδειξη. Αλλα μια φυσιολογική κομψή αποδειξούλα) για να μπώ και γω στο κλίμα....
Ευχαριστώωωωωωωωώ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 03, 2012 8:46 pm**

Για κάθε φυσικό αριθμό n ισχύει ένα από τα παρακάτω:
$n\equiv 0 \bmod{3}$ , οπότε έπεται ότι $n^2\equiv 0 \bmod{3}$ ή
$n\equiv 1 \bmod{3}$ , οπότε έπεται ότι $n^2\equiv 1 \bmod{3}$ ή
$n\equiv 2 \bmod{3}$ , οπότε έπεται ότι $n^2\equiv 4 \bmod{3}\Rightarrow n^2\equiv 1 \bmod{3}$ .
Δηλαδή το υπόλοιπο του τετραγώνου ενός φυσικού αριθμού με το 3, θα είναι ή 1 ή 0.
Καθώς τα x, y δεν διαιρούνται με το 3, το τετράγωνό τους θα αφήνει υπόλοιπο ένα. Επομένως:
$x^2+y^2\equiv 2 \bmod{3}$ , το οποίο δεν μπορεί να είναι τετράγωνο φυσικού αφού αφήνει υπόλοιπο 2.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 03, 2012 9:13 pm**

Nice one dude thanx γιατι ειχα καεί εντελώς.
Ειχα πάρει και γω περιπτώσεις και χρησιμοποιήσει μια προηγούμενη άσκηση που έλυσα που έλεγε κάθε αριθμός την μορφής 3k+2 διαιρείται με πρώτο p της ίδιας μορφής δηλαδή p=3λ+2 για κάποιο λ.
Τελικά ήταν πιο απλό

Ωραια θα σε ξαναχρειαστώ αυτες τις μέρες

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 07, 2012 3:42 am**

Παιδιά καλό ξημέρωμα και χρόνια πολλά στους Σωτήρηδες και στις Σωτηρίες.Διαβάζοντας από τις σημειώσεις του Σπηλιώτη για το μάθημα της θεωρίας πιθανοτήτων 7ου εξαμήνου οι οποίες είναι πολύ πυκνογραμμένες παρεπιπτόντως έχουμε κάπου γραμμένο το εξής:

Η πραγματική συνάρτηση F είναι φραγμένη -F(x) στο [0,1] για κάθε x στο R- και είναι και αύξουσα.Τότε αν a στο R το πλευρικό από δεξι όριο της F στο a υπάρχει.Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει γιατί;

ευχαριστω και καλές βουτιές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 07, 2012 12:14 pm**

Αν δεν υπήρχε τότε μπορείς εύκολα να δεις ότι υπάρχουν $a_n, b_n$ ακολουθίες που συγκλίνουν αυστηρώς από δεξιά στο $a$ (δεν πιάνουν ούτε την τιμή $a$ ), με $f(a_n), f(b_n)$ να έχουν όρια αλλά διαφορετικά. Έστω $s,t$ τα αντίστοιχα όρια των $f(a_n), f(b_n)$ και χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω $s > t$ .
Για κάθε $n$ θα βρεις $k(n)$ ώστε για κάθε $k \geq k(n)$ να έχεις $a_n < b_k < a \Rightarrow f(a_n) \leq f(b_k)$ . Μπορείς να πάρεις όμως $n,k$ αρκετά
μεγάλα ώστε για $\epsilon = \frac{s-t}{2} > 0$ να έχεις $s - \epsilon < f(a_n) \leq f(b_k) < t + \epsilon \Rightarrow s - t < 2\epsilon = s - t$ που είναι άτοπο.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 26, 2012 10:30 pm**

Θέμα που με παιδεύει, από Παπαϊωάννου στη θεωρία αριθμών.

Έστω ότι ο θετικός ακέραιος n έχει το πολύ 3 πρώτους παράγοντες. Αν επιπλέον φ(n)|n-1, δείξτε ότι το n είναι πρώτος.
Με φ(n) συμβολίζει τη συνάρτηση Euler.

Έχει κανείς να πει κάτι?

ΣΕΜΦΕ forum

Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών

Re: Θέματα Μαθηματικών