Πραγματική Ανάλυση

Κυρ Ιουν 12, 2011 2:52 pm

O kanenas έγραψε:Ναι, δε διαφωνώ σ'αυτό όταν μιλάμε για τη γενική περίπτωση. Αλλά, νομίζω ότι στα κλειστά σύνολα δεν μπορεί να συμβαίνει αυτή η ασυμπτωτική τάση σε κάποιο σημείο εκτός του συνόλου, αφού ένα κλειστό σύνολο περιέχει τα οριακά του σημεία. Έτσι, αν υπάρχει κάποια ακολουθία (μέσα στο σύνολο) που συγκλίνει σε κάποιο x, τότε και το x θα ανήκει στο σύνολο. Οπότε, πχ στην περίπτωση ενός συνόλου που ορίζεται από μια ασυμπτωτική συνάρτηση (όπως η 1/x), η κλειστότητά του περιέχει το σημείο στο οποίο τείνει οριακά (το 0). Το ίδιο θα συμβαίνει και για κάποιο άλλο κλειστό σύνολο. Οπότε, το infimum θα ισούται με το minimum των αποστάσεων των σημείων τους. Και αν η απόσταση είναι 0, τότε αυτό θα είναι το minimum, άρα θα υπάρχουν όντως σημεία στα δύο σύνολο για τα οποία η απόστασή τους θα είναι μηδενική. Καταλαβαίνεις τι λέω?

Σωστή η παρατήρησή σου, για αυτό δεν γίνεται όταν μιλάμε για πεπερασμένα κλειστά σύνολα. Εδώ όμως μιλάμε για άπειρα κλειστά. Δες και αυτά που έγραψε ο 1/2rizax. Δεν ξέρω πως να το εξηγήσω καλύτερα αυτή τη στιγμή και εγώ.

Ιστοσελίδα · Κυρ Ιουν 12, 2011 6:30 pm

Ωραία, μια τελευταία απορία. Έστω δύο κλειστά και ξένα υποσύνολα, Α και Β, ενός μετρικού χώρου. Πώς γίνεται ρ(x,Α)+ρ(x,Β)>0 για κάθε x στο Χ?

Έχω ανεβάσει τις λύσεις διορθωμένες και έχω χρησιμοποιήσει το παραπάνω ως γνωστό (γιατί το είδα στο διαδίκτυο σε ένα pdf ενός καθηγητή), αλλά δεν έχω καταλάβει πώς αποδεικνύεται.

ΥΓ: Την Τρίτη τελικά έχουμε 4ωρο μάθημα (και όχι 2ωρο 3-5). Πρώτο δίωρο με Αργυρό και μετά νομίζω μπαινει Δέσποινα.

Κυρ Ιουν 12, 2011 6:35 pm

Αν το x ανήκει στο Α, τότε δεν ανήκει στο Β, άρα d(x,B)>0.
Αν το x ανήκει στο B, τότε δεν ανήκει στο A, άρα d(x,A)>0.
Αν το x δεν ανήκει σε κανένα από τα Α και Β, τότε d(x,B)>0 και d(x,A)>0. Σε κάθε περίπτωση το άθροισμα d(x,A)+d(x,Β) είναι μη μηδενικό.

Σχετικά με το πυκνά σύνολα και διαχωρίσιμοι...
Στην 3 έχεις $S(x,\epsilon)\cap D\setminus\{x_0\} =\emptyset$ και $S(x,\epsilon)\cap D \neq \emptyset$ λόγω πυκνότητας του D, από το οποίο συμπεραίνουμε ότι $S(x,\epsilon)\cap D=\{x_0\}$ και όχι ότι $D=\{x_0\}$ . Έχει λίγη δουλειά ακόμα από κει και πέρα.

Επίσης στην 4 υποθέτεις ότι $int\{x_0\} \neq \emptyset$ και καταλήγεις σε άτοπο, δεν υπάρχει όμως άτοπο, αφού το συμπέρασμα $S(x_0,\epsilon)\{x_0\}\neq \emptyset$ δεν είναι τίποτε άλλο από την υπόθεση που έκανες. Επίσης η άσκηση ζητά ν.δ.ο. το μονοσύνολο x_0 είναι ανοικτό, οπότε περιμένεις ότι θα ισχύει $int\{x_0\} \neq \emptyset$ . Την ξεκίνησες σωστά την άσκηση δείχνοντας ότι το x_0, είναι σ.σ. Πάρε την ακολουθία που προκύπτει, και η οποία τείνει στο x_0, και καταλήγεις μετά από λίγο σε άτοπο.

Ιστοσελίδα · Δευ Ιουν 13, 2011 1:45 am

Ήμουν σίγουρη ότι έχω κάνει λάθη σ'αυτές τις ασκήσεις. Θα τις κοιτάξω και θα τις διορθώσω. Merci για τη βοήθεια!

Υπόψη ότι τη Τρίτη μάλλον έχουμε ΓΣ, οπότε παίζει το πρώτο δίωρο του μαθήματος να χαθεί.

Edit:
Για την 3, το παρακάτω είναι σωστό?
$S(x,\epsilon)\cap D\setminus\{x_0\} =\emptyset \Rightarrow S(x, \epsilon) \subset \{x_0\}$
Κάτι που έρχεται σε αντίθεση με το $int\{x_0\} = \emptyset$ , άρα άτοπο?
Αν το πάω έτσι, όμως, δεν θα έχω χρησιμοποιήσει πουθενά την πυκνότητα του D και μου φαίνετια περίεργο αυτό. Οπότε, πολύ πιθανό να είναι λάθος κι αυτή η προσέγγιση...

Δευ Ιουν 13, 2011 9:40 am

O kanenas έγραψε:Υπόψη ότι τη Τρίτη μάλλον έχουμε ΓΣ

Αυτό το μάλλον σου με σκοτώνιει...

Έχω ακούσει και εγώ κάτι σχετικό...
Κάποιος που ξέρει στα σίγουρα???

Δευ Ιουν 13, 2011 1:45 pm

Ρώτησα σήμερα άτομα που αν υπήρχε Γ.Σ. θα το ήξεραν αλλά απ' ότι έμαθα δε θα έχει συνέλευση...
Anyway, θα δούμε αύριο

Ιστοσελίδα · Δευ Ιουν 13, 2011 1:52 pm

Off Topic

Από άλλο topic, από Δαπίτη:
[quote="C0n"]ΔΕΝ έχει άυριο Γενική Συνέλευση.[/quote]

Δευ Ιουν 13, 2011 3:26 pm

O kanenas έγραψε:Για την 3, το παρακάτω είναι σωστό?

Η συνεπαγωγή $S(x,\epsilon)\cap D\setminus\{x_0\}=\emptyset \Rightarrow S(x,\epsilon)\subseteq \{x_0}$ δεν είναι σωστή. Αυτό που συμπεραίνουμε είναι ότι $S(x,\epsilon)\cap D\setminus\{x_0\}=\emptyset \Rightarrow S(x,\epsilon)\cap D\subseteq \{x_0}$ .

Να πω μια ιδέα για την άσκηση. Θέλουμε να δείξουμε ότι το $D\setminus \{x\}$ είναι πυκνό στον Χ, επομένως αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε $y \in X$ υπάρχει ακολουθία $(y_n)_{n\in \mathbb{N}} \subseteq D\setminus \{x\}$ η οποία συγκλίνει στο y.
α) Αν $y\neq x$ , δείξε ότι υπάρχει τέτοια ακολουθία.
β) Αν $y= x$ , τότε πάρε δύο υποπεριπτώσεις:
β1) Αν $\rho(x, D\setminus \{x\})=0$ , δείξε ότι υπάρχει τέτοια ακολουθία.
β2) Δείξε ότι δεν είναι δυνατόν να ισχύει ότι $\rho(x, D\setminus \{x\})=M>0$ , ως εξής:
$S(x,M/3)\cap D\setminus \{x\}=\emptyset$ . Το x σ.σ., επομένως υπάρχει ακολουθία $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq X$ με $x_n \neq x$ για κάθε ν και η οποία συκλίνει στο x. Για ν αρκετά μεγάλο θα έχεις ότι $x_n \in S(x, M/8)$ . Δείξε ότι υπάρχει ακολουθία $(z_n) \subseteq D$ με $\rho(z_n, x_n)<\frac{M}{8}$ , για κάθε ν. Πάρε τα z_n έτσι ώστε να είναι διάφορα από το x, για κάθε ν. Χρησιμοποίησε την τριγωνική ανισότητα για να διαπιστώσεις ότι $S(x,M/3)\cap D\setminus \{x\}\neq \emptyset$ και να καταλήξεις σε άτοπο.

Ιστοσελίδα · Δευ Ιουν 13, 2011 3:44 pm

1/2rizax έγραψε:Η συνεπαγωγή $S(x,\epsilon)\cap D\setminus\{x_0\}=\emptyset \Rightarrow S(x,\epsilon)\subseteq \{x_0}$ δεν είναι σωστή. Αυτό που συμπεραίνουμε είναι ότι $S(x,\epsilon)\cap D\setminus\{x_0\}=\emptyset \Rightarrow S(x,\epsilon)\cap D\subseteq \{x_0}$ .

Ωραία, αυτό δεν είναι άτοπο? Επειδή $S(x,\epsilon)\cap D \neq \emptyset$ (λόγω πυκνότητας του D), αλλά int{x} κενό για κάθε x.

Αν δεν είναι ούτε αυτό σωστό, τότε θα το πάω με ακολουθίες, όπως έγραψες.

Στην άσκηση 4, το άτοπο που λες ότι είναι λάθος ήταν απλά τυπογραφικό. Υποθέτοντας ότι $int\{x_0\} \neq \emptyset$ καταλήγω ότι $S(x_0,\epsilon) \setminus \{x_0\} = \emptyset$ . Οπότε, έτσι νομίζω η λύση είναι σωστή.

Δευ Ιουν 13, 2011 4:01 pm

Έθεσα $U=S(x,\epsilon)$ για να μην το κουβαλάω. Έχεις $U\cap D=\{x_0\}\Rightarrow int(U\cap D)=int\{x_0\}=\emptyset \Rightarrow int(U\cap D)=\emptyset$ . Άρα για κάθε $y \in U\cap D$ και κάθε $\epsilon>0$ ισχύει ότι $S(y,\epsilon)\cap(U\cap D)^c \neq \emptyset$ . Άρα είτε υπάρχει μια ακολουθία $y_n$ στο $S(x, 1/n)\cap U^c$ , για κάθε ν, είτε θα υπάρχει μια ακολουθία $y_n$ στο $S(x, 1/n)\cap D^c$ , για κάθε ν. Η πρώτη περίπτωση φυσικά είναι άτοπο. Η δεύτερη στην ουσία σου λέει ότι το σύνολο $D^c$ είναι πυκνό στο $U \cap D= \{x_0}.$ Δεν βλέπω πως καταλήγεις σε άτοπο από εκεί και πέρα αν δε χρησιμοποιήσεις ακολουθίες.

Στις προηγούμενες ασκήσεις ξέχασες να διορθώσεις το ερώτημα 9ii) στο οποίο έχεις μεταφέρει το λάθος που είχες κάνει στο πρώτο ερώτημα. Σε κάποιο ποστ παραπάνω είχα γράψει δύο λύσεις για το ερώτημα αυτό.

Στην άσκηση 4, το άτοπο που λες ότι είναι λάθος ήταν απλά τυπογραφικό. Υποθέτοντας ότι καταλήγω ότι . Οπότε, έτσι νομίζω η λύση είναι σωστή.

Οπότε υποθέτοντας ότι το {x_0} δεν είναι ανοικτό, κατέληξες στο ότι το {x_0} έχει κενό εσωτερικό και μετά εφάρμοσες το αποτέλεσμα της άσκησης 3; Στην 3 όμως η υπόθεση απαιτεί το εσωτερικό κάθε μονοσυνόλου να είναι μη κενό και όχι μόνο του {x_0}.

Δευ Ιουν 13, 2011 7:48 pm

Ξέρει κανείς πως βγαίνει το: Κάθε υποσύνολο ενός τυχαίου μετρικού χώρου εφοδιασμένου με τη διακριτή μετρική είναι ανοικτό/κλειστό ?

Βασικά ξέρω πως δείχνεις οτι είναι ανοικτό αλλά κλειστό?

Ιστοσελίδα · Δευ Ιουν 13, 2011 8:07 pm

1/2rizax έγραψε:Να πω μια ιδέα για την άσκηση. Θέλουμε να δείξουμε ότι το $D\setminus \{x\}$ είναι πυκνό στον Χ, επομένως αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε $y \in X$ υπάρχει ακολουθία $(y_n)_{n\in \mathbb{N}} \subseteq D\setminus \{x\}$ η οποία συγκλίνει στο y.
α) Αν $y\neq x$ , δείξε ότι υπάρχει τέτοια ακολουθία.
β) Αν $y= x$ , τότε πάρε δύο υποπεριπτώσεις:
β1) Αν $\rho(x, D\setminus \{x\})=0$ , δείξε ότι υπάρχει τέτοια ακολουθία.
β2) Δείξε ότι δεν είναι δυνατόν να ισχύει ότι $\rho(x, D\setminus \{x\})=M>0$ , ως εξής:
$S(x,M/3)\cap D\setminus \{x\}=\emptyset$ . Το x σ.σ., επομένως υπάρχει ακολουθία $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq X$ με $x_n \neq x$ για κάθε ν και η οποία συκλίνει στο x. Για ν αρκετά μεγάλο θα έχεις ότι $x_n \in S(x, M/8)$ . Δείξε ότι υπάρχει ακολουθία $(z_n) \subseteq D$ με $\rho(z_n, x_n)<\frac{M}{8}$ , για κάθε ν. Πάρε τα z_n έτσι ώστε να είναι διάφορα από το x, για κάθε ν. Χρησιμοποίησε την τριγωνική ανισότητα για να διαπιστώσεις ότι $S(x,M/3)\cap D\setminus \{x\}\neq \emptyset$ και να καταλήξεις σε άτοπο.

Για την άσκηση 3 ακολούθησα αυτές τις οδηγίες, αλλά τσέκαρέ την αν θες, γιατί παίζει πάλι να έχω κάνει λάθη.

Για την 4, έχεις δίκιο. Την άλλαξα και τώρα νομίζω είναι σωστή.

Oubaxail έγραψε:Ξέρει κανείς πως βγαίνει το: Κάθε υποσύνολο ενός τυχαίου μετρικού χώρου εφοδιασμένου με τη διακριτή μετρική είναι ανοικτό/κλειστό ?

Βασικά ξέρω πως δείχνεις οτι είναι ανοικτό αλλά κλειστό?

Έχεις δείξει ότι κάθε υποσύνολο ενός διακριτού μετρικού χώρου είναι ανοιχτό. Τώρα, για κάθε υποσύνολο F, παίρνεις το συμπλήρωμά του και προφανώς θα είναι κι αυτό ανοιχτό (αφού είναι όλα). Άρα, το F θα είναι κλειστό.

Δευ Ιουν 13, 2011 8:15 pm

Ναι το είδα και γω

thnx anyway...

Δευ Ιουν 13, 2011 9:23 pm

Εχμ .. έχουν βγει οι νέες σημειώσεις του μαθήματος. Τις ανέβασα στο Εργαλείο (link). Φαίνεται να έχουν αρκετές διαφορές/προσθήκες από τις παλιές (τώρα τις κοιτάω ..

).

Δευ Ιουν 13, 2011 10:40 pm

Για την 3, στην περίπτωση $y \neq x$ αιτιολόγησε το λίγο καλύτερα, δηλαδή πες ότι υπάρχουν ξένες ανοικτές περιοχές $U_x$ , $U_y$ και επομένως τελικά η $z_n$ θα ανήκει στο $U_y$ , άρα τελικά $z_n\neq x$ .
Στο τέλος (στην β2 υποπερίπτωση) πρέπει να φροντίσεις τα $z_n$ να μην είναι ίσα με $x$ , πχ. θέσε $a_n=\frac{1}{3}\rho(x, x_n)>0$ και επέλεξε $z_n \in S(x_n, M/8)\cap S(x_n, a_n)$ .
Η 4 φαίνεται εντάξει!

ΣΕΜΦΕ forum

Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση

Re: Πραγματική Ανάλυση