ΣΕΜΦΕ forum

kostas.m έγραψε:Ναι, έμεινε αρκετό καιρό άλυτη. Στην εκφώνηση δεν προϋποθέτει ότι είναι παραγωγίσιμη. Αλλά, ίσως να μπορείς να αποδείξεις ότι είναι παραγωγίσιμη .

Ναι, και βρηκα το τροπο να το αποδειξω, αλλα θα πρεπει να ξερω αν η f ειναι συνεχης

Μπορείς να χρησιμοποιήσεις την συνθήκη Lipschitz |f(b)-f(a)|<=c|b-a| για κάποιο c>0?
Αν ισχύει η συνθήκη αυτή, τότε η f είναι συνεχής.

kostas.m έγραψε:Μπορείς να χρησιμοποιήσεις την συνθήκη Lipschitz |f(b)-f(a)|<=c|b-a| για κάποιο c>0?
Αν ισχύει η συνθήκη αυτή, τότε η f είναι συνεχής.

Δεν γνωριζα την υπαρξη της συγκεκριμενης συνθηκης, αλλα τωρα θα τη κοιταξω μηπως λυνεται ετσι.

Δεν εχω Ιντερνετ ομως εδω και εχω παει σε νετ-καφε και τελειωνει η ωρα μου τωρα. Θα προσπαθησω να τη λυσω στο σπιτι αν βρω λυση θα την ανεβασω εδω σε κανα 2ωρο - 3ωρο

kostas.m έγραψε: 2)
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:R->R για τις οποίες για κάθε α,β στους πραγματικούς με α<β έχω ότι το η εικόνα f[α,β] είναι κλειστό διάστημα μήκους β-α.

Οκ, λοιπον: Απο την υποθεση εχω οτι αν m ειναι η ελαχιστη τιμη της f στο τυχαιο κλειστο διαστημα με ακρα τα α,β, η μεγιστη τιμη της f στο ιδιο διαστημα θα ειναι m + |β - α|. Εστω χωρις βλαβη της γενικοτητας οτι f(α) <= f(β), τοτε θα ισχυει f(α) >= m <=> -f(a) <= -m και f(β) <= m + |β - α|, αρα με προσθεση των 2 κατα μελη θα εχω f(β) - f(α) <= |β - α| <=> |f(β) - f(α)| <= |β - α|, ισχυει δηλαδη η συνθηκη Lipschitz, επομενος η f ειναι συνεχης.

Η f δεν μπορει να ειναι σταθερη σε καποιο κλειστο διαστημα [α, β], διοτι αν ηταν τοτε η εικονα το συγκεκριμενου διαστηματος μεσο της f θα ηταν κλειστο διαστημα με ευρος 0, οποτε θα ειχαμε β - α = 0 <=> α=β, ατοπο!

Θα δειξω τωρα οτι η f ειναι γνησιως μονοτονη. Εστω οτι η f αλλαζει μονοτονια σε καποιο σημειο ξ, τοτε η εικονες μεσο της f του διαστηματος [α, β] και του διαστηματος που εχει ακρα τα κ και ξ, για α<ξ<β, α,β οσο κοντα στο ξ θελουμε, και κ ο αριθμος του συνολου {α,β} στον οποιο η f παιρνει την τιμη που απεχει περισσοτερο απο τον αριθμο f(ξ), θα ειναι διαστηματα ιδιου ευρους, επομενος θα εχουμε β - ξ = β - κ <=> ξ=κ, ατοπο!

Αρα τελικα εχω οτι η f ειναι μια συνεχης, γνησιως μονοτονη συναρτηση. Διακρινω 2 περιπτωσεις:

1) f γνησιως αυξουσα. Τοτε η εικονα ενος διαστηματος [χ, λ] μεσο της f θα εχει ευρος f(χ) - f(λ), επομενος θα ισχυει f(χ) - f(λ) = χ - λ (απο την υποθεση), επομενος θα εχω: (f(χ) - f(λ))/(χ - λ) = 1, και αν παρω χ να τινει στο λ θα εχω οτι η f ειναι παραγωγισημη στο λ και οτι f'(λ)=1. Αρα τελικα θα εχω f'(x) = 1 και f(x) = χ + c, για καθε πραγματικο αριθμο χ και για καποια πραγματικη σταθερα c.

2) f γνησιως φθινουσα. Τοτε η εικονα ενος διαστηματος [χ, λ] μεσο της f θα εχει ευρος f(χ) - f(λ), επομενος θα ισχυει f(χ) - f(λ) = λ - x (απο την υποθεση), επομενος θα εχω: (f(χ) - f(λ))/(χ - λ) = -1, και αν παρω χ να τινει στο λ θα εχω οτι η f ειναι παραγωγισημη στο λ και οτι f'(λ)=-1. Αρα τελικα θα εχω f'(x) = -1 και f(x) = -χ + c, για καθε πραγματικο αριθμο χ και για καποια πραγματικη σταθερα c.

Συνοψιζοντας, οι μονες συναρτησεις που ικανοποιουν το ζητουμενο ειναι οι:
f(x) = x + c, και f(x) = -x + c, για καποια πραγματικη σταθερα c!

Ακριβώς

Οκ, λοιπον: Απο την υποθεση εχω οτι αν m ειναι η ελαχιστη τιμη της f στο τυχαιο κλειστο διαστημα με ακρα τα α,β,

Για να έχει σίγουρα ελάχιστη τιμή σε ένα κλειστό διάστημα, χρειάζεται να είναι συνεχής. Οπότε το επιχείρημα είναι κυκλικό...

Μήπως απλά να παρατηρήσουμε ότι ... Κλπ.

Υγ. πως γίνεται έντιτ; Δεν το βρίσκω...
Οπότε θα γίνω ...διπλοπόστης

maThemaGician™ έγραψε:Πόσοι τελεστές υπάρχουν σε έναν χώρο Banach??

(Σκέτοι τελεστές ή κάτι παραπάνω? )

Δεν ξεπερνούν πληθικά τις απεικονίσεις από τον χώρο στον εαυτό του, δηλαδή ...



Edit: Μην γελάσει κανείς με την στραβομάρα μου. i kill you

Η πρωτη παραγραφος στη λυση ειναι απλα μια αυστηρη αποδειξη για το οτι ισχυει η συνθηκη Λιπσιτς. Ελαχιστη και μεγιστη τιμη υπαρχουν διοτι η εικονα της f στο συγκεκριμενο διαστημα ειναι κλειστο διαστημα πεπερασμενου μηκους α-β, δηλαδη συμπαγες διαστημα της μορφης [μ, μ + |α - β|], αυτο μπορει να προκειψει αρκετα ευκολα απο τον αξιοματικο ορισμο του διαστηματος, των supremum, infimum κλπ...

NickNafplio έγραψε:Η πρωτη παραγραφος στη λυση ειναι απλα μια αυστηρη αποδειξη για το οτι ισχυει η συνθηκη Λιπσιτς. Ελαχιστη και μεγιστη τιμη υπαρχουν διοτι η εικονα της f στο συγκεκριμενο διαστημα ειναι κλειστο διαστημα πεπερασμενου μηκους α-β, δηλαδη συμπαγες διαστημα της μορφης [μ, μ + |α - β|], αυτο μπορει να προκειψει αρκετα ευκολα απο τον αξιοματικο ορισμο του διαστηματος, των supremum, infimum κλπ...

...κλπ, συν την συνέχεια της συνάρτησης


Η συνθήκη Λιπς μας δίδεται στην υπόθεση.

Δεν χρειαζεται η συνεχεια, ξεχνα τη συναρτηση και σκεψου απλα το διαστημα f([a, b]). Η υποθεση λεει οτι η εικονα ειναι κλειστο διαστημα πεπερασμενου μηκους, αρα αυτο ειναι συμπαγες διαστημα [μ, μ + |α - β|].
Καθε υποδιαστημα του R εχει sup και inf, επηδη το f([a, b]) ειναι διαστημα πεπερασμενου μηκους τα inf(f([a, b])), sup(f([a, b])) ειναι πραγματικοι αριθμοι, και επηδη το f([a, b]) ειναι κλειστο περιεχει τα inf(f([a, b])), sup(f([a, b])) και αρα f([a, b]) = [inf(f([a, b])), sup(f([a, b])) ] με sup(f([a, b])) - inf(f([a, b])) = a - b. Ειναι οκ τωρα?

NickNafplio έγραψε:Δεν χρειαζεται η συνεχεια, ξεχνα τη συναρτηση και σκεψου απλα το διαστημα f([a, b]). Η υποθεση λεει οτι η εικονα ειναι κλειστο διαστημα πεπερασμενου μηκους, αρα αυτο ειναι συμπαγες διαστημα [μ, μ + |α - β|].
Καθε υποδιαστημα του R εχει sup και inf, επηδη το f([a, b]) ειναι διαστημα πεπερασμενου μηκους τα inf(f([a, b])), sup(f([a, b])) ειναι πραγματικοι αριθμοι, και επηδη το f([a, b]) ειναι κλειστο περιεχει τα inf(f([a, b])), sup(f([a, b])) και αρα f([a, b]) = [inf(f([a, b])), sup(f([a, b])) ] με sup(f([a, b])) - inf(f([a, b])) = a - b. Ειναι οκ τωρα?

Μια χαρά τα λες... Η ένστασή μου πήγαινε στο "ελάχιστη τιμή της f".

Jeronymo Simonstone έγραψε:

NickNafplio έγραψε:Δεν χρειαζεται η συνεχεια, ξεχνα τη συναρτηση και σκεψου απλα το διαστημα f([a, b]). Η υποθεση λεει οτι η εικονα ειναι κλειστο διαστημα πεπερασμενου μηκους, αρα αυτο ειναι συμπαγες διαστημα [μ, μ + |α - β|].
Καθε υποδιαστημα του R εχει sup και inf, επηδη το f([a, b]) ειναι διαστημα πεπερασμενου μηκους τα inf(f([a, b])), sup(f([a, b])) ειναι πραγματικοι αριθμοι, και επηδη το f([a, b]) ειναι κλειστο περιεχει τα inf(f([a, b])), sup(f([a, b])) και αρα f([a, b]) = [inf(f([a, b])), sup(f([a, b])) ] με sup(f([a, b])) - inf(f([a, b])) = a - b. Ειναι οκ τωρα?

Μια χαρά τα λες... Η ένστασή μου πήγαινε στο "ελάχιστη τιμή της f".

E nai ok, alla afou to f([a,b]) einai kleisto diastima me megisto katw fragma ton arithmo inf(f([a, b])) o opoios logo tis kleistotitas tou diastimatos f([a, b] anikei se afto, nomizo oti o arithmos aftos einai kai elaxisti timi tis f sto [a, b]...

Pantos afou ksanaanevike to topic, einai efkeria na proteinoume kanena themataki akoma gia lisi:

1) Thema Analisis: Dikste oti to plithos twn simeiwn asinexeias opoiasdipote monotonis sinartisis einai arithmisimo (to eixa proteinei kai kapou allou afto, einai ena poli endiaferon provlima)

2) Thema Diakritwn Mathimatikwn: Esto S ena sinolo me n stoixeia kai M ena sinolo pou periexei m iposinola tou S, etsi oste na isxioun: * kathe sinolo K pou anoikei sto M periexei akrivos 3 stoixeia tou S. * Kathe dio sinola K,N pou anoikoun sto M exoun to poli ena koino stoixeio.
Na apodixtei oti o arithmos m den ksepernaei ton arithmo n(n - 1)/6.

3) Thema Algebras - Theorias arithmwn: Na vrethoun oloi oi thetikoi akeraioi arithmoi k, gia tous opoious o protos thetikos akeraios arithmos p diairei ton arithmo f(k, p) = 1^k + 2^k + 3^k + ... + (p - 1)^k

nomizo oti o arithmos aftos einai kai elaxisti timi tis f sto [a, b]

Δηλαδή η συνάρτηση να λαμβάνει την τιμή;
Γι' αυτό θα χρειαζόταν να είναι συνεχής...

1) Thema Analisis: Dikste oti to plithos twn simeiwn asinexeias opoiasdipote monotonis sinartisis einai arithmisimo (to eixa proteinei kai kapou allou afto, einai ena poli endiaferon provlima)

Πολύ ωραίο θεματάκι.
Το θυμάμαι από μια εργασία...
Έστω ότι η συνάρτηση φ είναι γνησίως μονότονη, και δύο σημεία ασυνέχειας χ,ψ.
Υπάρχουν τα αριστερά όρια της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία, έστω ζ,ω αντίστοιχα.
Τότε τα διαστήματα (ζ,φ(χ)) και (ω,φ(ψ)) είναι μη κενά και ξένα μεταξύ τους.
Επιλέγοντας έναν ρητό από το κάθε διάστημα, βλέπουμε πως η απεικόνιση που
αντιστοιχεί κάθε σημείο ασυνέχειας με τον επιλεχθέντα ρητό, είναι 1-1...

Poli oraia, afti akrivos einai i lisi sto proto ap ta dio themata.

Gia to proigoumeno thema tora, nomizo oti apo ton orismo tis eikonas enos sinolou meso mias sinartisis exoume oti afou i sigkekrimeni timi anikei stin eikona tis f, lamvanetai ki olas apo tin f (profanos edw ennoeite oti i f einai epi tis eikonas tis se kathe diastima), kai afou stin eikona tis f den iparxoun mikroteroi arithmoi, paei na pei oti i sinartisi den pairnei pio mikres times apo ti sigkekrimeni, ara i sigkekrimeni timi einai i elaxisti timi tis f sto sigkekrimeno diastima.