Θέματα Μαθηματικών

[Hengeo]

Προς στιγμήν μου είχε περάσει από το μυαλό αυτό, αλλά κάπου μπερδεύτηκα με το αν εννοούσε για κάθε m ή για κάποιο m. Αν εννοεί για κάποιο m, τότε είναι όπως το έγραψες. Αν εννοεί για κάθε m τότε είναι όπως το έγραψε. Όπου m=n0 πάντα. Ελπίζω να μην μου έχει διαφύγει κάτι άλλο

[spartiatisgx]

Εστω (Χ,ρ) μετρικος χωρος και f:(X,ρ)-->(R,||) ενα προς ενα.Τοτε γνωριζουμε οτι η συναρτηση
ρf(x,y)=|f(x)-f(y)| ειναι μια μετρικη στον Χ.

Θελω να δειξω οτι εαν επιπλεον η f ειναι συνεχης στο Χ τοτε οι μετρικες ρ,ρf ειναι ισοδυναμες.


Αποδειξη

Αρκει να δειξω οτι καθε συγκλινουσα ακολουθια στον Χ ως προς την μετρικη ρ ειναι και συγκλινουσα ως προς την μετρικη ρf.

Εστω (xn) ακολουθια στο Χ και x στο Χ ωστε xn-->x ως προς την ρ.Τοτε επειδη η f συνεχης στο Χ επεται οτι η (f(xn)) ειναι ακολουθια στον R και f(x) στο R και ακομη οτι η f(xn)-->f(x) ως προς την || οποτε η xn-->x ως προς την ρf.


Εστω η ακολουθια (xn) στο Χ και x στο Χ ωστε xn-->x ως προς την ρf.Tοτε ισοδυναμα εχουμε οτι ρf(xn,x)-->0 κι αρα |f(xn)-f(x)|-->0 =>f(xn)-->f(x)=> lim(f(xn))=f(x),κι επειδη η f ειναι συνεχης επεται οτι lim(f(xn))=f(lim(xn)) ,οποτε f(lim(xn))=f(x) κι επειδη η f ειναι ενα προς ενα επεται οτι lim(xn)=x,οποτε η (xn)-->x ως προε την ρ.

Ειναι σωστη η αποδειξη;Κυριως το δευτερο σκελος...
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ

[spartiatisgx]

Καλησπερα......Εχω μια απορια στην πραγματικη αναλυση...Ειναι στην ασκηση 5 του 5ου κεφαλαιου ερωτημα 2...
Εχω γραψει το Ι=συνολο των αρρητων ως αριθμησιμη τομη των ανοιχτων και πυκνων υποσυνολων του R ,R\{qn}
οπου Q={qn:n στο n}.Το δευτερο ερωτημα ειναι οτι αν {Vn} ειναι μια αριθμησιμη οικογενεια απο πυκνα και ανοιχτα υποσυνολα του R ΤΟΤΕ
Ι(τομη)(αριθμησιμη τομη των Vn) ειναι μη κενο συνολο....υποτιθεται οτι το αποδεικνυω αλλα εχω μια απορια....

Αν Vn=R\{cn} που Ι={cn:n στο Ν} τοτε η{Vn} ειναι επισης μια αριθμησιμη οικογενεια απο ανοιχτα και πυκνα υποσυνολα του R και η αριθμησιμη τομη των Vn ειναι το R\I=Q.Τοτε ομως:

I(τομη)(αριθμησιμη τομη των Vn)=I(τομη)Q=κενο.


Καπου προφανως κανω λαθος.Please help εχω κολλησει

[kostas213]

Οι άρρητοι δεν είναι υπεραριθμήσιμοι; Γιατί αν ήταν αριθμήσιμοι τότε η ένωση τους με τους ρητούς που είναι αριθμήσιμοι, θα ήταν και αυτή αριθμήσιμη, δηλαδή οι πραγματικοί θα ήταν αριθμήσιμοι, άτοπο. Οπότε μάλλον εκεί είναι το λάθος.

[spartiatisgx]

Απιστευτο....Ειναι οντως....Ευχαριστω....Μια επαμαλληψη στην Θεωρια συνολων.....

[spartiatisgx]

Καλησπέρα...Θέλω βοήθεια για την άσκηση 6 στο μάθημα Συναρτησιακής Ανάλυσης κεφάλαιο 4 σελίδα 53....

Έστω Η χώρος Hilbert και Α ένα μη κενό υποσύνολο του Η.Δείξτε ότι ορθογώνιο(ορθογώνιο(Α))=κλειστότητα του <Α>...
Έχω δείξει ότι η κλειστότητα του <Α> είναι υποσύνολο του ορθωγώνιο(ορθογώνιο(Α)) αλλά έχω κολλήσει στην αντίθετη φορά...

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ

[1/2rizax]

Έστω . Ο χώρος Η μπορεί να γραφεί σαν , οπότε , με τα χ1 και χ2 να ανήκουν στους δύο αυτούς χώρους. Έχουμε Όμως . Άρα , το οποίο δείχνει το ζητούμενο.

[spartiatisgx]

Ευχαριστώ πολύ...Πολύ πιο εύκολο από τον τρόπο που πήγαινα......Αλλά είπαμε...Οι απλές σκέψεις είναι και οι δύσκολοες....

[spartiatisgx]

Καλησπέρα.Έχω φάει σκάλωμα με την ακόλουθη άσκηση από την θεωρία γραφημάτων:

Έστω x πραγματικός αριθμός.Δείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός από το σύνολο {x,2x,....,(n-1)x} ώστε να διαφέρει από κάποιον ακέραιο το πολύ 1/n.

Χρειάζεται την αρχή του περιστερεώνα και από ότι νομίζω πρέπει να φτιάξουμε κάποια αθροίσματα.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ

[1/2rizax]

Παρε το διάστημα μεταξύ δύο φυσικών (πχ. το [0,1]) και χώρισέ το σε ν υποδιαστήματα. Η άσκηση σου ζητά να δείξεις ότι κάποιος από τους ν-1 το πλήθος αριθμούς που σου δίνει ανήκουν στο πρώτο ή το τελευταίο διάστημα. Έστω ότι αυτό δεν ισχύει. Τότε θα είχες να τοποθετήσεις ν-1 αριθμούς σε ν-2 διαστήματα και από αρχή περιστερεώνα θα υπήρχε κάποιο διάστημα με δύο τέτοιους αριθμούς. Η διαφορά αυτών των δύο αριθμών είναι εύκολο να δείξεις ότι θα ανήκει σε πρώτο ή τελευταίο διάστημα. Επίσης είναι αριθμός της μορφής που θες.

[spartiatisgx]

Μάλιστα...Ομολογώ ότι δεν θα το σκεφτόμουν με τίποτα....Δεν έχω καμία εμπειρία από τέτοιες ασκήσεις....Έχεις να προτείνεις κάποιο βιβλίο;

Σε ευχαριστώ

[kostas.m]

Έχεις να προτείνεις κάποιο βιβλίο;

Διακριτά μαθηματικά Παπαϊωάννου

[1/2rizax]

Για αρχή, τις λυμένες ασκήσεις που υπάρχουν στο εργαλείο. Αν δεν απατώμαι είναι οι λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου της Θεωρίας Γραφημάτων του Παπ.
Για συνέχεια, το βιβλίο Combinatorial Problems and Exercises του Lovász. Θα το βρεις στα γνωστά μέρη (αλλιώς πμ). Οι ασκήσεις του μου φάνηκαν λίγο τσιμπημένες και το κατά πόσον έχουν σχέση με αυτά που ζητά ο Παπ. είναι ένα ερώτημα.

[spartiatisgx]

Ορίζω στο σύνολο των προτασιακών τύπων Π τη σχέση < ως εξής:

φ < ψ αν και μόνον αν |=φ-->ψ και όχι (|=ψ-->φ).
Δείξτε ότι αν φ<ψ τότε υπάρχει χ προτασιακός τύπος ώστε φ<χ<ψ.

Ισως πρέπει να χρησιμοποιήσω το θεώρημα της παρεμβολής αλλά είμαι φρέσκος στην λογική οπότε θα ήθελα να με βοηθήσετε...


ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ

[Hengeo]

Από τη δεύτερη σχέση του ορισμού του φ < ψ έπεται ότι ψ δεν είναι αντιλογία, φ δεν είναι ταυτολογία. Δηλαδή, θα υπάρχουν απονομές αλήθειας για τις οποίες το ψ αληθές και αντίστοιχα το φ ψευδές. Επειδή όμως η πρώτη σχέση του ορισμού αληθεύει για όλες τις απονομές αλήθειας, θα αληθεύει και για αυτές για τις οποίες το ψ αληθές, οπότε για τις απονομές αυτές το φ αληθές, άρα το φ δεν είναι ούτε αντιλογία. Από την πρώτη σχέση και πάλι, αν το ψ ήταν ταυτολογία, δηλαδή αληθές για όλες τις απονομές, τότε και το φ ταυτολογία, άτοπο από τα προηγούμενα, άρα το ψ δεν είναι ούτε ταυτολογία.

Καταλήγουμε λοιπόν ότι τα φ,ψ δεν είναι ταυτολογίες ή αντιλογίες, συνεπώς, εφαρμόζοντας το θεώρημα παρεμβολής στην πρώτη σχέση του ορισμού, θα ισχύει υποχρεωτικά η τρίτη περίπτωση. Δηλαδή, θα υπάρχει προτασιακός τύπος χ τέτοιος ώστε |=φ->χ και |=χ->ψ. Από την άλλη, για τον ίδιο λόγο, αν ίσχυαν |=χ->φ και |=ψ->χ, τότε από το θεώρημα παρεμβολής θα είχαμε |=ψ->φ, άτοπο από τη δεύτερη σχέση, άρα δεν ισχύουν και από τον ορισμό των φ<χ και χ<ψ έπεται το ζητούμενο.