[Ασκήσεις] Ανάλυση Ι

[alexaiv]

Εντάξει, μέτρια τα σημερινά θέματα. Δεν κατάφερα να λύσω το 3(α)... αν ξέρει κάποιος πως λύνεται ας το πει.

Τα ολοκληρώματα ηταν αρκετά ζόρικα:

i)

Θετουμε









ii)Θετουμε



iii)

Κ εγώ αυτό βρήκα αλλά λίγο διαφορετικά στις πράξεις. Γενικά πιστεύω πως ήταν σχετικά απλά τα θέματα. Το όριο ii) στο πρώτο θέμα δεν το έκανα. Πως γίνετε??

[apolski]

Εμενα με δυσκολεψε πιο πολυ το πρωτο οριο. Πως το εκανες?

[ran-tan-plan]

Στο πρωτο οριο του πρωτου θεματος εθεσα Αν το εσωτερικο της ριζας και πηρα ανω lim An+1/An και κατω οριο Αn+1/An τα οποια ειναι και τα δυο ισα με ενα,αρα το οριο Αν+1/Αν ειναι ενα και απο γνωστη προταση(που υπαρχει στο βιβλιο του Τσεκρεκου) το lim της ν-οστης ριζας Αν ειναι κ αυτο ισο με ενα
ΥΓ σορρυ για τη γραφη....
πιστευω οτι τα θεματα ηταν μετρια,προς το ευκολα θα ελεγα

[alexaiv]

Εμενα με δυσκολεψε πιο πολυ το πρωτο οριο. Πως το εκανες?

Το πρώτο το έκανα αλλά μόλις συνειδιτοποίησα πως το έκανα λάθος... Κατάρα!

Απλά να σου πω πως ο Ρασσιάς είπε στο αμφιθέατρο πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο το lim(1+1/v)^v και όχι όταν αντί για ένα στον αριθμητή έχεις κάποιον άλλο αριθμό. Αλλιώς κ εγώ αυτό που έκανες σκέφτηκα..

[titanomegistoterastios]

Γαμώτο...Σε εμάς δεν το'πε

[congi]

Το πρώτο ολοκλήρωμα το έκανα έτσι:

∫sin⁡x/(1-cos^4⁡x ) dx =∫sinx/(1-cos^2⁡x )(1+cos^2⁡x ) dx= ∫sinx/sin^2⁡x(1+cos^2⁡x ) dx=∫1/sinx(1+cos^2⁡x ) dx

Θέτω u=cosx. Αρα du=-sinxdx ⇔ (-du)/sinx=dx.

Aρα το ολοκλήρωμα γίνεται:
-∫1/(1+u^2 ) du=-Arctanu+c= -Arctan(cosx)+c

[O kanenas]

Off Topic

Αυτό "∫" πώς το έγραψες? Και αυτό "⇔"?

[congi]

Off Topic

Αυτό "∫" πώς το έγραψες? Και αυτό "⇔"?

Offtopic: Όλα τα έγραψα στο word και τα έκανα copy paste μετά.

[apolski]

Το πρώτο ολοκλήρωμα το έκανα έτσι:

∫sin⁡x/(1-cos^4⁡x ) dx =∫sinx/(1-cos^2⁡x )(1+cos^2⁡x ) dx= ∫sinx/sin^2⁡x(1+cos^2⁡x ) dx=∫1/sinx(1+cos^2⁡x ) dx

Θέτω u=cosx. Αρα du=-sinxdx ⇔ (-du)/sinx=dx.

Aρα το ολοκλήρωμα γίνεται:
-∫1/(1+u^2 ) du=-Arctanu+c= -Arctan(cosx)+c

Νομιζω πως ειναι λαθος γιατι:

Αν τοτε θα εχεις

[congi]

Δίκιο Έχεις

[apolski]

Νδο

ΥΓ. ξερουμε οτι αυτο ισχυει για φυσικους αριθμους, ομως δειξτε οτι ισχυει για πραγματικους.

[kostas.m]

Θεώρησε την συνάρτηση (1+1/x)^{x}=e^{(xln(1+1/x))} Και μετά το όριο xln(1+1/x)είναι 1 και βγαίνει

[apolski]

Ωραια Κωστα, αν και ειχα αλλη λυση στο μυαλο μου η οποια ειναι λιγο πιο πολυπλοκη...

Να βρεθει το οριο

[antony07]

Χα χα! Θεϊκές ασκήσεις! Καμιά σχέση με αυτές που κάναμε εμείς με τον Βασιλάρα!
Λύνεται σχετικά εύκολα, αν πολλαπλασιάσεις και διαιρέσεις με την συζυγή της παράσταση!
Τελικά το όριο βγαίνει 1/2!

[kostas.m]

Ωραια Κωστα, αν και ειχα αλλη λυση στο μυαλο μου η οποια ειναι λιγο πιο πολυπλοκη...

Και εγώ θα έδινα και μιά άλλη απόδειξη που θα χρησιμοποιούσα το ακέραιο μέρος του χ ([χ]), θα έφραζα την συνάρτηση από δύο συναρτήσεις και θα χρησιμοποιούσα υπακολουθίες για να το δείξω.
Μου αρέσει που κάποιοι ασχολούνται και βάζουν ασκήσεις για εξάσκηση, μπράβο σου apolski,
Για αυτό θα βάλω και εγώ δύο ασκήσεις, η μία είναι άσκηση 3ης Λυκείου και η δεύτερη είναι η γενίκευσή της η οποία θέλει γνώσεις πανεπιστημίου.

1η άσκηση
Έστω f:[a,b]->[a,b] συνεχής και αύξουσα
Νδο υπάρχει ξ να ανήκει στο[a,b] Τέτοιο ώστε f(ξ)=ξ

2η άσκηση
Έστω f:C->C , όπου C είναι ένα κλειστό φραγμένο και μη κενό υποσύνολο του R και η f είναι συνεχής και αύξουσα.
Νδο υπάρχει ξ στο C τέτοιο ώστε f(ξ)=ξ