[Ασκήσεις] Ανάλυση Ι

[apolski]

antony, ο Βασιλαρας ποιος ειναι? Σας εβαζε δυσκολα?

Κωστα, οι δυο ασκησεις ειναι fixed point theorem? Για την 1 θετουμε g(x)=f(x)-x και απο Bolzano εχουμε οτι υπαρχει ενα τουλ. ξ στο (α,β) τ.ω f(ξ)=ξ. Προφανως αν f(α)=α ή f(β)=β τοτε ξ=α ή ξ=β. Αρα υπαρχει ξ στο [α,β] τ.ω f(ξ)=ξ.

[apolski]

Για την 2, αν και δεν ειμαι σιγουρος, μπορουμε να θεωρησουμε οτι C=[α,β] οπου α=infC ,β=supC και να την λυσουμε οπως την 1 αφου το συνολο C ειναι συμπαγες(και επειδη η f συνεχης τοτε θα λαμβανει τις τιμες α,β)

[kostas.m]

Ναι, το πρώτο βγαίνει με εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano

Για την 2, αν και δεν ειμαι σιγουρος, μπορουμε να θεωρησουμε οτι C=[α,β] οπου α=infC ,β=supC και να την λυσουμε οπως την 1 αφου το συνολο C ειναι συμπαγες(και επειδη η f συνεχης τοτε θα λαμβανει τις τιμες α,β)

Όχι, επειδή το C είναι συμπαγές σύνολο, δεν μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι κλειστό διάστημα.
Ένα απλό αντιπαράδειγμα είναι μία ένωση ξένων διαστημάτων

[apolski]

Για δοκιμαστε και αυτο το οριο

, x>0

[apolski]

Ειδα οτι δεν υπαρχει τετοιο θεμα και ειπα να το ανοιξω...

Ειμαι στο τμημα του Ρασσια(φοβερος καθηγητης) και μας εβαλε κατι ασκηεις οι οποιες υπαρχουν στο βιβλιο του(το οποιο δυστιχως δεν το πηραμε ακομα). Θα ηθελα να με βοηθησετε με μια ασκηση η οποια οπως μας ειπε λυνεται με την βοηθεια της ανισωτητας Cauchy:

Αν ειναι θετικοι πραγματικοι αριθμοι να δειξετε οτι

Θα γραψω την λυση μπας και φανει χρησιμη στους επομενους πρωτοετεις...

Ειναι η ανισοτητα στο πρωτο τευχος σελ. 40

Απο την γενικευμενη Andreescu(η οποια στην ουσια ειναι η BCS) εχουμε



ομως so





Για το οριο βρηκα μια πολυ ωραια λυση.

Θα κανω χρηση των ασυμπτωτικων σχεσεων.

Εστω οτι

Οποτε

Αληθευει η ασυμπτωτικη σχεση:

καθως

γιατι

Επομενως

αρα

[kostas.m]

Λοιπόν και εγώ για λόγους πληρότητας θα βάλω λύση της 2ης άσκησης που έβαλα
2η άσκησh
Έστω f:C->C , όπου C είναι ένα κλειστό φραγμένο και μη κενό υποσύνολο του R και η f είναι συνεχής και αύξουσα.
Νδο υπάρχει ξ στο C τέτοιο ώστε f(ξ)=ξ


Έστω ότι δεν υπάρχει x στο C για το οποίο ισχύει f(x)=x, τότε
Έστω s=sup{x στο C για τα οποία f(x)>x}, τότε f(s)>=s, επειδή όμως έχω υποθέσει ότι f(s)!=s, τότε f(s)>s.
Και τώρα, για κάθε x>s f(x)<x. Οπότε f(f(s))<f(s), κάτι που είναι άτοπο γιατί η f είναι αύξουσα και f(s)>s.
Άρα f(s)=s.

[tonypapadovic]

Τα αποτελέσματα βγήκαν παιδιά;

[O_Xamenos]

βγηκαν γραφειο τσεκρεκου (και λογικα ρασσια) λογικα αυριο θα βγουν και σε πινακες...

[tonypapadovic]

Nice, thanx.

[apolski]

Που ειναι το γραφειο του κ.Τσαρεκου και του κ.Ρασσια?

[kostas.m]

Τους καθηγητές θα τους βρεις στο κτίριο Ε. Το γραφείο του κύριου Ρασσιά είναι στον δεύτερο όροφο και το γραφείο του κύριου Τσεκρέκου είναι στον τρίτο.

[apolski]

Σε ευχαριστω Κωστα!

[kostas213]

Μήπως έχει δώσει ο Ρασιάς τίποτα SOS σελίδες όπως έκανε συνήθως φέτος; Αν τις έχει κάποιος ας τις ποστάρει αν γίνεται!

[NickNafplio]

Παντος, η ανισοτητα στην 1η σελιδα ειναι εφαρμογη της ανισοτητας των δυναμεων (η της holder, η της Chebyshev) και μετα της a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca η οποια αποδεικνειεται ευκολα με μετατροπη σε αθροισμα τετραγωνων

ΥΓ: Πως γραφουμε Latex εδω?

[apolski]

ναι εχεις δικιο, η ανισοτητα αυτη ειναι ευκολη και λυνεται με πολλους τρoπους. Αν δεις στην προηγουμενη σελιδα εγω εγραψα λυση με την Andreescu.

Για να γραψεις με το latex:

Κώδικας: Επιλογή όλων

[latex]e^x[/latex]

αλλα απ οτι φενεται εχει καποιο προβλημα