[Ασκήσεις] Ανάλυση Ι

[ran-tan-plan]

Εγω παντως σιγουρα δε μπηκα στη ΣΕΜΦΕ για να λυνω αναλυση σε forum 2 βδομαδες πριν δωσω το μαθημα.
Χωρις παρεξηγηση,δικαιωμα του καθενα να κανει ο,τι του κανει κεφι ή να βοηθα συμφοιτητες του ,αλλα δεν χρειαζεται η κριτικη σε οσους δε το πραττουν

[Alekos]

Sorry παιδιά, μήπως ξέρει κανείς τί σημαίνει
∞
∩ (ήταν στο 1ο περσινό θέμα) ???
n=1

[timos_m]

[thrylosg7]

KALIMERA.MPOREI KAPOIOS NA MOU EKSIGISEI PWS VRISKOUME TO NIOSTO MERIKO ATHROISMA MIAS SEIRAS GIATI DE TO KATALAVAINW.PX STO VIVLIO TOU RASSIA LEEI OTI TO N.M.A. THS Σν^2=1^2+2^2... ΕΙΝΑΙ Sν=((ν(ν+1)(2ν+1))/6 Η ΟΤΙ ΤΗΣ 1/ν(ν+1) ΕΙΝΑΙ ν/ν+1.EYXARISTW

[alexaiv]

KALIMERA.MPOREI KAPOIOS NA MOU EKSIGISEI PWS VRISKOUME TO NIOSTO MERIKO ATHROISMA MIAS SEIRAS GIATI DE TO KATALAVAINW.PX STO VIVLIO TOU RASSIA LEEI OTI TO N.M.A. THS Σν^2=1^2+2^2... ΕΙΝΑΙ Sν=((ν(ν+1)(2ν+1))/6 Η ΟΤΙ ΤΗΣ 1/ν(ν+1) ΕΙΝΑΙ ν/ν+1.EYXARISTW

Για το πρώτο, μπορείς να το βρεις στο βιβλίο των μαθηματικών κατεύθυνσης της Β Λυκείου. Είναι μια απλή επαγωγή. Όσο για το δεύτερο, ο Ρασσιάς στην τάξη μας το είχε αποδείξει με έναν αρκετά μεγάλο τρόπο. Η λογική όμως για τέτοιου είδους αθροισμάτων είναι η εξής: Παίρνεις τον γενικό όρο του αθροίσματος (στην περίπτωση μας το 1/ν(ν+1) ) και το εκφράζεις στη μορφή αθροίσματος μερικών κλασμάτων. Επειδή το συγκεκριμένο είναι πολ/σμος δύο διαδοχικών όρων μπορείς κατευθείαν να γράψεις πως 1/ν(ν+1) = 1/ν - 1/ν+1 . Έπειτα, θέτεις τιμές στο ν (ν=1,2,3,...,κ) και προσθέτοντας κατά μέλη θα δεις ότι σχεδόν όλα στο δεύτερο μέλος διαγράφονται και σου μένει Σ1= 1-1/(ν+1) = ν/(ν+1)

Ελπίζω να βοήθησα λίγο.

[darth]

Ξέρει κανείς τι παίζει με τη σύγκλιση της νιοστής ρίζας του ln n ?

[kostas.m]

Η συγκλίνει στο 1. Κι αυτό γιατί για κάθε n στους φυσικούς με n>2 ln(n)>1. Άρα, >1. Επίσης για κάθε ν στους φυσικούς ln(n)<n. Οπότε <. Οπότε , από κριτήριο Παρεμβολής προκύπτει άμεσα.

[xaroulita]

ρε παιδια στη σελιδα 202 του πρωτου τευχους του βιβλιου του ρασσια ξερει κανεις τι ειναι το α = min{1,δ} και πως βρηκε οτι το χ = α/3 και το y = α/6 ?

[congi]

ρε παιδια στη σελιδα 202 του πρωτου τευχους του βιβλιου του ρασσια ξερει κανεις τι ειναι το α = min{1,δ} και πως βρηκε οτι το χ = α/3 και το y = α/6 ?

Το {1,δ} είναι ένα σύνολο που αποτελείται από δύο στοιχεία τα 1 και δ. Οπότε το min{1,δ} είναι το μικρότερο από αυτα τα δύο στοιχεία. Δηλαδή αν 1<δ τότε α=1.. Και αν δ<1 τότε α=δ. ΄
Τον ορισμός του "min" θα τον βρεις σελίδα 23 Α τεύχος.

Απο ότι καταλαβαίνω για να είναι μια συνάρτηση ομοιόμορφα συνεχής πρέπει για κάθε ε>0 να υπάρχει δ(που εξαρτάτε απο το ε) τέτοιο ώστε για κάθε χ,y του πεδίου ορισμου της συνάρτησης για τα οποία ισχύει |x-y|<δ(ε) να ισχύει |f(x)-f(y)|<ε.

Σύμφωνα με τον ορισμο για να είναι ομοιόμορφα συνεχής πρέπει να ισχύει για κάθε χ,y. Δήλαδη τα χ,y νομίζω πως τα επιλέγει "αυθαίρετα". Αφου και για διαφορετικά χ,y που ανήκουν στο διάστημα (0,1) μπορείς να καταλήξεις στα ίδια συμπεράσματα.

[Alekos]

Eυχαριστώ πολύ συνάδελφε (έστω και καθυστερημένα)!!!!

[apolski]

Εντάξει, μέτρια τα σημερινά θέματα. Δεν κατάφερα να λύσω το 3(α)... αν ξέρει κάποιος πως λύνεται ας το πει.

Τα ολοκληρώματα ηταν αρκετά ζόρικα:

i)

Θετουμε









ii)Θετουμε



iii)

[apolski]

Και οι σειρές ήταν αρκετά εύκολες εκτός απο την τελευταία(αρμονική σειρά ρ-τάξης) για την οποία η απόδειξη υπάρχει στην σελίδα 230.

i)

Η ακολουθια δεν ειναι μηδενικη αφου



Επομενως η σειρα δεν συγκλινει σε πραγματικο αριθμο.

ii)

Θεωρουμε τις ακολουθιες και

Η σειρα δεν συγλινει στο R αφου

(μη μηδενικη)

H σειρα συγλινει στο R αφου

(μηδενικη)

Επομενως η σειρα δεν συγκλινει στο R.

[xaroulita]

στο θεμα 2β με τα sup και τα inf βαλατε?

[apolski]

Η ακολουθια ειναι φραγμενη και αυξουσα.

Για n=1 εχεις οτι αρα



Επισης

Αρα

Επομενως και

[xaroulita]

εγω στο 3α εγραψα οτι

αν Χ ρητος ισχυει οτι lim f(X) = lim X = Xo

αν Χ αρρητος ισχυει οτι lim f(X) = lim(1-X) = 1-Xo

αρα η f ειναι ασυνεχης

αλλα μαλλον βλακια εκανα