apolski έγραψε:Ωραια Κωστα, αν και ειχα αλλη λυση στο μυαλο μου η οποια ειναι λιγο πιο πολυπλοκη...
Και εγώ θα έδινα και μιά άλλη απόδειξη που θα χρησιμοποιούσα το ακέραιο μέρος του χ ([χ]), θα έφραζα την συνάρτηση από δύο συναρτήσεις και θα χρησιμοποιούσα υπακολουθίες για να το δείξω.
Μου αρέσει που κάποιοι ασχολούνται και βάζουν ασκήσεις για εξάσκηση, μπράβο σου apolski,
Για αυτό θα βάλω και εγώ δύο ασκήσεις, η μία είναι άσκηση 3ης Λυκείου και η δεύτερη είναι η γενίκευσή της η οποία θέλει γνώσεις πανεπιστημίου.
1η άσκηση
Έστω f:[a,b]->[a,b] συνεχής και αύξουσα
Νδο υπάρχει ξ να ανήκει στο[a,b] Τέτοιο ώστε f(ξ)=ξ
2η άσκηση
Έστω f:C->C , όπου C είναι ένα κλειστό φραγμένο και μη κενό υποσύνολο του R και η f είναι συνεχής και αύξουσα.
Νδο υπάρχει ξ στο C τέτοιο ώστε f(ξ)=ξ