Θέματα Μαθηματικών

Βρήκες ή ψάχνεις κάτι ενδιαφέρον για τους τομείς των Μαθηματικών, της Φυσικής ή της Πληροφορικής; Για πέρνα να τα πούμε...

Συντονιστές: kostas213, markelos, Tulis

Άβαταρ μέλους
apolski
Δημοσιεύσεις: 846
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 21, 2007 3:09 pm
Real Name: ---
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: UK

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από apolski »

Hengeo έγραψε:
Για το 1, έχω σπάσει το κεφάλι μου, τι τον τύπο ολοκλήρωσης γινομένου χρησιμοποίησα, τι διάφορα κριτήρια σύγκλισης, τι τον κανόνα de l'hospital για τα όρια, τίποτα. Κανένα hint please; :e_geek:
οπου η F ειναι η παραγουσα της f, δηλαδη F'(x)=f(x)

Οποτε

Ολοληρωνεις κατα παραγοντες απο 0 μεχρι το n και παιρνεις το οριο . Μετα χρησιμοποιεις Del Hospital.
Άβαταρ μέλους
apolski
Δημοσιεύσεις: 846
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 21, 2007 3:09 pm
Real Name: ---
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: UK

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από apolski »

NickNafplio έγραψε: 4)
Έστω 1-1 και επί συνάρτηση από το Ν* στο Ν*.
α) Να εξεταστεί αν η σειρά:

συγκλίνει πάντα η αποκλείνει πάντα.
β) Τι μπορείτε να πείτε για τη σειρά:
?
Οι s(n) ειναι οι μεταθεσεις του συνολου N*.

Υποδειξη:
Άβαταρ μέλους
NickNafplio
Δημοσιεύσεις: 705
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 01, 2008 5:50 pm
Real Name: Νικος (mod(p^n)) ...
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από NickNafplio »

Η απάντηση στο 2 δεν είναι σωστή, αλλά δεν καταλαβαίνω και τη λογική της λύσης, πχ ποιά είναι η g και γιατί αν δεν ισχύει για τα x1,x2 πρέπει υποχρεωτικά να ισχύει για κάποια x3,x4,... Ισως η εκφώνηση όπως την έδωσα δεν είναι ιδιαίτερα σαφής, ας το γράψω λίγο καλύτερα:

Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι n>1 για τους οποίους ισχύει το παρακάτω:
Για κάθε συνάρτηση η οποία για κάθε άδα πραγματικών αριθμών ικανοποιεί:
,
υπάρχει συνάρτηση τέτοια ώστε:



Για το 1, νομίζω πως η τελευταία λύση (την οποία δεν έλεγξα πλήρως) δουλεύει μόνο για f συνεχή, αλλιώς δεν ξέρουμε ότι το ολοκλήρωμα έχει παράγωγο (http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_calculus).
Hint για το 1 για λύση 2-3 γραμμών:
Σπάστε κατάλληλα το ολοκλήρωμα σε 2 άλλα, και μετά φράξτε τα μεγιστοποιόντας το x ανάλογα με τα διαστήματα στα οποία ολοκληρώνετε κάθε φορά.

Off Topic
Για τις απορίες τώρα:
Η επίλυση δύσκολων μαθηματικών προβλημάτων είναι κάτι που χρειάζεται αρκετή εξάσκηση, όχι τόσο με την έννοια του να μάθει κάποιος μεθοδολογίες, αλλά περισσότερο με την έννοια του να μάθει κάποιος να σκέφτεται σωστά όταν έχει να αντιμετωπίσει ένα δύσκολο πρόβλημα. Ο καλά προετοιμασμένος για ολυμπιάδες, ένα απλό ολυμπιακό πρόβλημα τις περισσότερες φορές θα το λύσει μέσα σε λίγα λεπτά (να τονίσω εδώ ότι το "απλό" πρόβλημα σε μια ολυμπιάδα είναι κάτι που στις εξετάσεις ενός μαθήματος μπορεί να είναι από "άσκηση μέσης δυσκολίας" μέχρι "δύσκολη άσκηση", πχ το πρόβλημα 1 όταν μας το έδωσαν στην προετοιμασία μας είπαν ότι είναι από εξέταση σε κάποιο μεταπτυχιακό μάθημα στο πανεπιστήμιο Ιωαννίνων αν θυμάμαι καλά)
Υπάρχουν τώρα και τα δύσκολα ολυμπιακά προβλήματα, όπου ακόμα και ο καλά προετοιμασμένος μπορεί να χρειαστέι αρκετές ώρες για να λύσει κάποιο, ενώ υπάρχουν και τα "άπιαστα" που πέφτουν κατα καιρούς και δεν τα λύνει κανένας (στον IMC 2009 στη Βουδαπέστη υπήρχαν 2 τέτοια προβλήματα, όπου ο καλύτερος πήρε στο ένα από αυτά 2 με άριστα το 10).
Για το χρόνο τώρα, στη διεθνή ολυμπιάδα δεν τίθεται τέτοιο θέμα, στον imc πχ έχεις 5 ώρες για 5 προβλήματα εκ των οποίων τα 2 είναι "απλα" (στη διεθνή ολυμπιάδα για μαθητές πάλι, έχεις 4.5 ώρες για 3 προβλήματα εκ των οποίων το 1 είναι "απλό") και αν μπορείς να λύσεις κάτι εκείνη την ώρα, τότε δεν υπάρχει περίπτωση να μη το γράψεις επειδή δεν θα σε φτάσει ο χρόνος (όπως συμβαίνει, κακώς κατ' εμε, στις εξετάσεις όπου ο χρόνος είναι ίσα-ίσα για να προλάβει αυτός που γράφει γρήγορα).
Σε κάποιες χώρες όπως Ρωσία, Ρουμανία, Ουκρανία, Πολωνία, Κίνα και ΗΠΑ, αυτοί που ασχολούνται κάνουν πρωταθλητισμό στα μαθηματικά, και στις παγκόσμιες ολυμπιάδες (όχι στις πιο τοπικές όπως Βαλκανιάδα η Seemous) τις περισσότερες φορές πιάνουν ακόμα και 2 φορές το σκόρ του καλύτερου Έλληνα που θα πάρει μέρος, για το τι γίνεται με αυτούς δεν γνωρίζουμε, ίσως να μαθαίνουν να σκέφτονται καλύτερα επειδή κάνουν προετοιμασία με είδη δύσκολων προβλημάτων που εμείς εδώ δεν γνωρίζουμε, αλλά ίσως να είναι και διάννοιες όλοι αυτοί, dunno.
Ο νεοφιλελές της διπλανής πόρτας
Άβαταρ μέλους
apolski
Δημοσιεύσεις: 846
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 21, 2007 3:09 pm
Real Name: ---
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: UK

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από apolski »

NickNafplio έγραψε:Η απάντηση στο 2 δεν είναι σωστή, αλλά δεν καταλαβαίνω και τη λογική της λύσης, πχ ποιά είναι η g και γιατί αν δεν ισχύει για τα x1,x2 πρέπει υποχρεωτικά να ισχύει για κάποια x3,x4,... Ισως η εκφώνηση όπως την έδωσα δεν είναι ιδιαίτερα σαφής, ας το γράψω λίγο καλύτερα:

Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι n>1 για τους οποίους ισχύει το παρακάτω:
Για κάθε συνάρτηση η οποία για κάθε άδα πραγματικών αριθμών ικανοποιεί:
,
υπάρχει συνάρτηση τέτοια ώστε:
Αν δεν κανω λαθος ισχυει μονο για n=2. Αν ισχυε για n>2 τοτε η f(x,y)=0 παντου.
Πες μου αν ειναι σωστη η απαντηση για να γραψω την λυση.

NickNafplio έγραψε:Για το 1, νομίζω πως η τελευταία λύση (την οποία δεν έλεγξα πλήρως) δουλεύει μόνο για f συνεχή, αλλιώς δεν ξέρουμε ότι το ολοκλήρωμα έχει παράγωγο (http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_calculus).
Hint για το 1 για λύση 2-3 γραμμών:
Σπάστε κατάλληλα το ολοκλήρωμα σε 2 άλλα, και μετά φράξτε τα μεγιστοποιόντας το x ανάλογα με τα διαστήματα στα οποία ολοκληρώνετε κάθε φορά.
Ναι, εχεις δικιο, η f πρεπει να ειναι συνεχης.



apolski έγραψε:
NickNafplio έγραψε: 3) Έστω A,B πραγματικοί πίνακες ώστε

Δείξτε ότι



[A,B]=0 ή B=I

Επομενως [A,B]=0.
Μια γενικευση: Αν aA + bB = cAB, a,b πραγματικοι διαφοροι του μηδενος, τοτε AB = BA

Αποδειξη:

Οποτε [A,B]=0 διοτι η λυση απορριπτεται καθως a,b διαφοροι του μηδενος.
Άβαταρ μέλους
NickNafplio
Δημοσιεύσεις: 705
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 01, 2008 5:50 pm
Real Name: Νικος (mod(p^n)) ...
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από NickNafplio »

apolski έγραψε:
NickNafplio έγραψε: Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι n>1 για τους οποίους ισχύει το παρακάτω:
Για κάθε συνάρτηση η οποία για κάθε άδα πραγματικών αριθμών ικανοποιεί:
,
υπάρχει συνάρτηση τέτοια ώστε:
Αν δεν κανω λαθος ισχυει μονο για n=2. Αν ισχυε για n>2 τοτε η f(x,y)=0 παντου.
Πες μου αν ειναι σωστη η απαντηση για να γραψω την λυση.
Απάντηση:
'Ετσι όπως το έχω διατυπώσει το πρόβλημα, ισχύει για n > 2, αλλά πιστεύω πως αυτό ήθελες να γράψεις, οπότε γράψε τη λύση σου.

apolski έγραψε:
apolski έγραψε:
NickNafplio έγραψε: 3) Έστω A,B πραγματικοί πίνακες ώστε

Δείξτε ότι



[A,B]=0 ή B=I

Επομενως [A,B]=0.
Μια γενικευση: Αν aA + bB = cAB, a,b πραγματικοι διαφοροι του μηδενος, τοτε AB = BA

Αποδειξη:

Οποτε [A,B]=0 διοτι η λυση απορριπτεται καθως a,b διαφοροι του μηδενος.
Δες την απάντησή μου στην προηγούμενη σελίδα για την απάντηση που είχες δώσει στην ειδική περίπτωση α=β=γ=1. Στους πίνακες δεν ισχύει MN=0 => M=0 η N=0, εκτώς αν μπορείς να δείξεις ότι κάποιος είναι αντιστρέψημος (που εδώ μπορείς να το δείξεις για τον στη γενική περίπτωση, οπότε και οι δύο απαντήσεις σου σώζονται)
Ο νεοφιλελές της διπλανής πόρτας
Άβαταρ μέλους
apolski
Δημοσιεύσεις: 846
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 21, 2007 3:09 pm
Real Name: ---
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: UK

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από apolski »

Ooops, δεν ειδα την προηγουμενη απαντηση σου. Οντως πρεπει να δειχθει πρωτα οτι ο (Ι-Β) αντιστρεφεται.

Απο υποθεση ΑΒ=Α+Β, οποτε (Α-Ι)Β-Α=0 <=>(Α-Ι)Β-Α+Ι=Ι<=>(Α-Ι)(Β-Ι)=Ι
Αν πολλαπλασιασω το [Α,Β](Β-Ι)=0 που βρηκα με το (Α-Ι) θα δωσει οτι [Α,Β]=0.
Άβαταρ μέλους
NickNafplio
Δημοσιεύσεις: 705
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 01, 2008 5:50 pm
Real Name: Νικος (mod(p^n)) ...
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από NickNafplio »

apolski έγραψε:Ooops, δεν ειδα την προηγουμενη απαντηση σου. Οντως πρεπει να δειχθει πρωτα οτι ο (Ι-Β) αντιστρεφεται.

Απο υποθεση ΑΒ=Α+Β, οποτε (Α-Ι)Β-Α=0 <=>(Α-Ι)Β-Α+Ι=Ι<=>(Α-Ι)(Β-Ι)=Ι
Αν πολλαπλασιασω το [Α,Β](Β-Ι)=0 που βρηκα με το (Α-Ι) θα δωσει οτι [Α,Β]=0.
Ωραία, και αντίστοιχα λύνεται και η γενίκευση που έβαλες. Μπορείς όμως να το τελειώσεις και άμεσα από την παραπάνω παραγοντοποίηση:

(Α - Ι)(Β - Ι) = Ι <=> (Β - Ι)(Α - Ι) = Ι => ΒΑ = Β + Α => ΑΒ = Α + Β = ΒΑ!!!



Θα ήθελα να δω και τη λύση σου στο 4, γιατί με τη λύση που έχω εγώ δεν καταλαβαίνω πως βοηθάει η υπόδειξη που δίνεις.
Ο νεοφιλελές της διπλανής πόρτας
Άβαταρ μέλους
kostas.m
Δημοσιεύσεις: 118
Εγγραφή: Τρί Οκτ 23, 2007 3:24 pm
Real Name: k.mastakas
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: Στο σταυροδρόμι
Επικοινωνία:

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από kostas.m »

Άσκηση 1)
Έστω , που γράφεται στην κανονική του μορφή ως γινόμενο πρώτων παραγόντων ως εξής: , να δείξετε ότι το πλήθος των θετικών και αρνητικών ακεραίων που διαιρούν τον n είναι .

Άσκηση 2)
Έστω ένα πολυώνυμο n-οστού βαθμού , για το οποίο ισχύει ότι υπάρχουν διαφορετικά μεταξύ τους, με . Να δείξετε ότι το πολυώνυμο είναι σταθερό.

Άσκηση 3) Πρόβλημα 4 Imc 2008
Έστω μη σταθερά πολυώνυμα. Αν το g διαιρεί το f και το πολυώνυμο έχει τουλάχιστον 81 διαφορετικές ρίζες, να δείξετε ότι το g έχει βαθμό καθαρά μεγαλύτερο από 5.
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος kostas.m την Σάβ Δεκ 03, 2011 11:56 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
"Πρέπει να μάθουμε, θα μάθουμε" David Hilbert
Άβαταρ μέλους
Hengeo
Δημοσιεύσεις: 1478
Εγγραφή: Τρί Φεβ 20, 2007 1:57 pm
Real Name: Γιώργος
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: Η πιο γλυκιά πατρίδα είναι η καρδιά..

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από Hengeo »

NickNafplio έγραψε:Η απάντηση στο 2 δεν είναι σωστή, αλλά δεν καταλαβαίνω και τη λογική της λύσης, πχ ποιά είναι η g και γιατί αν δεν ισχύει για τα x1,x2 πρέπει υποχρεωτικά να ισχύει για κάποια x3,x4,...
Από την αρχική εκφώνηση που είχες γράψει κατάλαβα ότι η g είναι μία οποιαδήποτε συνάρτηση μίας μεταβλητής στο R, όπως και ότι αυτό που ζητείται είναι τα n > 1 για τα οποία αν ισχύει η πρώτη συνθήκη, πρέπει αναγκαστικά να ισχύει και η δεύτερη. Το άλλο ίσως όντως δεν το διευκρίνισα πλήρως. Δεν ισχύει υποχρεωτικά για κάποια x3,x4,..., αλλά αν δεν ισχύει π.χ. για x1,x2,x3,...,xn (ανά δύο) τότε έπεται και ότι δεν ισχύει για x1,x2. Οπότε αν αποδείξουμε ότι αν από το δεν ισχύει για x1,x2 έπεται ένα άλλο γεγονός Α, τότε το γεγονός αυτό θα έπεται και από το δεν ισχύει για x1,x2,x3,...,xn.
Off Topic
Σε ευχαριστώ για την εκτενή απάντηση στις απορίες μου. Χωρίς ίσως να το αντιληφθείς έπιασες το που το πήγαινα, ήθελα να συγκρίνω με αυτά που ισχύουν στις εξεταστικές και ειδικά π.χ. σε αυτές του κου Αργυρού (ο νοών νοείτω). Όσο αναφορά το άλλο που έγραψες, για να μην γίνομαι και απόλυτος, όντως βλέπω κάποιους που έχουν αυτό το κάτι που τους κάνει να βρίσκουν πολύ εύκολα λύσεις. Ίσως να είναι κάτι ανάλογο του ταλέντου π.χ. στη ζωγραφική, χωρίς όμως αυτό να σημαίνει ότι αν το δουλέψεις δεν μπορείς να γίνεις ένας πολύ καλός ζωγράφος!
apolski έγραψε: οπου η F ειναι η παραγουσα της f, δηλαδη F'(x)=f(x)

Οποτε

Ολοληρωνεις κατα παραγοντες απο 0 μεχρι το n και παιρνεις το οριο . Μετα χρησιμοποιεις Del Hospital.
Αυτό σκέφτηκα και εγώ, αλλά μετά τις πράξεις καταλήγω στο όριο n*f(n)/1 το οποίο πάει στο άπειρο για n -> άπειρο.

Όπως και να έχει, ευχαριστώ για τις απαντήσεις και διορθώστε με αν κάπου έχω κάνει λάθος. Προς το παρόν με περιμένει και η μηχανική ΙΙ.. :ssss:
Άνθρωπε γνώρισε τον εαυτό σου και θα γνωρίσεις το σύμπαν και τους θεούς - Δελφικό ρητό
Άβαταρ μέλους
apolski
Δημοσιεύσεις: 846
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 21, 2007 3:09 pm
Real Name: ---
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: UK

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από apolski »

Αν ολοκληρωσεις κατα παραγοντες θα παρεις .



Για τον δευτερο ορο κανεις De l Hospital



Αλλα οπως ειπαμε για να μπορεις να το κανεις η f πρεπει να ειναι συνεχεις.

NickNafplio έγραψε:

Θα ήθελα να δω και τη λύση σου στο 4, γιατί με τη λύση που έχω εγώ δεν καταλαβαίνω πως βοηθάει η υπόδειξη που δίνεις.
Σιγουρα βοηθαει για την δευτερη σειρα.
Άβαταρ μέλους
Hengeo
Δημοσιεύσεις: 1478
Εγγραφή: Τρί Φεβ 20, 2007 1:57 pm
Real Name: Γιώργος
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: Η πιο γλυκιά πατρίδα είναι η καρδιά..

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από Hengeo »

apolski έγραψε:Αν ολοκληρωσεις κατα παραγοντες θα παρεις .



Για τον δευτερο ορο κανεις De l Hospital



Αλλα οπως ειπαμε για να μπορεις να το κανεις η f πρεπει να ειναι συνεχεις.
Οκ κατάλαβα :)

Είχα σκεφτεί τα δύσκολα και δεν σκέφτηκα το απλό, να χωρίσω το όριο σε άθροισμα ορίων. Και μια μικρή διόρθωση, το άπειρο που έγραψα στο προηγούμενο μήνυμα μάλλον απροσδιόριστο είναι τελικά.

Όσο αναφορά τη συνέχεια, για το de l'hospital αρκεί να υπάρχουν οι παράγωγοι, κάτι που ισχύει. Άρα, αν κατάλαβα σωστά, απαιτείται η συνέχεια για να θεωρήσουμε την παράγουσα F(x); Ουφ, όλο αυτό παθαίνω σε τέτοιου είδους προβλήματα, μπορεί να κάτσω επί πολλή ώρα και να σκεφτώ μία πολύ εκτενή-έξυπνη λύση, αλλά να μου έχει διαφύγει μία λεπτομέρεια που την καθιστά μερικώς ή ολικώς άσχετη.. :banghead:
Άνθρωπε γνώρισε τον εαυτό σου και θα γνωρίσεις το σύμπαν και τους θεούς - Δελφικό ρητό
Άβαταρ μέλους
kostas.m
Δημοσιεύσεις: 118
Εγγραφή: Τρί Οκτ 23, 2007 3:24 pm
Real Name: k.mastakas
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: Στο σταυροδρόμι
Επικοινωνία:

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από kostas.m »

NickNafplio έγραψε: 2) Έστω n ακέραιος μεγαλύτερος του 1 και f(x,y) συνάρτηση ώστε

Για ποιές τιμές του n υπάρχει υποχρεωτικά συνάρτηση g μιας μεταβλητής ώστε
?
sorry gia ta greeklish, alla eimai sto pc lab tora, se linux kai den mporo na grapso ellinika.

se kati tetoia provlimata me sinartisiakes sxeseis prospatheis sinithos na vreis tin f diaisthitika kai meta na apodeikseis oti auti einai i monadiki.
sinithos vazeis kapoies times se ola ta x opos 0 kai 1 i les oti oles oi metavlites einai ises me x kai kaneis kapoia texnasmata, analoga kai me tin askisi gia na ftaseis sto apotelesma.
gia to provlima tora.
Kat' arxas gia n=2 Theorontas tin , tote f(x,y) diaforo tou g(x)-g(y) gia kathe sinartisi g mias metavlitis.
Gia n>2
theto , tote antikathistontas exo oti , opote .
Gia
Gia tote Opote Opote thetontas . Tote gia kathe
Ara gia n>2 isxiei anagkastika . Eno gia n=2 den isxiei
"Πρέπει να μάθουμε, θα μάθουμε" David Hilbert
Άβαταρ μέλους
kostas.m
Δημοσιεύσεις: 118
Εγγραφή: Τρί Οκτ 23, 2007 3:24 pm
Real Name: k.mastakas
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: Στο σταυροδρόμι
Επικοινωνία:

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από kostas.m »

Τα θέματα του προκριματικού για τον Imc
Συνημμένα
10001.JPG
10002.JPG
"Πρέπει να μάθουμε, θα μάθουμε" David Hilbert
Άβαταρ μέλους
1/2rizax
Δημοσιεύσεις: 231
Εγγραφή: Δευ Δεκ 04, 2006 3:39 pm

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από 1/2rizax »

1) Thema Analisis: Dikste oti to plithos twn simeiwn asinexeias opoiasdipote monotonis sinartisis einai arithmisimo (to eixa proteinei kai kapou allou afto, einai ena poli endiaferon provlima)
Μια διαφορετική λύση αυτού του προβλήματος. Πρώτα ένα Λήμμα:

Έστω τοπολογικός χώρος, μετρικός χώρος και συνάρτηση . Ορίζουμε ως ταλάντωση της στο σημείο τον αριθμό
(Δηλαδή η ανοικτή περιοχή του ).
Έστω . Τότε αν και μόνο αν η συνεχής στο .

Απόδειξη:
Ευθύ:
Έστω ότι και δίκτυο του με . Θα δείξουμε ότι στη μετρική d.
Έστω . Θα δείξουμε ότι .
Από υπόθεση , επομένως υπάρχει ανοικτή περιοχή τέτοια ώστε .

Επιπλέον, , άρα υπάρχει τέτοιο ώστε , για κάθε . Άρα και , για κάθε .

Αντίστροφο:
Έστω ότι η f είναι συνεχής στο και . Τότε , για κάθε ανοικτή περιοχή του .
Θεωρούμε το δίκτυο των ανοικτών περιοχών του , . Προφανώς
και , για κάθε ανοικτή περιοχή του , δηλαδή το δε συγκλίνει στο ,
άτοπο αφού η f υποτέθηκε συνεχής στο . Άρα .


* * * * *


Προχωράμε στην απόδειξη της άσκησης:
Έστω μονότονη, διάστημα του και . Λόγω της μονοτονίας της f υπάρχουν το πολύ το πλήθος σημεία στο διάστημα I για τα οποία . Επομένως το σύνολο είναι το πολύ αριθμήσιμο.
Όμως , με την f να έχει το πολύ αριθμήσιμο πλήθος σημείων ασυνέχειας σε κάθε διάστημα . Άρα το σύνολο των σημείων ασυνέχειας της f στο είναι το πολύ αριθμήσιμο.
no es sueño la vida
y al que le duele su dolor le dolerá sin descanso
y el que teme la muerte la llevará sobre los hombros
Άβαταρ μέλους
NickNafplio
Δημοσιεύσεις: 705
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 01, 2008 5:50 pm
Real Name: Νικος (mod(p^n)) ...
Gender: Male
Facebook ID: 0
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: Θέματα Μαθηματικών

Δημοσίευση από NickNafplio »

Κατα τη γνώμη μου τα θέματα δεν ήταν καλά, σε σχέση με τα προηγούμενα χρόνια τουλάχιστον. Καλά θέματα για διαγωνισμό ήταν μόνο το 4, τα 1 και 3β σαν εύκολα θέματα όμως, και το 6γ (τα βοηθητικά ερωτήματα ήταν υπερβολικά πολλά για προκριματικό για ολυμπιάδα, και ειδικά στην περίπτωση του 3, το 3α μετέτρεπε το 3β σε trivial). Το 2 καλό για εύκολο θέμα εξέτασης Ανάλυσης 1 αλλά μέχρι εκεί. Το 5 πάλι είχε πολύ δουλειά και ελάχιστη σκέψη, και είχε (πάλι) πολλά βοηθητικά ερωτήματα, στο στυλ των πανελληνίων εξετάσεων δηλαδή όπου η εξέταση της σκέψης απουσιάζει, ενώ οποισδήποτε είχε την υπομονή να κάτσει και να γράψει πολλά εν ώρα διαγωνισμού μάλλον το έγραφε (προσωπικά δεν την είχα, προτίμησα να ασχοληθώ με το αρκετά όμορφο 4ο θέμα).

Από τη μορφή αυτή που είχε ο διαγωνισμός, και από συζητήσεις που είχα μετά το διαγωνισμό με αρκετούς από αυτούς που έδωσαν, πιστεύω ότι οι διαφορές μεταξύ των περισσότερων διαγωνιζόμενων θα είναι πολύ μικρές και ότι αν η συμμετοχή ήταν μεγαλύτερη, τότε ακόμα και οι καλά προετοιμασμένοι και έμπειροι (από διαγωνισμούς) φοιτητές οι οποίοι στοχεύουν ψηλά στον imc και οι οποίοι πρέπει να αποτελούν τον κορμό της ομάδας, ίσως κυνδίνευαν να μείνουν εκτός ομάδας.

Κατ' εμε ολοι οι προηγούμενοι προκριματικοί μας (οι 2 στους οποίους πήρα μέρος εγώ τουλάχιστον) ήταν 10 επίπεδα καλύτεροι.
Άντε να δούμε τωρα τι θα τους βάλουν αύριο στον προκριματικό του μαθηματικού

Παραθέτω τώρα μερικούς τρόπους αντιμετώπισης του 1:

Για το α), είναι γνωστό ότι αν ένα πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές, τότε κάθε ακέραια μη μηδενική ρίζα διαιρεί το σταθερό όρο. Η αποδειξη αυτόύ είναι πολύ απλή, καθώς αν και l η ακέραια ρίζα, τότε .
Τώρα το ζητούμενο έπεται άμεσα από το ότι το χαρακτηρηστικό πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές ενώ ο σταθερός όρος αυτού είναι η ορίζουσα με διαφορετικό ίσως πρόσημο.
Για το β) τώρα, μπορεί κάποιος να χρησημοποιήσει το α) παρατηρώντας ότι το r είναι ακέραια ιδιοτιμή (ως άθροισμα ακεραίων) αντίστοιχη του ιδιοδιανύσματος (1,1,1,1....,1)^τ.
Το α) πιστεύω πως μπήκε για να λύσει κάποιος το β) με την παραπάνω παρατήρηση, όμως το β) μπορεί να λυθεί και πολύ πιο απλά χωρις να γίνει χρήση του α):
προσθέτοντας όλες τις άλλες στήλες στην πρώτη, η ορίζουσα δεν αλλάζει ενώ η πρώτη στήλη έχει τότε μόνο r, οπότε τότε το ζητούμενο έπεται άμεσα αν αναπτύξουμε την ορίζουσα ως προς την πρώτη στήλη η αν (ακόμα πιο απλά) βγάλουμε το r έξω από την πρώτη στήλή (βασική ιδιότητα των οριζουσών).
Ο νεοφιλελές της διπλανής πόρτας
Απάντηση

Επιστροφή στο “Ζητήματα Μαθηματικών - Φυσικής - Πληροφορικής”