Κατα τη γνώμη μου τα θέματα δεν ήταν καλά, σε σχέση με τα προηγούμενα χρόνια τουλάχιστον. Καλά θέματα για διαγωνισμό ήταν μόνο το 4, τα 1 και 3β σαν εύκολα θέματα όμως, και το 6γ (τα βοηθητικά ερωτήματα ήταν υπερβολικά πολλά για προκριματικό για ολυμπιάδα, και ειδικά στην περίπτωση του 3, το 3α μετέτρεπε το 3β σε trivial). Το 2 καλό για εύκολο θέμα εξέτασης Ανάλυσης 1 αλλά μέχρι εκεί. Το 5 πάλι είχε πολύ δουλειά και ελάχιστη σκέψη, και είχε (πάλι) πολλά βοηθητικά ερωτήματα, στο στυλ των πανελληνίων εξετάσεων δηλαδή όπου η εξέταση της σκέψης απουσιάζει, ενώ οποισδήποτε είχε την υπομονή να κάτσει και να γράψει πολλά εν ώρα διαγωνισμού μάλλον το έγραφε (προσωπικά δεν την είχα, προτίμησα να ασχοληθώ με το αρκετά όμορφο 4ο θέμα).
Από τη μορφή αυτή που είχε ο διαγωνισμός, και από συζητήσεις που είχα μετά το διαγωνισμό με αρκετούς από αυτούς που έδωσαν, πιστεύω ότι οι διαφορές μεταξύ των περισσότερων διαγωνιζόμενων θα είναι πολύ μικρές και ότι αν η συμμετοχή ήταν μεγαλύτερη, τότε ακόμα και οι καλά προετοιμασμένοι και έμπειροι (από διαγωνισμούς) φοιτητές οι οποίοι στοχεύουν ψηλά στον imc και οι οποίοι πρέπει να αποτελούν τον κορμό της ομάδας, ίσως κυνδίνευαν να μείνουν εκτός ομάδας.
Κατ' εμε ολοι οι προηγούμενοι προκριματικοί μας (οι 2 στους οποίους πήρα μέρος εγώ τουλάχιστον) ήταν 10 επίπεδα καλύτεροι.
Άντε να δούμε τωρα τι θα τους βάλουν αύριο στον προκριματικό του μαθηματικού
Παραθέτω τώρα μερικούς τρόπους αντιμετώπισης του 1:
Για το α), είναι γνωστό ότι αν ένα πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές, τότε κάθε ακέραια μη μηδενική ρίζα διαιρεί το σταθερό όρο. Η αποδειξη αυτόύ είναι πολύ απλή, καθώς αν
και l η ακέραια ρίζα, τότε
.
Τώρα το ζητούμενο έπεται άμεσα από το ότι το χαρακτηρηστικό πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές ενώ ο σταθερός όρος αυτού είναι η ορίζουσα με διαφορετικό ίσως πρόσημο.
Για το β) τώρα, μπορεί κάποιος να χρησημοποιήσει το α) παρατηρώντας ότι το r είναι ακέραια ιδιοτιμή (ως άθροισμα ακεραίων) αντίστοιχη του ιδιοδιανύσματος (1,1,1,1....,1)^τ.
Το α) πιστεύω πως μπήκε για να λύσει κάποιος το β) με την παραπάνω παρατήρηση, όμως το β) μπορεί να λυθεί και πολύ πιο απλά χωρις να γίνει χρήση του α):
προσθέτοντας όλες τις άλλες στήλες στην πρώτη, η ορίζουσα δεν αλλάζει ενώ η πρώτη στήλη έχει τότε μόνο r, οπότε τότε το ζητούμενο έπεται άμεσα αν αναπτύξουμε την ορίζουσα ως προς την πρώτη στήλη η αν (ακόμα πιο απλά) βγάλουμε το r έξω από την πρώτη στήλή (βασική ιδιότητα των οριζουσών).