ΣΕΜΦΕ forum

Ανοίγω αυτό το τόπικ, έτσι ώστε να μπορεί οποιος θέλει να βάλει προβλήματα μαθηματικών από οποιοδήποτε χώρο θέλει και να γίνονται συζητήσεις πάνω σε αυτά.


Βάζω κάποιες ασκήσεις για αρχή

1)
Έστω πολυώνυμο f δευτέρου βαθμού, με ακέραιους συντελεστές. Αν για κάθε ακέραιο k το f(k) είναι πολλαπλάσιο του 5 να αποδειχθεί ότι οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι πολλαπλάσια του 5

2)
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:R->R για τις οποίες για κάθε α,β στους πραγματικούς με α<β έχω ότι το η εικόνα f[α,β] είναι κλειστό διάστημα μήκους β-α.

3)
Έστω ένας n*n πίνακας που έχει ως στοιχεία τους αριθμούς 1,2,3,...,n^2 με κάποια διάταξη. Να βρεθεί ο μέγιστος και ο ελάχιστος δυνατός βαθμός πίνακα.

Έστω α,β,γ τρεις διαφορετικοί ακέραιοι και έστω Ρ ένα πολυώνυμο που έχει όλους τους συντελεστές του ακεραίους. Δείξτε ότι δεν μπορεί να είναι Ρ(α)=β, Ρ(β)=γ και Ρ(γ)=α.

Και μία λίγο πιο εύκολη:

Έστω f:R->R μια συνάρτηση για την οποία ισχύει: f(x+y)=f(x)+f(y) και f(xy)=f(x)f(y) για κάθε x,y και f(x)!=0 (διάφορο του 0) για κάθε x στο R-{0}. Να δείξετε ότι:
1) f(1)=1
2) f(x)=x για κάθε x που ανήκει στο Q.
3) f(x)>0 αν x>0
4) f(x)>f(y) αν x>y
5) f(x)=x για κάθε x που ανήκει στο R

Προσοχή! Η απόδειξη για x ρητό διαφέρει ριζικά από αυτήν για x πραγματικό. Για τους ρητούς αρκεί να δείξετε ότι f(a/b)=a/b για κάθε a,b ακεραίους. Αυτή όμως δεν είναι ικανή συνθήκη για το συνεχές! Για τους πραγματικούς, πρέπει οπωσδήποτε να χρησιμοποιήσετε ακολουθίες. Όποιος θέλει να ασχοληθεί το συζητάμε εδώ!

Για τη συναρτησιακη του Anthony εχουμε

1) Στη δευτερη σχεση θετουμε x=y=1 και παιρνουμε f(1)^2 = f(1), και επηδη η f δεν μηδενιζεται στο R*, εχουμε f(1) = 1

2) Απο τη 1η σχεση εχουμε για x=y: f(2x) = 2f(x), για y=2x παλι εχουμε f(3x) = f(x) + f(2x) = 3f(x)
Και επαγωγικα εχουμε f(nx) = nf(x) για καθε n ακεραιο, οποτε για χ = 1 ειναι f(n) = n για καθε ακεραιο n (ισχυει και για αρνητικο n, αφου απο τη πρωτη σχεση για x = 0 παιρνουμε f(0) = 0 και μετα για x = - y βρησκουμε οτι η f ειναι περιττη)

Τωρα εστω χ=m/n ρητος με m,n ακεραιους, τοτε nx = m, οποτε f(nx) = f(m) = m <=> nf(x) = m <=> f(x) = m/n = x, αρα f(x) = x για καθε ρητο x

3) Για x=y στη 2η σχεση εχουμε (f(x))^2 = f(x^2) για καθε πραγματικο αριθμο x, και επηδη καθε μη-αρνητικος γραφεται σαν τετραγωνο πραγματικου αριθμου, εχουμε τελικα f(x) >= 0 για καθε χ >= 0, με το ισον να ισχυει μονο οταν χ=0 αφου για χ διαφορο του 0 εχουμε και f(x) διαφορο του 0

4) f(x) - f(y) = f(x) + f(-y) = f(x - y) (εχουμε δειξει οτι η f ειναι περιττη στο 2ο ερωτημα), ομως απο το 3ο ερωτημα εχουμε: x > y <=> x - y > 0 <=> f(x - y) > 0 <=> f(x) - f(y) > 0 <=> f(x) > f(y)

5) Στο 4, δειξαμε οτι η f ειναι γνησιως αυξουσα. Για καθε χ αρρητο, θεωρουμε τις ρητες ακολουθιες a_n: γνησιως αυξουσα, A_n: γνησιως φθινουσα, οι οποιες εχουν οριο το x, ετσι εχουμε: a_n < x < A_n <=> f(a_n) < f(x) < f(A_n) <=> a_n < f(x) < A_n, και για n τινει στο απειρο, εχουμε χ <= f(x) <= x <=> f(x) = x. Αρα f(x) = x για καθε πραγματικο αριθμο x

Με τις υπολοιπες ασκησεις θα ασχοληθω αυριο γιατι ειμαι πτωμα αυτη τη στιγμη...

Η 1η ασκηση ειναι αρκετα ευκολη αλλα ειναι ωραια ασκηση

Λοιπον, εστω f(χ) = αχ^2 + βχ + γ το πολυωνυμο 2ου βαθμου
Απο 5|f(0) εχουμε 5|γ
Aπο 5|f(1) εχουμε 5|α + β
Απο 5|f(4) εχουμε 5|16α + 4β

Απο τις 2 τελευταιες εχουμε: 5|17α + 5β => 5|17α => 5|α, και επηδη 5|α + β εχουμε και οτι 5|β και η αποδειξη ολοκληρωθηκε.

Η πολυωνυμικη του Antony τωρα νομιζω οτι ειναι βασικο θεμα στη θεωρια πολυωνυμων που εξεταζεται στις μαθηματικες ολυμπιαδες, και νομιζω οτι την εχω ξαναδει καπου. Βαζω μια λυση σε hide και ελπιζω να ειναι σωστη

Εστω οτι μπορει να ισχυει το ζητουμενο. Θεωρουμε πολυωνυμα: P(x) - a, P(x) - b, P(x) - c, τα οποια εχουν ριζες τους αριθμους c,a,b αντιστοιχα, επομενος θα εχουν τη μορφη P(x) - a = (x - c)Q1(x), P(x) - b = (x - a)Q2(x), P(x) - c = (x - b)Q3(x) (1), οπου Q1(x), Q2(x), Q3(x) ειναι πολυωνυμα με ακεραιους συντελεστες. Εστω χωρις βλαβη της γενικοτητας οτι οι αριθμοι a,b ειναι αυτοι με τη μεγαλυτερη αποσταση ο ενας απ τον αλλον. Τοτε |b - c| < |a - b| <= |a - b||Q3(a))| (αφου προφανος ο Q3(a) ειναι ακεραιος και διαφορος του 0, οπως προκειπτει απο τη σχεση (1) λαμβανοντας υπ οψην οτι b διαφορο του c) το οποιο ομως ειναι ατοπο αφου η σχεση (1) για x = a δινει (b - c) = (a - b)Q3(a). Αρα δεν μπορει να ισχυει το ζητουμενο.

Πολυ ωραια!
Βαζω αλλη μια εξαιρετικη ασκηση:


Βρειτε ολες τις διαφορισιμες συναρτησεις τετοιες ωστε



για καθε x>0 και

NickNafplio έγραψε:Η 1η ασκηση ειναι αρκετα ευκολη αλλα ειναι ωραια ασκηση

Λοιπον, εστω f(χ) = αχ^2 + βχ + γ το πολυωνυμο 2ου βαθμου
Απο 5|f(0) εχουμε 5|γ
Aπο 5|f(1) εχουμε 5|α + β
Απο 5|f(4) εχουμε 5|16α + 4β

Απο τις 2 τελευταιες εχουμε: 5|17α + 5β => 5|17α => 5|α, και επηδη 5|α + β εχουμε και οτι 5|β και η αποδειξη ολοκληρωθηκε.

Μπράβο, μία λύση της άσκησης είναι αυτή.

Έβαλα αυτην την άσκηση για να προσθέσω κάποια θεωρία σε πολυώνυμα.

Έστω ένα πολυώνυμο βαθμού ν με συντελεστές πάνω σε ένα σώμα Σ. Αν το πολυώνυμο έχει ν+1 διαφορετικές ρίζες τότε το πολυώνυμο ταυτίζεται με το μηδενικό.

Και τώρα για την άσκηση, θεωρώ το σώμα το σώμα που περιέχει τα υπόλοιπα mod 5. Και θεωρώ τους συντελεστές του πολυωνύμου πάνω στο σώμα αυτό. Τότε, το πολυώνυμο έχει 5 ρίζες (0,1,2,3,4) και είναι βαθμού 2 άρα ταυτίζεται με το μηδενικό. Οπότε όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι 0 mod5 και από εκεί έπεται το ζητούμενο.

Εχω δει κατα καιρους σε διαφορα φορουμ λυμενες ασκησεις οι οποιες βασιζονται στα σωματα Ζ[κ] αλλα και στο Ζ οπου κανουμε παραγοντοποιησεις στους μιγαδικους για να λυσουμε ορισμενες διοφαντικες εξισωσεις. Απο οσο ξερω ολα αυτα αποτελουν την Αλγεβρικη Θεωρια Αριθμων. Αυτο που θελω να ρωτησω ειναι: Στη ΣΕΜΦΕ διδασκεται καθολου Αλγεβρικη Θεωρια Αριθμων? Η θα πρεπει να διαβασω απο βιβλια του ΕΚΠΑ κλπ για να αποκτησω αυτες τις γνωσεις? Γιατι απο οσο ξερω αυτες οι γνωσεις ειναι απαραιτητες για καποιον που εχει στοχο τους Μαθηματικους Διαγωνισμους IMC, Seemous κλπ.

Γίνονται: αλγεβρικά σώματα κλπ γίνονται στις Άλγεβρες Ι [5ο] και ΙΙ [6ο] μαζί με πολύ σοβαρότερα πράγματα, επίσης σώματα κάνει και ο Παπαϊωάννου στα ειδικά θέματα διακριτών [8ο], και θεωρία αριθμών κάνει πάλι ο Παπ στο 9ο.

Επειδή όμως νομίζω ότι οι διαγωνισμοί αυτοί αφορούν πρωτοετείς-δευτεροετείς, μάλλον θα πρέπει να διαβάσεις μόνος σου...βιβλία υπάρχουν πολλά, και αν θέλεις γνώμη για κάποιο/α, εδώ είμαστε

Ο Seemous ναι, ειναι για 1ο και 2ο ετος. Ο IMC ομως απο οτι διαβασα στο site του διαγωνισμου, ειναι για 1ο, 2ο, 3ο και 4ο ετος

NickNafplio έγραψε: Στη ΣΕΜΦΕ διδασκεται καθολου Αλγεβρικη Θεωρια Αριθμων? Η θα πρεπει να διαβασω απο βιβλια του ΕΚΠΑ κλπ για να αποκτησω αυτες τις γνωσεις? Γιατι απο οσο ξερω αυτες οι γνωσεις ειναι απαραιτητες για καποιον που εχει στοχο τους Μαθηματικους Διαγωνισμους IMC, Seemous κλπ.

Στην Σέμφε από ό,τι ξέρω δεν διδάσκεται αλγεβρική θεωρία αριθμών. Το μόνο μάθημα σχετικό με θεωρία αριθμών που ξέρω ότι διδάσκεται είναι θεωρία αριθμών και κρυπτογραφία. Τώρα, αν είναι να διαβάσεις κάτι που δεν είναι μέσα στην ύλη των εξαμήνων σου, θα σου πρότεινα καλύτερα να δεις βασική άλγεβρα(ομάδες, δακτυλίους,...), στοιχειώδη θεωρία αριθμών και συνδιαστική.

Μια ωραια συναρτησιακη που ελυσα πριν λιγο στο φορουμ της Αλγεβρας στο Mathlinks, ειναι μια πολυ καλη ασκηση γι αυτους που τους αρεσουν οι μαθηματικοι διαγωνισμοι

Βρειτε για ποιες τιμες του θετικου ακεραιου αριθμου n υπαρχουν γνησιως μονοτονες συναρτησεις f: R --> R για τις οποιες ισχυει f(x + f(y)) = f(x) + y^n για καθε ζευγος πραγματικων αριθμων (x,y) καθος και τις συναρτησεις αυτες.

Πόσοι τελεστές υπάρχουν σε έναν χώρο Banach??

Βαζω μια αρκετα δυσκολη ασκηση

Εστω για καθε και

Δειξεε οτι για καθε



Και μια ευκολη

Εστω

Να λυσετε την εξισωση

apolski έγραψε: Εστω

Να λυσετε την εξισωση

Ειναι μια σχετικα ευκολη αλλα ωραια ασκηση. Αλλα ειναι ακομα πιο ωραια στη γενικη μορφη της:
Εστω

Να λυθει η εξισωση οπου το "f" εμφανιζεται n φορες

Και η λυση σε hide:
Η f αλλιως γραφεται:

Και τοτε εχουμε:

Και επαγωγικα

Αρα οι λυσεις ειναι:

Και για n=5 οι λυσεις ειναι:

apolski έγραψε:Βαζω μια αρκετα δυσκολη ασκηση

Εστω για καθε και

Δειξεε οτι για καθε

Apolski, ωραία άσκηση.
Λοιπόν, πρώτα θα βάλω κάποιες παρατηρήσεις.
πρώτα από όλα .
Επίσης, θεωρώ ότι υπάρχει ένας δείκτης p, για τον οποίο x_p=0.
Τότε, . Από αυτην την παρατήρηση, με εφαρμογή της αρχικής σχέσης έχω ότι θα πρέπει να ισχύει ότι
. Καθώς, από την αρχική σχέση μπορώ να βγάλω ότι . Κάτι, που είναι άτοπο, καθώς αν θεωρήσω ότι ο p είναι ο ελάχιστος ακέραιος για τον οποίο συμβαίνει αυτό, τότε
1) αν ο p είναι άρτιος, τότε το ίδιο θα ισχύει και για τον . Άρα, άτοπο
2)αν ο p είναι περιττός, τότε θα πρέπει . Και από την δοσμένη σχέση, ο αριθμός είναι άρρητος. Άτοπο, καθώς όλοι είναι ρητοί.

Υγ. Κάτι πρέπει να γίνει με το Latex...