antony07 wrote: "Αν ο Anderson έκανε το ίδιο αντί να περηφανεύεται για το ότι έλυσε πρόβλημα αιώνων, δεν θα είχε κανείς ένσταση!"
Δεν έχω παρά να συμφωνήσω σε αυτό. Η Ιστορία έχει δείξει επανειλλημένα πως όταν κάποιος ξεκινά με τόσο
μεγάλο στόμφο διατυμπανίζοντας την εργασία του, στην αρχή περιθωριοποιείται εώς ότου επανέλθει με τα
γνωστά crackpotism-like σχόλια του τύπου: "η διεθνής επιστημονική κοινότητα με αγνοεί εκούσια" που έχουν ως
μοναδικό αποτέλεσμα την εύρεση λανθασμένων συλλογισμών μέσα στα πρώτα πέντε-δέκα λεπτά ανάγνωσης του επίμαχου κειμένου. Ίσως κραυγαλέο παράδειγμα να είναι ο de Branges στις μέρες μας. Η αναφορά στον Chaitin είναι εύστοχη αν και ο ίδιος έχει γίνει λιγάκι celebrity άνευ (ιδιαίτερου) λόγου τα τελευταία χρόνια. Για μένα θα ήταν πιο φρόνιμο να μνημονεύαμε τον Leibniz σε αυτές τις περιπτώσεις και γιατί όχι τον Kolmogorov.
Η κατασκευή των μιγαδικών αριθμών κρύβει μέσα της βαθιές αλήθειες για τη δομή των μαθηματικών.
Όπως σωστά παρατηρείς, χονδρικά με παρόμοιο τρόπο κατασκευάζουμε τα κουατέρνια, τα οκτόνια, τα σεντένια,
και γενικότερα τις άλγεβρες Cayley-Dickson και Clifford, χάνοντας τρόπον τινά κάποιες βασικές
ιδιότητες σε κάθε βήμα. Αυτές οι γενικεύσεις ορισμένες φορές (αν όχι πάντα) είναι πολύ εντυπωσιακές
και γόνιμες -αν θες- ως προς το αριθμοθεωρητικό τους ενδιαφέρον. Καταλήγουν σε μη-τετριμμένες προτάσεις.
Χαρακτηριστικό παράδειγμα το "no-go" θεώρημα του Frobenius για όλες τις πεπερασμένης-διάστασης προσεταιριστικές
άλγεβρες διαίρεσης με νόρμα πάνω από το διατεταγμένο σώμα των πραγματικών.
Ως προς το πρακτικό μέρος όμως... είναι μάλλον νωρίς να διακρίνουμε αν αυτοί οι "τρανσέξουαλ"
πραγματικοί δύναται να μας βοήθησουν σε κάποια ενδεχόμενη μοντελοποίηση.
Η καθολική άλγεβρα και η θεωρία μοντέλων έχουν πλέον εξοικειοποιηθεί με έννοιες όπως αυτή:
http://mathworld.wolfram.com/Superstructure.html
Έτσι έλεγαν και για τα κουατέρνια πριν από περίπου 150 χρόνια όταν τα θεμελίωνε ο Hamilton με τη διάσημη εξίσωση του. Μέχρι και την εποχή του Bell (!) υπήρχε μία από στόμα σε στόμα ειρωνεία για την εμμονή που είχε ο Hamilton στην χρησιμότητα του
στον φυσικό κόσμο. Και όμως σήμερα, δεν υπάρχει σοβαρή μαθηματική περιγραφή της περιστροφής ή του προσανατολισμού ενός αντικειμένου χωρίς την χρήση τους στην θεωρία αναπαραστάσεων. Απέφυγα να μιλήσω για την εφαρμοσιμότητα των μιγαδικών, γιατί ίσως σε κάποιους να φαινόταν εν τέλει εύλογη η αποδοτικότητα τους
(με την έννοια του effectiveness) στη Φύση. Αρκεί να σκεφτούμε πως η φανταστική μονάδα παίζει το ρόλο ενός
παράγοντα φάσης και τίποτε άλλο. Και αυτό ισχύει για άλλες, πιο αφηρημένες δομές επίσης. Δε θα μου προκαλούσε
έκπληξη αν κάποιος μετά από χρόνια έδινε "σάρκα και οστά" μέσω της Αστρονομίας (;) στους υπερπεπερασμένους
διατακτικούς αριθμούς και στην απαριθμητική Γεωμετρία, όπως έχει συνηθίσει να λέγεται πια.
«Να μη βιαζόμεθα· είν’ επικίνδυνον πράγμα η βία», όπως γράφει και ο σοφός Αλεξανδρινός.