ΣΕΜΦΕ forum

παιδια πως αποδεικνυουμε οτι ενα συνολο ειναι κλειστο;

πχ:οτι το Α={(x,y):x^2+y^2<=1} ειναι κλειστο υποσυνολο του R^2;
Ξερει κανεις κανα καλο βιβλιο για διαφορικη γεωμετρια παρεπιπτοντως;
EYΧΑΡΙΣΤΩ

μπορείς να δείξεις ότι ισούται με την κλειστότητά του, ότι περιέχει κάθε οριακό του σημείο ή ότι είναι συμπλήρωμα ανοιχτού συνόλου.

διαφορική γεωμετρία το βιβλίο που μας διανέμεται νομίζω είναι πολύ καλό

Πάρε μια ακολουθία (xn,yn) μέσα στο σύνολο Α που συγκλίνει στο (x,y) το οποίο ανήκει στο αρχικό μετρικό χώρο.
Θα είναι xn^2+yn^2<=1 => lim (xn^2+yn^2)<=1 => x^2+y^2<=1
Άρα (x,y) ανήκει στο Α.

Φωτη απο την αποδειξη σου εχω δυο αποριες.

1. αν καταλαβα καλα εχεις στηριχτει σε καποια προταση της μορφης: "ενα συνολο Α ειναι κλειστο αν για καθε (Xn,Yn)->(X,Y) με (Xn,Yn)εΑ ισχυει οτι (X,Υ)εA". Απο που την εχεις βρει αυτη την προταση;

2. Οταν λες (Xn,Yn) μεσα στο Α, εννοεις οτι ολα τα στοιχεια της πλην πεπερασμενου πληθους βρισκονται μεσα στο Α;
Γιατι αν εννοεις αυτο τοτε νομιζω πως εξορισμου θα συνεκλινε η ακολουθια που διαλεξες κ αρα η επιλογη δεν θα ηταν τυχαια (αρα η αποδειξη θα ειναι λαθος).

Με βαση τον ορισμο οτι κλειστο ειναι ενα συνολο οταν το συμπληρωμα του ειναι ανοικτο μπορουμε να πουμε τα εξης:

Εχουμε Α={(x,y) : x^2+y^2<=1}
Εστω (x1,y1)εR^2\A
τοτε θα ισχυει x1^2+y1^2>1. Θέτω ε1=x1^2+y1^2-1>0
Παίρνουμε το σύνολο Β1={(x1,y1) : (x-x1)^2+(y-y1)^2 < ε1}
Το συνολο Β1 είναι ανοικτο ως η ανοικτη σφαίρα S((x1,y1),ε1)
Προφανώς ισχυει Β1(τομη)Α=(κενο)
Αντιστοιχα ισχυει για καθε Βi με (xi,yi) να μην ανηκει στο Α
Αρα, αν παρουμε την οικογενεια των Βι, η ενωση τους ειναι ανοικτο συνολο ως ενωση ανοικτων συνολων κ επισης ισχυει (ενωση)Βι=R^2\A
Aρα R^2\A ανοικτο συνολο, αρα Α κλειστο


σορρυ αλλα δεν ξερω να γραφω με συμβολα (μαλλον καποια στιγμη πρεπει να μαθω )

Η πιο ασφαλής και απλή λύση είναι να αποδείξεις ότι είναι συμπλήρωμα ανοιχτού συνόλου. Αυτό θα το κάνεις με το να δείξεις (με χρήση της τριγωνικής ιδιότητας της μετρικής, όπως στις αποδείξεις της Πραγματικής) ότι για κάθε σημείο x που ανήκει στο συμπλήρωμα, η S(x,ε) είναι υποσύνολο του συμπληρώματος. Δεν σου γράφω το τεχνικό μέρος, για να το δουλέψεις εσύ. Αν κολλήσεις, εδώ είμαστε!

Υπάρχει πρόταση (αποδεικνύεται εύκολα) που εξασφαλίζει ότι ένα σύνολο είναι κλειστό αν, και μόνο αν, περιέχει τα όρια των συγκλινουσών ακολουθιών του.

Αυτό που έγραψα παραπάνω είναι " {(xn,yn) : nεΝ} υποσύνολο του Α ".

Όταν οι χώροι είναι αφηρημένοι ή πολύπλοκοι είναι ο πιο εύχρηστος τρόπος και χρησιμοποιείται συνέχεια στην ανάλυση. Όπως και με τη συμπάγεια, δύσκολα θα χρησιμοποιήσεις τον ορισμό με τα καλύμματα.

επισης μπορεις να το πας με συνεχεια συναρτήσεων :
εστω f(x,y) : R^2 ----> R
με f(x,y)=(x^2 + y^2)^1/2

η συναρτηση ειναι συνεχης (2-norm)
και το κλειστο διαστημα [0,1] επιστρέφει μέσω της αντιστροφής της f στο σύνολο που θες
αρα ειναι κλειστό

Μια χαρά είναι η απόδειξη του φώτη. Αρμάο, για το 2ο ερώτημά σου μπορείς να θεωρήσεις το σύνολο Β=(0,1) και την ακολουθία 1/ν. Όλα τα στοιχεία της 1/ν ανήκουν στο Β αλλά το όριό της όχι. (Αυτό μάλιστα δείχνει ότι το Β δεν είναι κλειστό.) Άρα δεν ισχύει αυτόματα αυτό που έγραψες.

ευχαριστω...τωρα καταλαβαινω τι λαθος εκανα που δεν παρακολουθησα πραγματικη αναλυση!!!!!
κριμα....αραγε εχει κανεις κανα καλο βιβλιο πραγματικης στο νου του;περαν των σημειωσεων του καθηγητη που τις εχω...εννοειται ακομη και ξενογλωσσα να ειναι τα διαβαζω εστω και με πιο αργο ρυθμο.......

1. Metric Spaces, Shirali, Satish, Vasudeva, Harkrishan L.
2. Metric Spaces, Ó Searcóid, Mícheál
3. Introduction to Metric and Topological Spaces, W. A. Sutherland
4. Γενική τοπολογία και συναρτησιακή ανάλυση, Νεγρεπόντης,...

Τα δύο πρώτα μπορείς να τα βρεις στο www.gigapedia.org

σε ευχαριστω Φωτη...μαλλον γαυρος πρεπει να εισαι!!!!