ΣΕΜΦΕ forum

Αυτή η ανάλυση! 1-0

Λοιπόν έχουμε και λέμε...
Όπως ξέρουμε από συνολοπράξεις ισχύει:



όμως μην λησμονήσουμε ότι:


(αποδεικνύεται εύκολα με το αξίωμα μετρήματος των δακτύλων του ενός χεριού μας με την βοήθεια του δείκτη (ή ενός άλλου δακτύλου) του άλλου χεριού μας)


Όπως μάθαμε στο νηπιαγωγείο, το 3 είναι περιττός. Όμως το 2 είναι άρτιος (επίσης από μάθημα του νηπιαγωγείου).
Οπότε πολύ εύκολα βλέπουμε πως προκύπτει ότι τα πραγματικά νούμερα είναι ηλίθιο κατασκευάσματα.

Να τονίσω όμως ότι επειδή στην απόδειξη μας στην πραγματικότητα χρησιμοποιήσαμε ιδιότητες των ρητών αριθμών ().... αχέμ, ήθαλα να πω ρητών νούμερων... Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι και τα ρητά νούμερα είναι το ίδιο ηλίθια με τα πραγματικά κι εμείς είμαστε έξυπνοι που το βρήκαμε...

Δηλαδή στο κάθε υποδιάστημα [Α,Β] στον R,

..............Α.........................Β...............

το Β μπορεί να απαριθμεί άρτιο πληθάριθμο, όταν εξάπαντος υπαρκτό εσωτερικό σημείο Μ του [Α, Β],

..............Α................Μ.......Β.............

σύμφωνα με την πράξη της συνολοθεωρητικής διαφοράς, καθιστά τον πληθάριθμο περιττό σαν {Α, Μ, Β};
Ή το όποιο αντίστοιχο του γραμμικού υποδιαστήματος [Α, Β] του R, αριθμητικό υποδιάστημα [χ, ψ] - δηλαδή όπου σημείο Α= αριθμός χ και όπου σημείο Β = αριθμός ψ -,

..............Α................Μ.......Β.............
..............χ.........................ψ............

μπορεί να είναι με άρτιο πληθάριθμο, όταν οφείλεται αντιστοίχιση πληθαρίθμων, με το αξίωμα αντιστοιχίσης ένα προς ένα και επί, των Ντέντεκιντ - Καντόρ και τα [Α, Β] και [Χ, ψ] είναι ισοπληθικά όχι μόνο μεταξύ τους αλλά και με κάθε άλλο υποδιάστημα του R και τον ίδιο τον R λόγω απειρίας;
Οι Q πάλι τι σχέση έχουν;
Οι πληθάριθμοι απαριθμούνται αποκλειστικά από τους Ν χωρίς το μηδέν, δηλαδή τους θετικούς ακέραιους του Ευκλείδη. Άλλοι απαριθμητικοί δεν υπάρχουν και η απαρίθμηση αρχίζει πάντα από το 1 ή 1ο και επομένως κάθε [Α, Β] με 1ο το Α, αφείλει να έχει περιττό το Β. Απλά πραγματάκια.
Εσύ αγαπητέ, λίγο μπερδεμένα μου τα λες και μάλλον το κάνεις επειδή δεν κατάλαβες ότι την απόδειξη πως σε κάθε [Α, Β] του R επειδή υπάρχει εξάπαντος εσωτερικό σημείο Μ, μετά την πράξη της συνολοθεωρητικής διαφοράς μένουν πάντα 3 στοιχεία, την δίνουν μαθηματικοί. Δεν αντιλέγεις σε μένα ξερεις και να σου πω ότι έχεις δίκιο δεν έχει κάποια αξία.
Εκτός βέβαια και δεν δέχεσαι πως μεταξύ δύο σημείων οσονδήποτε κοντινών μεταξύ τους στον R υπάρχουν άπειρα εσωτερικά σημεία και αντίσοιχοι πραγματικοί αριθμοί, αντίληψη στην οποία στηρίζονται οι μαθηματικοί του Καποδιστριακού.
Το ειρωνικό μιας απάντησης, δεν συνεπάγεται και το αληθές της βέβαια. Ούτε η απόφαση αποτελεί απόδειξη. Αυτό ισχύει διαχρονικά στα μαθηματικά.
Η μετακίνηση του θέματος στην θεματική ενότητα "Αστεία" είναι εξαιρετικά πετυχημένη αφού τοποθετεί την Ανάλυση στη σωστή της θέση. Ό, τι δεν καταλαβαίνουμε, δεν συνεπάγεται πως πάντα δεν είναι κατανοητό...
Ωστόσο η άποψή σου υπό μορφή απόφασης είναι σεβαστή.

Ακούστε πως έχει το πράγμα:
Όπως κάθε σωστός σεμφίτης γνωρίζει, η διάνοια που ακούει στο όνομα τσόλκας αλωνίζει στα χωράφια της συγχρονης φυσικής και γκρεμίζει το ένα μετά το άλλο τα επιτεύγματα της. Οι φθονεροί μαθηματικοί λοιπόν, ζηλεύοντας το μεγαλείο της τσόλκειας φυσικής, παρακάλεσαν τον Θεό να τους δώσει έναν αντίστοιχο Μεσσία...και ΤΣΟΥΠ!!! Να τος ο Aplos!!!! Δεν χρειάζεται πτυχίο μαθηματικών, αλλά μπορεί να συναγωνιστεί τον τσόλκα στο γκρέμισμα της γνωσης!! Ποταμοί δακρύων χαράς στο χώρο των μαθηματικών!! Τέλος με το επαίσχυντο R, πλέον δίνουμε νέο ορισμό των άρτιων και περιττών ώστε όλα τα πραγματικά νούμερα να βγαίνουν με πληθάριθμο 3, θεωρούμε με θεόσταλτη έμπνευση ότι αυτός ο ορισμός είναι ισοδύναμος με τον παλιό (χαρακτηρισμός ακεραίων ως άρτιοι-περιττοι), βλέπουμε ότι διαφωνούν (2=3) οπότε πετάμε στην μπάντα το R!!
Και οι φυσικοί θα κάθoνταν με σταυρωμένα τα χέρια;; Nope!! Για αυτό και την ίδια μέρα εμφανίζονται tsolkas και aplos, να παρουσιάσει καθείς τα δικά του επιτεύγματα!! Και που αλλού θα γινόταν αυτό; Μα φυσικά στην τοπ φυσικομαθηματικόμηχανικοιστορικοσχολή του κόσμου (ΣΕΜΦάρα κατά το ΔΑΠάρα)!!
Κυρίες και κυριοι, η μάχη των τιτάνων μόλις ξεκίνησε!!!!!! Μόνο στο semfe.gr!!!!!!!
Παρακαλώ να δημιουργηθουν νέα topic για τους δύο κυρίους και να απαγορευθούν τα σχόλια τρίτων!! αφεντικά και δούλοι σκατά γενήκαμε ούλοι;;;;


edit1: Σύμφωνα με τον aplo, όσα μας διδάσκουν ρασσιάς, αργυρός και οι λοιποί είναι ψέμματα, οπότε παίρνω το θάρρος να προτείνω ανασκολοπισμό τους (παλούκωμα ντε) ΧΩΡΙΣ λιπαντικό! Και αφού η σχολή μας δεν θα έχει νόημα ούτε για μαθηματικούς ούτε για φυσικούς προτείνω ομαδικές μετεγγραφές μας στην φιλοσοφική (ή όπου αλλού έχει καλά μ****κια)

Αγαπητέ (βλέπεις πόσο ευγενικός είμαι) George13.
Οφείλω να ομολογήσω πως ο palasso τουλάχιστον, είχε κατεύθυνση απαντητική και ίσως και πραγματική βούληση να απαντήσει, ανεξάρτητα αν δεν το μπόρεσε και εναλλακτικά θεωρεί απάντηση την απόφασή του. Εσύ αγαπητέ ούτε λέξη επί τους θέματος. Επιθετικές αοριστοαερολογίες και απειλές με νεροπίστολο της νόησης. Δικαίωμά σου να έχεις όποια άποψη θέλεις, μόνο που δεν έχεις την δυνατότητα (και αυτό βέβαια, είτε το θέλεις, είτε δεν το θέλεις) να αντιπαρατεθείς επί της ουσίας, όπως και κανένας μαθηματικός βέβαια. Αυτό είναι πέρα από φανερό από όσα λες περί άρτιων και περιττών.
Ίσως δεν είδες (δεν το πρόσεξες!) ότι η κατάργηση του R γίνεται από μαθηματικούς στο Καποδιστριακό και όχι από τον Απλός ή τον Σύνθετος. Καλά που κοιτάξες για να απαντήσεις;
Οι αριθμοί με τους οποίους "μετράμε" ΣΗΜΕΡΑ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ, δηλαδή απαριθμούμε τους πληθάριθμους (πλήθος στοιχείων παντός συνόλου) είναι αποκλειστικά οι φυσικοί ακέραιοι θετικοί χωρίς το μηδέν, δηλαδή οι ευκλείδειοι. Αυτοί είναι οι μοναδικοί απαριθμητικοί. Επίσης ΑΥΤΟΙ ΕΙΝΑΙ ΚΑΙ ΑΡΤΙΟΙ ΚΑΙ ΠΕΡΙΤΤΟΙ και αν συνεκτιμήσεις ότι με αυτούς και μόνον με αυτούς εκτιμούνται οι πληθάριθμοι στη θεωρία συνόλων, συμπεραίνουμε αγαπητέ, ότι δεν πρόκειται καθόλου για παλιούς όπως τους λες.
Καλό είναι όμως πριν αρχίσεις να λες τα νεότερα δικά σου αοριστολογικά (και πριν αποβληθώ από το φόρουμ βέβαια μετά τις εξαιρετικές σου αποδείξεις αφού με χαρακτηρίζουν σαν συκοφάντη και γραφικό - εσύ τι είσαι δεν ξέρω), να ρίξεις μια ματιά περί την αξιοπιστία της θεωρίας συνόλων από τον Δρ Γαβαλά και τον Μακ Λέιν και άφησε τα περί μεσσία και δακρύων χαράς και τι σας διδάσκουν οι καθηγητές. Εδώ πρόκειται για απλό γέλιο. Πιο δημόσια θέση από αυτή του Δρ Γαβαλά δεν υπάρχει.
Διάβασε να δεις πως η θεωρία συνόλων δεν θεωρείται αξιόπιστη και για ποιους λόγους και προτείνεται η θεωρία των κατηγοριών σαν πιο αξιόπιστη, για να μη αποδίδεις σε άλλους τα πρωτεία της αμφισβήτησης της Ανάλυσης και επιχαίρεις μάταια, έχοντας την άποψη ότι βρήκες βολικό αποδέκτη της άγνοιάς σου.
http://users.kav.sch.gr/evaggelidis61/afieroma/AF99.pdf
Αν δεν στο εμφανίσει άμεσα αντέγραψε τη διεύθυνση και βάλτη πάνω στην αναζήτηση ιστοσελίδων του ιντερνετ εξπλόρερ ή του μοζίλλα και καλό γέλιο μέχρι δακρύων.
Απορώ με τη στάση σου και μόνον απορώ, χωρίς βέβαια να με απασχολείς καθόλου.
Αν μπορείς υπέδειξε έναν άρτιο σε όποιο υποδιάστημα του άξονα R να σε παραδεχτώ, αλλιώς απλά θέλεις να εντυπωσιάσεις γιατί είσαι με τους πολλούς που όμως θα γίνουν κάποτε λίγοι αν λάβουμε υπόψη τον Δρ Γαβαλά, τον Μακ Λέιν και τόσους άλλους μαθηματικούς που συμφωνούν μαζί τους!

Aplos έγραψε:Δρ Γαβαλά

Aplos έγραψε:Μακ Λέιν

Aplos έγραψε:και τόσους άλλους μαθηματικούς που συμφωνούν μαζί τους!

[youtube]http://www.youtube.com/watch?v=3VVqL9etvU0[/youtube]

καποιος ηθελε να γινει μαθηματικος οντας μικρος και δεν τα καταφερε...

@Aplos
Κατ' αρχήν έχεις μπερδέψει αξιώματα, ορισμούς, έννοιες και τις έχεις αντικαταστήσει με δικές σου πολλές...

Το σύνολο {1,2,3,4,5} με το σύνολο {0,1,2,3,4} και το σύνολο {4123,-6453,5/32,"πατάτες","τούβλα"} έχουν τον ίδιο πληθάριθμο 5. Όταν ένα σύνολο έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων, τότε ο πληθάριθμος του είναι ο αριθμός αυτών. Ο πληθάριθμος προκύπτει πάντα ανεξάρτητα από το ποιά είναι τα στοιχεία.

Ο πληθάριθμος είναι "αριθμός" μόνον όταν είναι πεπερασμένος. Η έννοια άρτιος και περιττός ορίζεται μόνο για τους αριθμούς.

Όταν έχουμε άπειρα σύνολα, τότε "μετράμε" την πληθικότητα τους συγκρίνοντας τα. Όταν υπάρχει μία "1-1" και "επί" απεικόνιση μεταξύ 2 συνόλων (δλδ κάθε στοιχείο του πρώτου συνόλου αντιστοιχίζεται με ένα ακριβώς στοιχείο του δεύτερου συνόλου) τότε λέμε πως αυτά τα 2 σύνολα είναι "ισοπληθικά", ή ότι έχουν την ίδια πληθικότητα (αυτό περίπου λες ως αξίωμα χωρίς να το εκφράζεις κιόλα απολύτως ορθά αλλά το προσπερνώ).

Για παράδειγμα το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ισοπληθικό με τους ρητούς, και των αρρήτων ισοπληθικό με τους πραγματικούς και τους μιγαδικούς αλλά οι φυσικοί δεν είναι ισοπληθικοί με τους πραγματικούς.

Ουσιαστικά αυτός ο ορισμός δουλεύει και για πεπερασμένους πληθαρίθμους. Για την αρκίβεια για πεπερασμένα σύνολα (ή αριθμήσιμα, δλδ ισοπληθικά με το σύνολο των φυσικών) μία "1-1" συνάρτηση είναι αρκετή γιατί είναι πάντα και "επί" (θεώρημα). Για παράδειγμα μπορείς να πεις ότι ορίζεις ότι το σύνολο {0,1,2,3,4} έχει πληθάριθμο 5 και βλέπεις ότι αντιστοιχείς άνετα το 0 με το 4123, το 1 με το -6453, το 2 με το 5/32, το 3 με το "πατάτες", το 4 με το "τούβλα" και άρα καταλήγεις στο συμπέρασμα ότι το σύνολο {4123,-6453,5/32,"πατάτες","τούβλα"} έχει τον ίδιο πληθάριθμο, δηλαδή το 5. Ομοίως και για το {1,2,3,4,5}.

Όταν παίρνεις ως σύνολο ένα διάστημα [x,y] των πραγματικών αριθμών (όπου x<y οποιδήποτε πραγματικοί αριθμοί (όχι μόνο φυσικοί)), αποδεικνύεται ότι είναι ισοπληθικό με το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Είναι δηλαδή υπεραριθμήσιμο, δηλαδή μη-πεπερασμένο. Άρα η πληθικότητα του (cardinality) δεν είναι αριθμός, οπότε δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ούτε ως άρτια ούτε ως περιττή καθώς αυτές οι έννοιες όπως προείπα ορίζονται για αριθμούς, όπως τις έχουμε μάθει στο σχολείο.

Όπως ίσως τώρα καταλαβαίνεις, η πληθικότητα ενός διαστήματος [x,y] είναι η ίδια με την πληθικότητα ενός [a,b] όπου είναι ίδια με την πληθικότητα όλων των πραγματικών αριθμών, όπου τα x,y,a,b τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί (προφανώς με x<y και a<b). Δηλαδή η πληθικότητα ενός διαστήματος [x,y] είναι τελείως ανεξάρτητη από τα x,y.

Εσύ στην απόδειξη σου προσπαθείς να δείξεις ότι η πληθικότητα κάποιων διαστημάτων (ουσιαστικά όλων) είναι αντιφατική σε σχέση με τον αριθμό y, την στιγμή που δεν συσχετίζονται. Ταυτόχρονα θέτεις έναν δικό σου ορισμό για το αν ένα διάστημα έχει περιττή ή άρτια πληθικότητα (όπως προείπα στα μαθηματικά ορίζονται αυτές οι έννοιες για αριθμούς και άρα όχι για μη-πεπερασμένες πληθικότητες).

Την έννοια σου περί περριτής ή άρτιας πληθικότητας διαστήματος (άρα μη-πεπερασμένου πληθαρίθμου) αν και δεν την ορίζεις σαφώς, ωστόσο την χρησιμοποιείς.

Με βάση τον τρόπο που χρησιμοποιείς την έννοια σου, συμπεραίνω πως ορίζεται ως:
Ένα διάστημα [x,y] στο οποίο μπορεί με συνολοπράξεις να συμπτυχθεί σε απλό σύνολο πεπερασμένου πλήθους στοιχείων της μορφής {x1,x2,x3,...} είναι άρτιο ή περιττό αναλόγως με το αν ο (πεπερασμένος) πληθάριθμος του {x1,x2,x3,...} είναι άρτιος ή περιττός αριθμός.

Έτσι λοιπόν παίρνεις ένα διάστημα [x,y] και με συνολοπράξεις οδηγείσαι σε σύνολο της μορφής {x1,x2,x3,...,x2n+1} το οποίο έχει πληθάριθμο 2n+1 και λες άρα το διάστημα έχει πληθάριθμο 2n+1. Ταυτόχρονα παίρνεις για y αριθμό της μορφής 2n και άρα λες 2n+1 διάφορο του 2n, οπότε άτοπο.

Κατ' αρχήν, οποιοδήποτε διάστημα και να επιλέξεις, οδηγείσαι όποτε θέλεις είτε σε σύνολο της μορφής {x1,x2,...,x2n+1} είτε σε σύνολο της μορφής {x1,x2,...,x2n} καθώς εκτός από M που λες, αν θέλεις, βρίσκεις και N και άρα αφαιρείς τα διαστήματα εκτός των στοιχείων x,M,N,y άρα παίρνεις το σύνολο {x,M,N,y}=4 άρτιος. Ταυτόχρονα αν θέλεις όμως βρίσκεις μόνο M άρα παίρνεις σύνολο {x,M,y}=3 περιττός. Άρα με βάση τον ορισμό σου κάθε διάστημα έχει και άρτια και περιττή πληθικότητα. (Οπότε είναι λίγο άχρηστη η διάκριση σου (και ο ορισμός σου) μεταξύ άρτιας και περιττής πληθικότητας)

Δεύτερον ακόμα κι αν αγνοήσουμε το ότι συγχέεις έναν δικό σου ορισμό πληθικότητας με αυτόν που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά και το ότι έχεις ορίσει με έναν τρόπο τα διαστήματα ώστε να είναι και άρτιας και περιττής πληθικότητας (πληθικότητας του ορισμού σου δηλαδή), και πάλι κάνεις ένα λογικό άλμα στο οποίο θεωρείς ως αναγκαιότητα ο πληθάριθμος σου και ο αριθμός y του διαστήματος [x,y] να είναι και οι δύο της ίδιας μορφής (περιττά και τα δύο ή άρτια και τα δύο) πράγμα που είναι άσχετο καθώς όπως εξήγησα στην αρχή, και ραδίκια να ήταν το y (και οποιαδήποτε άλλα στοιχεία του συνόλου) μας είναι αδιάφορο για το πλήθος των στοιχείων που έχει το σύνολο (ακόμα και για το πλήθος των στοιχείων του συνόλου {x1,x2,x3...} που ορίζει την δικιά σου πληθικότητα).

PAWNED


EDIT: Ξέχασα να αναφέρω ότι στην πραγματικότητα δεν χρησιμοποίησες ιδιότητες που υποθέτουν υποχρεωτικά το σύνολο των πραγματικών αριθμών και θα μπορούσε η λογική σου να μεταφερθεί και στο σύνολο των ρητών αριθμών. Δηλαδή αν είχες δίκιο, τότε θα ήταν αντιφατικός ο ορισμός όχι μόνο των πραγματικών αλλά και των ρητών και οποιοδήποτε σύνολο έχει ordinality (όχι cardinality) ίσο ή μεγαλύτερο των ρητών. Τώρα δεν θα αναλύσω τι είναι και το ordinality...

@Falgorn: Στο 1:57, τρομερή φάση!! so debating a creationist is pointless at best and suicidal at worst...

Aplos έγραψε: Οι Q πάλι τι σχέση έχουν;

Aplos έγραψε: μεταξύ δύο σημείων οσονδήποτε κοντινών μεταξύ τους στον R υπάρχουν άπειρα εσωτερικά σημεία και αντίσοιχοι πραγματικοί αριθμοί

Η ιδιότητα που αναφέρεις ισχύει και στους ρητούς. Και άρα η λογική σου μεταφέρεται και στο Q πέραν του R, άμα λάχει. Άρα θα ίσχυε θεωρητικά κι εκεί.

Σημείωση: Επίσης μεταξύ 2 ρητών αποδεικνύεται εύκολα ότι υπάρχουν αριθμήσιμοι το πλήθος ρητοί. Άρα αν πάρεις το διάστημα μεταξύ 2 ρητών και κρατήσεις τους ρητούς από αυτό, και κάνεις το ίδιο από ένα άλλο διάστημα μεταξύ 2 ρητών πάλι αυτά τα 2 σύνολα θα είναι ισοπληθικά καθώς θα είναι και τα 2 αριθμήσιμα.

Aplos έγραψε: Οι αριθμοί με τους οποίους "μετράμε" ΣΗΜΕΡΑ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ, δηλαδή απαριθμούμε τους πληθάριθμους (πλήθος στοιχείων παντός συνόλου) είναι αποκλειστικά οι φυσικοί ακέραιοι θετικοί χωρίς το μηδέν, δηλαδή οι ευκλείδειοι.

Το τι κάνουμε τους πληθάριθμους, εξαρτάται σε ποιά συνολοθεωρία είμαστε. Στα μαθηματικά υπάρχουν ένα σωρό συνολοθεωρίες. Η de facto standard που χρησιμοποιείται (Zermelo-Frankel Set Theory) έχει την έννοια της επόμενης πληθικότητας και άρα αριθμήσιμο πλήθος πληθάριθμων (εδώ παίρνουμε τους πληθάριθμους ως στοιχεία ενός συνόλου και βλέπουμε ότι το σύνολο έχει αριθμήσιμη πληθικότητα). Να σημειώσω ωστόσο ότι αυτό δεν είναι απαραίτητο και σε άλλες συνολοθεωρίες υπάρχουν περισσότεροι. Πάντως η απάντηση που έδωσα προηγουμένως ήταν στο πλαίσιο της ZFC καθώς όπως είπα είναι το de facto standard στα μαθηματικά.

Επίσης να πω ότι όταν λέμε "μετράμε" κάτι, εννοούμε κατ' ουσίαν ότι το "υπολογίζουμε" και εδώ μπαίνουμε σε έννοιες υπολογισιμότητας, όπου ορίζουμε μία μηχανή και βλέπουμε τι μπορεί να υπολογίσει. Μία Universal Machine λοιπόν (που δεν θα κάτσω εδώ να αναλύσω τι είναι) υπολογίζει αριθμήσιμες το πλήθος ποσότητες (το πολύ). Αριθμήσιμη πληθικότητα έχουν και οι φυσικοί χωρίς το 0 και με το 0 και οι ακέραιοι.

Aplos έγραψε: Διάβασε να δεις πως η θεωρία συνόλων δεν θεωρείται αξιόπιστη και για ποιους λόγους και προτείνεται η θεωρία των κατηγοριών σαν πιο αξιόπιστη

Το συγκεκριμένο άρθρο μιλάει για τις θεωρίες συνόλων και την θεωρία των κατηγοριών (category theory). Ωστόσο να αποσαφηνίσω κάποιες παρεξηγήσεις τις οποίες μπορεί να είχες διαβάζοντας τα (καθώς δεν είσαι γνώστης των θεμάτων).

Κατ' αρχήν δεν αμφισβητεί τις θεωρίες συνόλων ως λανθασμένες θεωρίες. Αυτό που λέει είναι ότι κάποιες αρχικώς ανθρωπίνως διαισθητικές έννοιες μπορούν να οριστούν με διαφορετικούς τρόπους και άρα να δημιουργηθούν πολλές θεωρίες με διαφορές στον τρόπο που ορίζουν τις ίδιες "ονομαστικά-διαισθητικά" έννοιες.
Πράγματι αυτό ισχύει και γι' αυτό είπα και πριν ότι υπάρχουν πολλές θεωρίες συνόλων και ότι αλλάζει το χαρακτηριστικό που ανέφερες με τους πληθαρίθμους και την πληθικότητα τους αναλόγως με το σε ποιά θεωρία αναφέρεσαι... (καθώς σε διαφορετική θεωρία, ορίζεται διαφορετικά η έννοια του πληθάριθμου)

Κατά δεύτερον να πω ότι ιστορικά οι θεωρίες συνόλων δημιουργούνταν πολλάκις για την λεγόμενη "ενοποίηση των μαθηματικών θεωριών". Ήταν προσπάθειες για να περιγράφονται τα μαθηματικά έχοντας ως αφετηρία μία συγκεκριμένη θεωρητική βάση.

Η category theory έχει και η ίδια τέτοιο σκοπό. Βλέπει όμως κάποια πράγματα διαφορετικά. Συγκεκριμένα τις συναρτήσεις και τα σύνολα τα βλέπει γενικότερα ως απεικονίσεις και αντικείμενα, στα οποία ορίζει κάποιες βασικές πράξεις με ιδιότητες και από εκεί φτιάχνει τις λεγόμενες κατηγορίες. Και από εκεί συνεχίζει να χτίζει. Δηλαδή ακολουθεί έναν διαφορετικό τρόπο για να περιγράφει τον κόσμο, που συνδυάζει μαθηματική λογική με άλγεβρα. Αυτός ο τρόπος μπορεί σαν θεωρία να την κάνει πιο "efficient" για την μελέτη κάποιων προβλημάτων. Αυτό όμως δεν έχει καμία σχέση με το αν είναι λάθος οι άλλες θεωρίες που έχουν δημιουργηθεί όπως οι θεωρίες συνόλων.

Είναι δηλαδή τελείως άλλη συζήτηση το να συζητάμε αν είναι αποδοτικές και εύκολες στην χρήση οι θεωρίες συνόλων ή η θεωρία κατηγοριών από το να συζητάμε αν είναι λάθος οι θεωρίες συνόλων... Το άρθρο στο οποίο αναφέρεσαι, μένει στο πρώτο. Δηλαδή στο ότι υπάρχουν πολλές συνολοθεωρίες και είναι δύσκολες για κάποια πράγματα (χοντρικά μιλώντας).

Palasso να κάνω μία παρατήρηση:
Δεν είναι καλύτερο αυτό το ύφος από το ειρωνικό και ανεξάρτητα αν διαφωνούμε ή συμφωνούμε; Το R δεν το επινόησαν κατασκευαστικά θεοί αλλά άνθρωποι. Ελπίζω να συμφωνούμε σε αυτό, για να μην αποκλείουμε εκ προοιμίου το λάθος, ούτε από μέρους μου, ούτε από μέρους σου.

Λες: Κατ' αρχήν έχεις μπερδέψει αξιώματα, ορισμούς, έννοιες και τις έχεις αντικαταστήσει με δικές σου πολλές...

Δεν μου δίνεις ένα παράδειγμα, γιατί είναι πολύ αόριστα αυτά που λες. Ούτε μία λέξη δική μου δεν έχω χρησιμοποιήσει. Μήπως εννοείς….

Λες: Το σύνολο {1,2,3,4,5} με το σύνολο {0,1,2,3,4} και το σύνολο {4123,-6453,5/32,"πατάτες","τούβλα"} έχουν τον ίδιο πληθάριθμο 5.

Όμως αυτό γιατί το λες; Είπα εγώ κάτι το διαφορετικό ώστε να έχει κάποιο νόημα αυτό που λες για καθαρά λόγους εντυπωσιασμού; Ή μήπως δεν λέω με σαφήνεια ότι κάθε υποδιάστημα [Α, Β] του R, είναι ισοπληθικό με κάθε (και όλα) τα άλλα υποδιαστήματα [Γ, Δ] του R, αλλά και με τον ίδιο τον R; Τι νόημα έχουν όλες αυτές οι αναφορές σου;

Λες: Όταν ένα σύνολο έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων, τότε ο πληθάριθμος του είναι ο αριθμός αυτών. Όταν έχουμε άπειρα σύνολα, τότε «μετράμε» την πληθικότητα τους συγκρίνοντας τα.

Που είδες να διαφωνώ; Μα, αυτό ακριβώς το πρόβλημα αντιμετωπίζει η πράξη της συνολοθεωρητικής διαφοράς! Αυτό ήταν και το δικό μου βασικό πρόβλημα που έπρεπε να αντιμετωπίσω. Δεν «αφαιρεί» αριθμούς η πράξη της συνολοθεωρητικής διαφοράς με την πρόβλεψή της. Στην Ανάλυση δεν αφαιρούνται μόνο αριθμοί. Εν προκειμένω «αφαιρεί» ισοπληθικά, εκ της απειρίας τους, που είναι η σύγκριση που αναφέρεις. Επειδή τα ανοικτά ΑΜ και ΜΒ είναι άπειρα ισοπληθικά, δεν τα λαμβάνει υπόψη σαν αριθμούς, αλλά τα αντιστοιχίζει αφαιρετικά σαν ισοδύναμα. Είναι μια, κατά κάποιον τρόπο, συλλογιστική εφαρμογή του ευκλείδειου αξιώματος «και αν από τα ίσα αφαιρέσουμε ίσα τα υπόλοιπα είναι ίσα» αφού ούτε ο Ευκλείδης λέει, «αν από ίσους αριθμούς αφαιρέσουμε ίσους», αλλά το αξίωμά του είναι γενικευμένο και καλύπτει και τα ισοδύναμα ισοπληθικά επομένως, αν συνεκτιμήσουμε πως στην Ανάλυση υποκρύπτονται τα ευκλείδεια αξιώματα. Πρόβλεψη της πράξης συνολοθεωρητικής διαφοράς είναι αυτή η δυνατότητα και όχι δικό μου επινόημα. Αυτό ήταν (επαναλαμβάνω) το δικό μου το πρόβλημα και προς τούτο απευθύνθηκα στο φόρουμ του καποδιστριακού, να διαπιστώσω αν μπορώ να «αφαιρέσω» ισοπληθικά από σύγκριση της απειρίας τους και να απομείνει ένα σύνολο 3 στοιχείων. Αυτό «πήρα» δώρο από τους μαθηματικούς και μου αρκεί αγαπητέ φίλε. Φτάνει για να καταστρέψει τον R (και για να αστειευτώ) περισσεύει και για κουρτίνες στο σαλόνι!
Απλά αγαπητέ Palasso δεν έχεις συλλάβει την συλλογιστική διαδρομή.
Σε δοσμένο υποδιάστημα του R [Α, Β] με εξάπαντος υπαρκτά τα άπειρα εσωτερικά σημεία, ώστε να μπορούμε να θεωρήσουμε πάντα εσωτερικό σημείο Μ ώστε Α<Μ<Β, ισχύει, τα ανοικτά διαστήματα των ΑΜ και ΜΒ, δηλαδή τα σημεία του ΑΜ χωρίς το Α και το Μ και τα σημεία του ΜΒ, χωρίς το Μ και το Β, είναι άπειρα.
…………………..Α…………………………….Μ……………………..Β………………..
Αν αυτά ήταν πεπερασμένα δεν θα υπήρχε πρόβλημα να απαριθμηθούν και στο κλειστό υποδιάστημα [Α, Β] του R, να διαπιστωθεί το πλήθος των σημείων σαν στοιχείων του [Α, Β], είτε άρτιο, είτε περιττό, αλλά δεν θα υπήρχε και λόγος να γίνεται κουβέντα περί άρτιων και περιττών.
Επειδή λοιπόν τα εσωτερικά σημεία ΑΜ και ΜΒ είναι άπειρα, μπαίνει το εξής πρόβλημα:
Μπορούμε να διαπιστώσουμε τον πληθάριθμο του [Α, Β] του R, με τυχαίο εσωτερικό σημείο Μ, όχι ως προς την απόλυτη τιμή (αριθμητική τιμή) του υποδιαστήματος, αφού αυτό είναι αδύνατο επειδή τα ανοικτά διαστήματα ΑΜ και ΜΒ είναι άπειρα, αλλά μόνο ως προς το άρτιο και περιττό του όποιου πληθάριθμου του [Α, Β], «αφαιρώντας» νοερά γιατί πρακτικά δεν το μπορούμε - αφού τα σημεία δεν μετακινούνται από τον R - τα ισοπληθικά εσωτερικά σημεία ΑΜ και εσωτερικά σημεία ΜΒ; Μπορούμε δηλαδή να παρακάμψουμε τα ισοπληθικά και να αποφανθούμε μόνο ως προς τα πεπερασμένα στοιχεία Α, Μ και Β;
Επί αυτού του ερωτήματος (μπες στο Καποδιστριακό να το διαπιστώσεις) οι μαθηματικοί απαντούν.
Εν προκειμένω ισχύει η πράξη της συνολοθεωρητικής διαφοράς ήτοι:
α. [e, π] \ ((e, 3) ∪(3, π)) = {e, 3, π}
β. [e, π]\(e, π)={e, π}

Η εφαρμογή αυτής της (α) πράξης (διατυπώνουν οι ίδιοι οι μαθηματικοί) στο διάστημα [Α, Β] με κάθε εσωτερικό M από τα άπειρα δυνατά Μ1, Μ2, Μ3, Μχ… του R, ώστε να ισχύει Α<Μ<Β, αποδίδει πάντα ένα σύνολο 3 στοιχείων {Α, Β, Γ} και μόνο αυτών. Αυτό σημαίνει πως επειδή ισχύει στο [Α, Β] που είναι τυχαίο, ισχύει σε κάθε υποδιάστημα του R. Με την πράξη της συνολοθεωρητικής διαφοράς παρακάμπτουμε το άπειρο των σημείων – στοιχείων των ανοικτών ΑΜ και ΜΒ και έχουμε υπόλοιπο ΠΑΝΤΑ περιττό αριθμό 3, αφού τα στοιχεία –σημεία Α, Μ, Β αριθμούμενα σαν 1 το καθένα με τους απαριθμητικούς του Ευκλείδη και είναι πάντα 3 ή 2ν+1 με δύο ισοπληθικά (που δεν είναι αριθμοί όπως λες) αλλά είναι ισοπληθικά και προς τούτο είναι δυνατή η εφαρμογή της πράξης συνολοθεωρητικής διαφοράς. Εν προκειμένω και ως προς τα εσωτερικά τους σημεία (ΑΜ~ ΜΒ). Εν προκειμένω δηλαδή, δεν είναι αναγκαίο για την εφαρμογή της (α) πράξης συνολοθεωρητικής διαφοράς να αφαιρέσουμε από το [Α, Β] με εσωτερικό το Μ ίσους αριθμούς στοιχείων σημείων, αλλά ΜΟΝΟΝ ίσα πλήθη στοιχείων από σύγκριση. Έτσι τα υπόλοιπα είναι πάντα 3 στοιχεία σε ότι αφορά οποιοδήποτε διάστημα [Α, Β] του R.
Αυτή η δυνατότητα, σαν δυνατότητα της πράξης της συνολοθεωρητικής διαφοράς, (να «αφαιρούμε» ισοπληθικά άπειρα) δεν είναι δική μου επινόηση βέβαια. Έτσι σε κάθε εφαρμογή της πράξης της συνολοθεωρητικής διαφοράς έχουμε πάντα ένα σύνολο {Α, Μ, Β} με περιττό πλήθος, πάντα 3 στοιχείων (που αριθμούνται με τους απαριθμητικούς), αφού το κάθε σημείο – στοιχείο είναι για την απαρίθμηση ακέραιο 1 των απαριθμητικών.
Τώρα η (β) πράξη δεν έχει κανένα νόημα που καταλήγει σε άρτιο 2 στοιχείων. Δες γιατί:

……………Α……………….Μχ…..Μ3….Μ2………..Μ1………….Μ…………Β……………..
Ότι ισχύει για το [Α, Β] με εσωτερικό το Μ, ισχύει και για το [Α, Μ], με εσωτερικό το Μ1, και για το [Α, Μ1] με εσωτερικό το Μ2 και για το [Α,Μ2] με εσωτερικό το Μ3 και για το [Α, Μ3] με εσωτερικό το Μχ……..
Αν δεν προβλέπονταν άπειρα σημεία μεταξύ δύο οσονδήποτε «κοντινών» σημείων επί του R, αυτή η ανατρεπτική συλλογιστική δεν θα μπορούσε να δομηθεί. Σε τελευταία ανάλυση περί την Ανάλυση, το παράδοξο για τον νου (όχι το απαράδεκτο για τα μαθηματικά για να εξηγούμαι), να είναι ισοπληθικά εκ της απειρίας όλα τα διαστήματα του R και μεταξύ τους και με τον ίδιο τον R, έχει απότοκο την αυτοκαταστροφή του και όχι την δική μου εξυπνάδα. Είναι απλά μια χαζομάρα ο R και τίποτα πιο φυσιολογικό από το να κάνουν λάθη οι άνθρωποι.
Έτσι αγαπητέ, μπορεί να μη μπορούμε να βρούμε το αριθμητικό πλήθος των στοιχείων – σημείων του [Α, Β] που δεν μας ενδιαφέρει καθόλου (εδώ είναι που μπερδεύεσαι ως προς το ζητούμενο), αλλά με την πράξη της συνολοθεωρητικής διαφοράς ευρίσκουμε ΠΑΝΤΑ ότι το κάθε άκρο Β (ή Μ, Μ1, Μ2, Μ3, …. Μχ…)
……………Α……………….Μχ…..Μ3….Μ2………..Μ1………….Μ…………Β……………..
οφείλει να είναι περιττός 3, αφού αρχίζουμε από περιττό 1 σαν πρώτο το Α σημείο - στοιχείο του [Α, Β].
Επομένως επειδή το Α = 1ο και το Β= 3ο (περιττοί) υπό το πρίσμα ότι πάντα μπορούμε να έχουμε όσα εσωτερικά Μ θέλουμε σαν 2ο , συνεπάγεται ότι και το 2ο = Μ οφείλει να είναι περιττός, αφού μεταξύ Α και Μ υπάρχει πάντα το Μ1 κ.ο.κ.
Αυτό αφαιρεί, εξετάζοντας τον R σαν ευθεία, κάθε δυνατότητα υπόδειξης άρτιου αριθμού σαν άκρο B του όποιου [Α, Β] και επομένως όλων των υποδιαστημάτων του R αφού το [Α, Β] είναι τυχαίο, που συνεπάγεται πως η ανυπαρξία άρτιων συνεπιφέρει ανυπαρξία (με την έννοια της αιτιολόγησης βέβαια και όχι την υπαρξιακή της φιλοσοφίας) και περιττών αφού άρτιος και περιττός δεν έχουν πια νόημα. Δες. Το Μ σαν εσωτερικό του ΑΒ είναι άρτιος, αλλά σαν εξωτερικό του ΑΜ είναι περιττός. Τίποτα δεν μπορεί να λειτουργήσει με αριθμούς επί τον R.
Τέλος, επειδή ισχύει το αξίωμα αντιστοίχισης ένα προς ένα και επί, μεταξύ των σημείων μιας ευθείας και των πραγματικών αριθμών, συνεπάγεται πως ότι ισχύει με τα σημεία οφείλει να ισχύει και με τους πραγματικούς αριθμούς.
Μπες στο Καποδιστριακό να δεις τους μαθηματικούς «Στάθης» και «Tom_K» να εφαρμόζουν την πράξη συνολοθεωρητικής διαφοράς όπως ακριβώς στην περιγράφω, δηλαδή να παρακάμπτουν το άπειρο πλήθος των ανοικτών (ΑΜ) και (ΜΒ) ή των ανοικτών (0, 1) και (1, 2) και να καταλήγουν στα σύνολα με 3 στοιχεία {Α, Μ, Β} και {0, 1, 2}.
Αυτό δεν αλλάζει. Το [Α, Β] είναι τυχαίο και καλύπτει όλα τα υποδιαστήματα του R.
Θεωρώ ότι έγραψα πολλά από συνήθεια.
Αν διαφωνούμε ή όχι δεν έχει σημασία. Έχει όμως σημασία να κάνουμε προσπάθεια από κοινού αν διαπιστωθεί κοινή επιθυμία και όχι υποχρεωτικά, να διαπιστώσουμε ποιος σφάλλει.
Επί του πρακτέου:
Υπόδειξέ μου το όποιο υποδιάστημα επιθυμείς στον R, είτε με σημεία, είτε με αριθμούς.
Να είσαι βέβαιος ότι επικαλούμενος τις αποδείξεις των μαθηματικών του καποδιστριακού σε εφαρμογή της συνολοθεωρητικής πράξης - αντιγράφοντας ακριβώς από τους μαθηματικούς την απόδειξη - θα τους αποδείξω, παρακάμπτοντας τα ισοπληθικά άπειρα όπως οι μαθηματικοί, περιττού πλήθους και ας έχουν συμβολισμό με άρτιους όπως λ.χ. το διάστημα [2, 4]. Το 2 σαν 1 στοιχείο αλλά και σύμβολο 2, δεν παίζει κανέναν ρόλο στην απαρίθμηση και ως προς τον πληθάριθμο του [2, 4] θα απαριθμηθεί 1ο. Μετά την απαρίθμηση των στοιχείων κατά τάξη ώστε να διαπιστώσουμε το πλήθος 3 στοιχείων του συνόλου, κανείς δεν μας εμποδίζει με διαπιστωμένο το πλήθος να εναλλάξουμε την αρίθμηση των 3 στοιχείων από με τάξη σε άτακτη. Αν με εννοείς.
Άλλως αν δεν μου υποδείξεις κάποιον άρτιο αριθμό στον R, δεν έχει νόημα η συζήτηση, διότι θα εκφυλιστεί στο να προτείνεις να σου αποδείξω ότι δεν είμαι ελέφαντας αγαπητέ Palassio.
Πάντως χάρηκα που άλλαξες ύφος. Δεν είμαι δα εγκληματίας και ας είμαι αντιδραστικά οξύς, ενώ δεν διεκδικώ βέβαια μεγαλύτερη εξυπνάδα από κανέναν σας...
Μη πήρε η ώρα. Καληνύχτα...

Αν θέλεις ξαναδιάβασε το post μου, προσεκτικά αυτήν την φορά. Λέω ξεκάθαρα σε κάποια σημεία που έχεις μπερδέψει τα πράγματα. Το σύνολο με τις πατάτες και τα τούβλα το χρησιμοποίησα για να σου δείξω ότι εσύ προσπαθείς να συνδέσεις y με την πληθικότητα του [x,y] ενώ το y μπορεί καν να μην είναι αριθμός (όπως επίσης και η πληθικότητα του [x,y]) Κι αυτό το αναλύω, αν μπορέσεις να παρακολουθήσεις όλο το post. Λέω πως είναι ισοπληθικά κάθε [x,y] με τον R για να καταλήξω ότι (εξ' ορισμού) είναι υπεραριθμήσιμα και άρα έχουν άπειρη πληθικότητα. Και τόνισα πολλές φορές οι έννοιες άρτιος ή περιττός ορίζονται σε πεπερασμένουν αριθμούς, όχι σε πληθαρίθμους άπειρους. Το [x,y] έχει άπειρο πληθάριθμο άρα η πληθυκότητα του δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Ας πάω όμως σε ένα παράδειγμα που μπορεί να το καταλάβεις καλύτερα:
Έστω το διάστημα [0,6] και του αφαιρούμε τα (0,2) (2,4) (4,6). Μένει το σύνολο {0,2,4,6}=4 (άρτιος). Τώρα ας πάρουμε πάλι το διάστημα [0,6] και ας του αφαιρέσουμε τα (0,3) (3,6). Μένει το σύνολο {0,3,6}=3 (περιττός). Τώρα τι έδειξα? Αυτό που είπα και στο post μου. Παίρνοντας ένα διάστημα [x,y] μπορούμε να καταλήξουμε με συνολοπράξεις είτε σε σύνολο περιττού πληθάριθμού είτε σε σύνολο άρτιου πληθάριθμου. Άρα σου εξηγώ και πάλι με βάση τον ορισμό σου όλα τα σύνολα έχουν και άρτιο και περιττό πληθάριθμο...

Ας πάμε σε ένα άλλο παράδειγμα.
Έστω το διάστημα [Αθήνα, Θεσσαλονίκη] (μία νοητή γραμμή που ενώνει τις 2 πόλεις). Ενδιαμέσως υπάρχει ο Βόλος. Άρα έστω ότι αφαιρούμε τα διαστήματα μεταξύ Αθήνας, Βόλου και Βόλου Θεσσαλονίκης (δηλαδή τα (Αθήνα,Βόλος) (Βόλος,Θεσσαλονίκη)). Μας μένουν στο τέλος οι 3 πόλεις {Αθήνα, Βόλος, Θεσσαλονίκη}=3 (περιττός). Η λέξη Θεσσαλονίκη δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή διότι δεν είναι αριθμός αλλά όνομα πόλης.
Τώρα όμως ας ξαναπάρουμε το διάστημα [Αθήνα, Θεσσαλονίκη] και ας παρατηρήσουμε ότι ενδιαμέσως υπάρχει η Λαμία και ο Βόλος. Και ας αφαιρέσουμε τα ενδιάμεσα διαστήματα (δηλαδή τα (Αθήνα, Λαμία) (Λαμία, Βόλος) (Βόλος, Θεσσαλονίκη)). Μας μένουν λοιπόν οι 4 πόλεις {Αθήνα, Λαμία, Βόλος, Θεσσαλονίκη}=4 (άρτιος). Η λέξη Θεσσαλονίκη δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή διότι δεν είναι αριθμός αλλά όνομα πόλης.

Με όλα αυτά τα παραδείγματα και με όσα προείπα, εφόσον τα μελετήσεις προσεκτικά, τα γράψεις κάτω στο χαρτί κιόλας προσπαθώντας να τα καταλάβεις, ενδεχομένως να καταλάβεις που σφάλεις. Επειδή έχω και μία ζωή, δεν θα ασχοληθώ άλλο με το να αναλύω τι έγραψα, αμισθωτί! Βεβαίως με μία καλή χρηματική προσφορά, θα βρω τον χρόνο να συνεχίσουμε την συζήτηση...

Palassio
Αν θέλεις ξαναδιάβασε το post μου, προσεκτικά αυτήν την φορά. Λέω ξεκάθαρα σε κάποια σημεία που έχεις μπερδέψει τα πράγματα. Το σύνολο με τις πατάτες και τα τούβλα το χρησιμοποίησα για να σου δείξω ότι εσύ προσπαθείς να συνδέσεις y με την πληθικότητα του [x,y] ενώ το y μπορεί καν να μην είναι αριθμός (όπως επίσης και η πληθικότητα του [x,y]) Κι αυτό το αναλύω, αν μπορέσεις να παρακολουθήσεις όλο το post.

Τι να διαβάσω προσεκτικά; Στον R στον οποίο αναφερόμαστε το y είναι λιγο δύσκολο να είναι πατάτες δεν νομίζεις; Να μου έλεγες ότι όλος ο R και η Ανάλυση είναι πατάτες και τούβλα να συμφωνήσω. Ωστόσο αγαπητέ, αυτά που ΕΣΥ λες χρησιμοποιώ. Εγώ λοιπόν τα μπερδεύω ή εσύ δεν ξέρεις τι λες; Και πατάτες και πεπόνια και αριθμητικό σύμβολο 2 κ.ο.α να είναι το y, δεν παίζει κανέναν ρόλο για τον πληθάριθμο του συνόλου. Το είδος του στοιχείου δεν παίζει ρόλο για τον πληθάριθμο του συνόλου στο οποίο το στοιχείο ανήκει. Κάθε στοιχείο είναι 1 απαριθμητικά και το πλήθος των στοιχείων του συνόλου (πληθάριθμος) είναι το άθροισμα αυτών των μονάδων είτε η απαρίθμηση γίνει με τάξη (1ο, 2ο, 3ο … Χο) είτε χωρίς τάξη. Τώρα επειδή αριθμός στον Ευκλείδη (τον οποίο χρησιμοποιούμε στην απαρίθμηση και μόνο αυτόν) είναι συγκείμενο πλήθος μονάδων, αυτός ο πληθάριθμος είναι πάντα ένας ακέραιος θετικός που ΕΧΕΙ και ΑΡΤΙΟΥΣ και ΠΕΡΙΤΤΟΥΣ, αφού δεν υπάρχουν άλλοι απαριθμητικοί πλην των ακέραιων θετικών χωρίς το μηδέν. Αυτοί λοιπόν οι απαριθμητικοί που άλλους δεν έχουμε, είναι το θέμα μας και όχι η φύση των στοιχείων. Ούτε αυτό το απλό δεν καταλαβαίνεις; Επομένως το σύνολό σου {4123,-6453,5/32,"πατάτες","τούβλα"} έχει πληθάριθμο 5, ΜΟΝΟΣ ΣΟΥ ΤΟ ΛΕΣ και δεν σε ανάγκασα να το πεις. Πως λες ότι δεν είναι αριθμός το «τούβλα» αφού για την απαρίθμηση των στοιχείων αυτά τα τούβλα αντιστοιχίζονται με 1 μονάδα σαν στοιχείο κι εσύ ο ίδιος σαν μονάδα τα υπολογίζεις και εξάγεις πληθάριθμο 5; Στον πληθάριθμο δεν μας απασχολεί τι είναι το κάθε 1 στοιχείο, αλλά το 1 του στοιχείου απαριθμητικά. Εγώ λοιπόν τα έχω μπερδέψει ή εσύ που λες ότι το y μπορεί να μην είναι αριθμός; Μπορεί να μην είναι αριθμός κατά τη φύση του στοιχείου, αλλά για τον πληθάριθμο το y είναι μία μονάδα (1) η οποία προστίθεται στις άλλες μονάδες (ανεξάρτητα από τη φύση τους) που είναι τα άλλα στοιχεία του συνόλου και αυτό το άθροισμα είναι το συγκείμενον πλήθος μονάδων ή ο (ευκλείδειος) αριθμός που εκφράζει τον πληθάριθμο κάθε συνόλου. Θέλεις να κάνεις και μάθημα! Σε τίποτα χαζούς μπορεί, αλλά και αυτούς αφού δεν καταλαβαίνεις τόσο απλά πράγματα, λάθη σαν ορθά θα τους διδάξεις.
Έτσι ορθά διέγνωσες ότι συνδέω το y με την πληθικότητα (αφού το κάθε y είναι μονάδα για την απαρίθμηση των στοιχείων του συνόλου) όπως την συνδέεις κι εσύ εξάγοντας πληθάριθμο 5 στο σύνολό σου; Εσύ μπορείς να την συνδέεις κι εγώ δεν μπορώ;

Palassio
Λέω πως είναι ισοπληθικά κάθε [x,y] με τον R για να καταλήξω ότι (εξ' ορισμού) είναι υπεραριθμήσιμα και άρα έχουν άπειρη πληθικότητα. Και τόνισα πολλές φορές οι έννοιες άρτιος ή περιττός ορίζονται σε πεπερασμένουν αριθμούς, όχι σε πληθαρίθμους άπειρους. Το [x,y] έχει άπειρο πληθάριθμο άρα η πληθυκότητα του δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Θα στο πω τελευταία φορά. Συγκεντρώσου λιγάκι Palassio. Δεν μας απασχολεί η άπειρη πληθικότητα των ανοικτών [χ, ψ] με την πράξη της συνολοθεωρητικής διαφοράς.
α. [e, π] \ ((e, 3) ∪(3, π)) = {e, 3, π}
β. [e, π]\(e, π)={e, π}
Ούτε στην (α), ούτε στην (β) περίπτωση. Οι συνάδελφοί σου στο καποδιστριακό το λένε (αν είσαι και μαθηματικός που αρχίζω να αμφιβάλλω για να είμαι ειλικρινής) αφού στην (α) συνολοθεωρητική πράξη έχουμε πάντα πληθάριθμο 3 ενώ στην (β) 2.
Αυτά τα αποτελέσματα της πράξης της συνολοθεωρητικής διαφοράς καταστρέφουν τον R.
Στον λεγάμενο, δεν μπορεί να ισχύει ούτε η (α), ούτε η (β) περίπτωση.
Στην (α) για να απαριθμήσεις τα 3 στοιχεία [Α, Β] με εσωτερικό το Μ ώστε να ισχύει Α<Μ<Β, περνάς από το 1ο στο 2ο για να φτάσεις στο 3ο. Όμως πάντα μεταξύ 1ου και 2ου ενυπάρχει εξάπαντος στοιχείο Μ1 που καθιστά το 2ο, 3ο. Έτσι το Μ δεν μπορεί να είναι 2ο στο [Α, Β] με εσωτερικό το Μ και Α<Μ<Β, αφού είναι συγχρόνως και 3ο επί της ίδιας ευθείας (του άξονα δηλαδή) σαν πληθάριθμος ΚΑΙ ΕΝΝΟΩ ΟΤΙ Ο ΣΥΝΟΛΙΚΟΣ ΠΛΗΘΑΡΙΘΜΟΣ που αν απαριθμήσουμε κατά τάξη ή χωρίς τάξη τα στοιχεία του είναι άρτιος ΑΠΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ. Αυτό ισχύει ΠΑΝΤΑ – δηλαδή το κάθε εσωτερικό να είναι συγχρόνως και άρτιος και περιττός ΑΠΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ - και αυτό είναι απότοκο της δυνατότητας που μας δίνει η πράξη της συνολοθεωρητικής διαφοράς να μη λαμβάνουμε υπόψη τα άπειρα πλήθη. Δεν αναφέρομαι σε άρτιους και περιττούς άπειρους πληθάριθμους λοιπόν, αλλά σε πεπερασμένους δυνατούς να απαριθμηθούν όπως είναι τα Α=1ο, Μ= 2ο και Β=3ο. Αυτή η σχέση είναι σταθερή και δεν αλλάζει ΠΟΤΕ σε κανένα υποδιάστημα (χ, ψ] του R, που δεν αφορά πατάτες, τούβλα και πεπόνια, αλλά αφορά αξιωματικά, μόνο σημεία και αντίστοιχους αριθμούς.
Ούτε πλήθος 2 στοιχείων (πληθάριθμο 2)
β. [e, π]\(e, π)={e, π}
μπορείς να υποδείξεις στον R σύμφωνα με την πάνω πράξη συνολοθεωρητικής διαφοράς, ούτε πλήθος 3 στοιχείων (πληθάριθμο 3)
α. [e, π] \ ((e, 3) ∪(3, π)) = {e, 3, π}

με την πάνω πράξη της συνολοθεωρητικής διαφοράς, επί του άξονα.
Οι ακέραιοι θετικοί χωρίς το μηδέν ή μοναδικοί απαριθμητικοί του Ευκλείδη αριθμοί, δεν εφαρμόζονται επί του άξονα. Αφού δεν εφαρμόζοναι λοιπόν οι φυσικοί χωρίς το μηδέν, δεν μπορούμε να έχουμε και μέρη τους (δέκατα, χιλιοστά, ρητούς, άρρητους) αφού δεν υπάρχουν οι φυσικοί.

Palassio
Ας πάω όμως σε ένα παράδειγμα που μπορεί να το καταλάβεις καλύτερα:
Έστω το διάστημα [0,6] και του αφαιρούμε τα (0,2) (2,4) (4,6). Μένει το σύνολο {0,2,4,6}=4 (άρτιος). Τώρα ας πάρουμε πάλι το διάστημα [0,6] και ας του αφαιρέσουμε τα (0,3) (3,6). Μένει το σύνολο {0,3,6}=3 (περιττός). Τώρα τι έδειξα? Αυτό που είπα και στο post μου.

Εσύ ξέρεις τι έδειξες. Τι ρωτάς εμένα; Αυτά που λες όμως, δεν τα καταλαβαίνεις εσύ και όχι εγώ.
Επειδή όμως με ρωτάς εγώ θα σου πω «καλέ τι μας λες»!
Έστω το [0, 6] με εσωτερικό το 4.
Έχουμε λοιπόν σύμφωνα με
α. [e, π] \ ((e, 3) ∪(3, π)) = {e, 3, π}

1ο το 0, 2ο το 4 και 3ο το 6. Άρα πληθάριθμος 3 ή περιττός.
Αν 0=Α και 6=Β τότε το Μ=4, ισχύοντος Α<Μ<Β έχουμε πληθάριθμο περιττό 3 και αφού υπάρχει το αξίωμα αντιστοίχισης ένα προς ένα και επί οι αριθμοί – στοιχεία σαν πλήθος δεν μπορεί να είναι άρτιου πλήθους και τα σημεία – στοιχεία να είναι περιττού. Αχταρμάς ο R.
Για να μην πλατειάζω άσκοπα, το ίδιο ισχύει και με το παράδειγμά σου Αθήνα (Α) Θεσσαλονίκη (Θ), Βόλος (Β).
Το διάστημα είναι [Α, Θ] με εσωτερικό το Β και ισχύει Α<Β<Θ. Περιττός πληθάριθμος 3 απαριθμητικά των δυνατών να απαριθμηθούν (και όχι αυτών που είναι άπειρα και δεν μπορούν) στοιχείων του [Α, Θ] με εσωτερικό το Β, αφού σύμφωνα με την πράξη συνολοθεωρητικής διαφοράς τα ανοικτά διαστήματα (αυτό είναι και ΟΛΟ το θέμα δηλαδή) (ΑΒ) και (ΒΘ) που είναι άπειρου πλήθους, δεν τα λαμβάνουμε υπόψη.
Αυτό λέει η κάτω πράξη συνολοθεωρητικής διαφοράς και όχι ελόγου μου:
[e, π] \ ((e, 3) ∪(3, π)) = {e, 3, π}
Επειδή όμως χρησιμοποιούμε το [Α, Θ] σαν υποδιάστημα του R, μεταξύ Α (Αθήνα) και Β (Βόλος) υπάρχει λ.χ. το Λ (Λαμία) που καθιστά (σαν εξάπαντος υπαρκτό εσωτερικό σημείο), το άρτιο Β (2) περιττό 3. Έτσι δεν έχουν νόημα οι άρτιοι και περιττοί σε ότι αφορά τους φυσικούς χωρίς το μηδέν, στον R, ώστε να απαριθμήσουμε κάποιον πληθάριθμό του. Ο R δεν μπορεί να αιτιολογήσει κανέναν πληθάριθμο, η εύρεση του οποίου μπορεί να γίνει μόνο με τους φυσικούς απαριθμητικούς να μη λέω τα ίδια. Τα άπειρα δεν μας απασχολούν με την πράξη της συνολοθεωρητικής διαφοράς. Όμως και το Σχηματάρι λ.χ. σαν εσωτερικό Σ του ΑΛ, καθιστά το Λ από άρτιο πληθάριθμο 2 απαριθμούμενων στοιχείων, περιττό 3.
Δεν θα εξακολουθήσω να λέω τα ίδια.
Palassio μπορείς να μείνεις στις αποφάσεις σου τις οποίες θεωρείς αποδείξεις μη λαμβάνοντας υπόψη αυτά που σου λέω, που δεν είναι καν δικά μου αλλά των μαθηματικών στους οποίους αναφέρθηκα και τους οποίου σου υπέδειξα. Ούτε μία λέξη δική μου δεν λέω και αλίμονο! Μη με διδάσκεις άλλο, γιατί διδάσκεις τους συναδέλφους σου.
Πάντως σου απέδειξα ότι στο [0, 6] ποτέ δεν μπορείς να έχει πληθάριθμο ούτε άρτιο, ούτε περιττό και ας τον εξάγεις εσύ σαν άρτιο!
Δεν είναι και αναγκαίο να χαλάσουμε τις καρδιές μας, ωστόσο μπορείς να προσπαθήσεις εκ νέου.
Την τρίτη φορά θα καείς…

ΥΓ: Υποψιάζομαι ότι μεταφέρατε εδώ στα Αστεία τη συζήτηση περί τον R (που είναι και η φυσική της θέση) για να μπορεί να λέει ο καθένας οτιδήποτε αποφασίζει ο ίδιος σαν ορθό, χωρίς να τον παρεξηγούν οι άλλοι! Συμφωνώ. Συμφωνώ και επαυξάνω...