ΣΕΜΦΕ forum

'Εστω V1 = {(2x, x) | x ∈ R} και V2 = {(x, x) | x ∈ R}. Βρείτε τον V1 ∩ V2. Είναι η
ένωση V1 ∪ V2 υπόχωρος του R^2; Να δειχθεί ότι V1 + V2 = R^2.Είναι το άθροισμα ευθύ;

Για σκέψου λίγο, τι μπορεί να είναι τα V1 και V2 στο επίπεδο R^2;

Μόλις το βρεις αυτό, βγαίνουν όλα εύκολα. Μόνο για το τελευταίο με το άθροισμα δεν είμαι βέβαιος, ας πει κάποιος που τα έχει πιο πρόσφατα..

Τα V1 και V2 στο R^2 θα είναι της μορφής (x,y)????

Ναι....

Πώς εξετάζω αν η ένωση V1 ∪ V2 είναι υπόχωρος του R^2 ?

Ελέγχεις αν ικανοποιεί τις ιδιότητες των υπόχωρων (αν θυμάμαι καλά, εδώ αρκεί κάθε γραμμικός συνδυασμός να παραμένει μέσα στο V1 ∪ V2).

Και γραφικά φαίνεται πολύ εύκολα η απάντηση.

Για να είναι κάτι υπόχωρος θα πρέπει (αρχικά) να είναι υποσύνολο του χώρου και να "σέβεται" τις πράξεις που έχουν οριστεί στον χώρο αυτό (πρόσθεση/βαθμωτός πλ/σμος)

Δηλαδή θα πρέπει να εξετάσεις αν για κάθε x και y στοιχεία της ένωσης
1)το άθροισμα τους x+y είναι και αυτό στοιχείο του υποχώρου (ένωση) συγκεκριμένα (όχι γενικα του )
2) το στοιχείο λx να ανήκει και αυτό στην ένωση για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό λ.

Η τομή δύο υποχώρων είναι πάντα υπόχωρος, δεν ισχύει όμως το ίδιο και για την ένωση...
Εδώ η ένωση δεν είναι υπόχωρος. Αυτό θα το καταλάβεις αν προσπαθήσεις να φανταστείς το σύνολο όλων τον σημείων με x=y και αυτό όλων των σημείων με x=2y γεωμετρικά (τι μπορεί να είναι? ). Τότε αν πάρεις ένα στοιχείο (σημείο) από το ένα σύνολο και το προσθέσεις με ένα από το άλλο σύνολο (και τα δυό ανήκουν στην ένωση παρόλα αυτά) θα πάρεις στοιχείο που δεν θα ανήκει σε κανένα από τα δύο σύνολα (και άρα ούτε στην ένωση αυτών). Έτσι η ένωση δεν είναι κλειστή ως προς την πράξη της πρόσθεσης και άρα δεν πρόκειται για υπόχωρο.

Για το άθροισμα υποχώρων θα πρέπει να γράψεις κάθε (x,y) του σαν άθροισμα ενός στοιχείου του V1 και ενός του V2 και για να είναι το άθροισμα ευθύ θα πρέπει η τομή τους να είναι το {0} κάτι που το έχεις δείξει προηγουμένως.

Ευχαριστώ πολύ!!!!!!!!!!