ΣΕΜΦΕ forum

Έστω ένα τρίγωνο στο επίπεδο με κορυφές Ρ1,Ρ2,Ρ3.
(α)Έστω u1,u2,u3 τα διανύσματα από τα σημεία Ρ1,Ρ2,Ρ3 σε σημείο στο επίπεδο Ρ.Εκφράστε,χρησιμοποιώντας το εσωτερικό γινομένο και τα τρία αυτά διανύσματα ,την συνθήκη ώστε το Ρ να βρίσκεται στην ευθεία που περνάει από την κορυφή Ρ1 και είναι κάθετη στην απέναντι πλευρά.
(β)Υποθέστε ότι το Ρ βρίσκεται στην τομή των δύο ευθειών που περνούν από τα Ρ1 και Ρ2 και είναι κάθετα στις αντίστοιχες απέναντι πλευρές.Δείξτε ότι u1*u2=u1*u3=u2*u3.
(γ)Αν ισχύουν οι υποθέσεις των ερωτημάτων (α) και (β),δείξτε ότι το Ρ βρίσκεται επίσης στην ευθεία που περνάει από το Ρ3 και είναι κάθετη στην απέναντι πλευρά.
Ελπίζω να μπορέσει κάποιος να με βοηθήσει!!!! Ευχαριστώ εκ των προτέρων!!!

Δεν είναι άσκηση απειροστικού. Αναλυτική γεωμετρία είναι, νομίζω σχολικού επιπέδου:

Ισοδύναμα πρέπει u1 κάθετο στο διάνυσμα της απέναντι πλευράς που είναι το (u2 - u3). Άρα ισοδύναμα u1*(u2 - u3) = 0 <=> u1*u2 = u1*u3. Αν το σημείο είναι στην τομή των 2 ευθειών που αναφέρονται στο β), τότε u1*u2 = u1*u3 και u2*(u3 - u1) = 0 => u2*u3 = u2*u1 = (λόγο αντιμεταθετικότητας) = u1*u2 = u1*u3. Τότε λόγο αντιμεταθετικής ιδιότητας ισχύει επίσης u3*u2 = u3*u1 <=> u3*(u2 - u1) = 0, οπότε το σημείο βρήσκεται και στις 3 ευθείες που αναφέρονται (ύψη του τριγώνου P1P2P3). Το P καλείται ορθόκεντρο του τριγώνου.

Ευχαριστώ πολύ!!!!!!!!!!!