ΣΕΜΦΕ forum

Πώς να δείξω ότι το υποσύνολο είναι γραμμικός υπόχωρος του διανυσματικού χώρου επί του ?
Ελπίζω να μπορέσει κάποιος να με βοηθήσει!
Ευχαριστωω εκ των προτέρων!!!

Γενικά ένα υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου είναι υπόχωρος, αν
i) για κάθε δυο στοιχεία του υποσυνόλου, το άθροισμά τους ανήκει κι αυτό στο υποσύνολο
ii) για κάθε στοιχείο του υποσυνόλου, κάθε βαθμωτό πολλαπλάσιό του ανήκει κι αυτό στο υποσύνολο.
(Δες τον ορισμό του υποχώρου ενός διανυσματικού χώρου.)

Οπότε έχεις να δείξεις δύο πράματα. Για το πρώτο, θεωρείς δύο στοιχεία του R έστω x και y. Και δείχνεις ότι το (x+y) ανήκει κι αυτό στο R. Για το δεύτερο, θεωρείς ένα στοιχείο x του R και ένα λ πραγματικός αριθμός και δείχνεις ότι το γινόμενό τους (λx) ανήκει κι αυτό στο R.

Αν τα R και C που γράφεις είναι οι πραγματικοί και οι μιγαδικοί αριθμοί αντίστοιχα, τότε η άσκηση είναι αρκετά εύκολη, γιατί το άθροισμα και το γινόμενο οποιωνδήποτε δύο πραγματικών αριθμών είναι πραγματικός αριθμός.

Δηλαδή τα στοιχεία του συνόλου που θέλουμε να δείξουμε ότι είναι διανυσματικός υπόχωρος έχουν μόνο πραγματικό μερος και το φανταστικό μέρος ισούται με μηδέν???

Ακριβώς. Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να θεωρηθεί σαν μιγαδικός με μηδενικό φανταστικό μέρος.

Ααα οκ!!!Ευχαριστώ πολύ!!!!!!!!!!!!