ΣΕΜΦΕ forum

Η f ορισμένη και παραγωγισιμη στο [0,+απειρο) με f(0)=0 και g ορισμένη και παραγωγισιμη στο (0,+απειρο) με
g'(x)=(1/x)(f'(x)-f(x)/x) x>0 και f κυρτή στο [0,+απειρο)
Δειξτε οτι η g γνησιως αυξουσα στο (0,+απειρο)
Παιδιά βοηθήστε PLEASE!!

f:κυρτή σημαίνει ότι f ' αύξουσα στο (0,+άπειρο).
Κάνουμε Θεώρημα μέσης τιμής στο [0,x] άρα υπάρχει ξ που ανήκει στο (0,χ) ώστε f ' (ξ ) =( f(x)-f(0) ) / ( x - 0 ) = f(x)/x. Επίσης x > ξ => f ' (x) > f ' (ξ) = f(x)/x για κάθε x>0. 'Αρα f ' (x) > f(x)/x => 1/x * f ' (x) > 1/x^2 * f(x) => 1/x * ( f ' (x) - 1/x*f(x))>0 => g'(x)>0 για κάθε x>0. Άρα g γνησίως αύξουσα.

Ευχαριστω φίλε