Board index   FAQ   Search  
Register  Login
Board index Μαθήματα & Εξετάσεις Τρίτο Έτος Μαθηματικού Εφαρμογών

Πραγματική Ανάλυση

Συζητήσεις για μαθήματα του 3ου έτους στην κατεύθυνση Μαθηματικού Εφαρμογών.

Moderators: Ryu, markelos, meleneemil, Nasia!

Re: Πραγματική Ανάλυση

Postby DeXteR » Sat Jun 17, 2017 1:41 pm

Μπορεί κάποιος να βοηθήσει με την απόδειξη του Θεωρήματος 6.37 από το βιβλίο του Αργυρού;
Συγκεκριμένα να αποδειχθεί πως εάν (Χ,ρ) μετρικός χώρος η μετρική p1=min{1 , p } είναι ισοδύναμη της ρ.
Προσπαθώ να το δείξω με συγκλίνουσες ακολουθίες πάνω στην p και p1 αλλά δυσκολεύομαι.
Υπάρχει μήπως κάποια άλλη προσφορότερη προσέγγιση;
DeXteR
 
Posts: 331
Joined: Fri Nov 17, 2006 12:26 am

Re: Πραγματική Ανάλυση

Postby 1/2rizax » Sat Jun 17, 2017 3:59 pm

Λίγο πολύ το ίδιο είναι με όποιο χαρακτηρισμό των ισοδύναμων μετρικών και να πας. Ας πάμε με ακολουθίες που συνήθως είναι πιο εύχρηστες. Επειδή το tex εμφανίζεται εντελώς δυσανάγνωστο, αναγκαστικά θα το γράψω λίγο περιγραφικά:

Αν η (x_n) συγκλίνει στο x_0 ως προς την ρ, τότε ρ(x_n, x_0) \rightarrow 0 και επομένως το ίδιο συμβαίνει και για το \min\{ρ(x_n, x_0), 1\}.

Αν η (x_n) συγκλίνει στο x_0 ως προς την ρ_1, τότε για ε=1, υπάρχει n_0 τέτοιο ώστε ρ_1(x_n, x_0)<1 για κάθε n > n_0. Όμως από τον ορισμό της ρ_1 αυτό σημαίνει ότι ρ_1(x_n, x_0)=ρ(x_n, x_0) για κάθε n > n_0 και επειδή η πρώτη συγκλίνει στο μηδέν, θα συγκλίνει και η δεύτερη.
User avatar
1/2rizax
 
Posts: 231
Joined: Mon Dec 04, 2006 4:39 pm

Re: Πραγματική Ανάλυση

Postby constant » Sat Jun 17, 2017 5:40 pm

Πολύ ωραία η λύση, μάλλον είναι η πιο σύντομη.
Διαφορετικά θα μπορούσες να χρησιμοποιήσεις τον 2ο χαρακτηρισμό (Θ.6.30) στο 2) (η παραπάνω λύση χρησιμοποιεί το 3), γιατί ο 1ος χαρακτηρισμός δε φαίνεται να βολεύει. Οπότε μετά να το πας με ε,δ ορισμό και με τον ορισμό της αμφισυνέχειας για την ισοδυναμία.

Αλλά σίγουρα η λύση παραπάνω του 1/2rizax είναι συντομότερη κ χρησιμοποιεί τον χαρακτηρισμό αντί για τον ορισμό, το οποίο σου γλυτώνει φασαρία.
User avatar
constant
Portal Administrator
Portal Administrator
 
Posts: 1679
Joined: Wed Dec 01, 2010 3:16 pm
Real Name: Konstantinos
Gender: Male

Re: Πραγματική Ανάλυση

Postby DeXteR » Sat Jun 17, 2017 7:08 pm

Ευχαριστώ πολύ 1/2rizax και constant!
DeXteR
 
Posts: 331
Joined: Fri Nov 17, 2006 12:26 am

Previous

Return to Μαθηματικού Εφαρμογών

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 0 guests