[Ασκήσεις] Ανάλυση Ι

[apolski]

Ειδα οτι δεν υπαρχει τετοιο θεμα και ειπα να το ανοιξω...

Ειμαι στο τμημα του Ρασσια(φοβερος καθηγητης) και μας εβαλε κατι ασκηεις οι οποιες υπαρχουν στο βιβλιο του(το οποιο δυστιχως δεν το πηραμε ακομα). Θα ηθελα να με βοηθησετε με μια ασκηση η οποια οπως μας ειπε λυνεται με την βοηθεια της ανισωτητας Cauchy:

Αν ειναι θετικοι πραγματικοι αριθμοι να δειξετε οτι



ΥΓ. βρε παιδια ειναι ντροπη να μην υπαρχει δυνατοτητα γραφης με Latex στο φορουμ  :?

[BO]

Λοιπόν η ανισότητα Cauchy για θετικούς όρους είναι:

(α1+α2+...+αν)/ν  >=  (α1*α2*...*αν)^(1/ν)  >=  ν /( 1/α1 +  ... + 1/αν )

Έχουμε α1^3 + α2^3 + α3^3 = (α1^3 + α2^3)/3 + (α2^3 + α3^3)/3 + (α3^3 + α1^3)/3 + (α1^3 + α2^3 + α3^3)/3

Σε αυτό τώρα μπορείς να εφαρμόσεις την ανισότητα και ίσως βγει κάτι χρήσιμο...

[apolski]

Σε αυτό τώρα μπορείς να εφαρμόσεις την ανισότητα και ίσως βγει κάτι χρήσιμο...

Μπορεις να το γραψεις γιατι δεν το καταλαβα  :roll:

[BO]

α1^3 + α2^3 + α3^3 = (α1^3 + α2^3)/3 + (α2^3 + α3^3)/3 + (α3^3 + α1^3)/3 + (α1^3 + α2^3 + α3^3)/3

>= (α1^3*α2^3)^(1/3)+(α2^3*α3^3)^(1/3)+(α3^3*α1^3)^(1/3)+(α1^3*α2^3*α3^3)^(1/3) = α1*α2 + α2*α3 + α3*α1 + α1*α2*α3

Δεν βγαίνει ακριβώς αυτό που θες, αλλά κάτι είναι για αρχή..

[apolski]

καταλαβα αυτο που λες ομως μετα τι κανεις?  :oops:

Εγω κατελειξα στο:



αλλα δεν λεει και πολλα...

[coyote]

Εφάρμοσε την γενικευμένη ανισότητα Radon στο πρώτο μέρος και τα υπόλοιπα είναι πράξεις.


Για την Radon δες http://www.jstor.org/view/00029890/di991366/99p0006m/0
   

*Tη Radon ισως την έχεις ακούσει  και ως Adreescu

[apolski]

Μπορει να μου πει καποιος πως λυνεται το οριο ?

[el_greco]

Πάντως κάνει μηδέν:P

[fotispnb]

0 <= 2^n + 3^n <= 3^n + 3^n = 2 * 3^n

0 <= 1/ (4^n + 5^n) <= 1/ (4^n + 4^n) = 1/ (2 * 4^n)

"Πολλαπλασιάζεις" κατά μέλη και έχεις:

0 <= (2^n + 3^n) / (4^n + 5^n) <= 3^n / 4^n = (3/4)^n

Για n -> οο είναι (3/4)^n ->0 διότι 3/4 < 1.

Όπως καταλαβαίνεις και το ζητούμενο τότε τείνει στο μηδέν.

[antony07]

Τυπογραφικό λάθος: Πολλαπλασιάζεις κατά μέλη (δεν μπορούμε να διαιρέσουμε κατά μέλη ανισότητες)!
Εδώ μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε γιατί όλοι οι όροι είναι σίγουρα θετικοί.
Εννοείται ότι η λύση είναι ορθότατη.

[kostas.m]

Ωραία η απόδειξή σου fotispnb, μία άλλη λύση του προβλήματος, είναι να διαιρέσεις πάνω και κάτω με το 5^ν, τότε ο αριθμητής γίνεται (2/5)^ν +(3/5)^ν που καθώς το ν τείνει στο άπειρο μηδενίζεται καθώς κάθε όρος του αθροίσματος μηδενίζεται. Ο παρονομαστής τώρα γίνεται (4/5)^ν +1 που τείνει στο 1 καθώς το ν τείνει στο άπειρο. Οπότε το όριο γίνεται 0/1=0.

[fotispnb]

Υπό προϋποθέσεις μπορείς να διαιρέσεις όπως ακριβώς και υπό πορϋποθέσεις μπορείς να πολλαπλασιάσεις. Και εδώ είναι μια τέτοια περίπτωση.

Για την ακρίβεια αυτό που ισχύει στους πραγματικούς είναι το εξής: αν α<=β και γ>0 τότε αγ<=βγ.

Οπότε σαν έκφραση μπορεί να είναι λάθος και ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση κατά μέλη.

Μπορείς όμως να αποδείξεις ότι η τελευταία ανισότητα προκύπτει από τις δύο προηγούμενες.

[antony07]

Σύμφωνοι, όμως εφόσον υπολογίζεις όριο εκθετικών συναρτήσεων, δουλεύεις στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών, όπου κατά μέλη διαίρεση ανισοτήτων δεν υφίσταται.
Έτσι κι αλλιώς, εσύ πολλαπλασιασμό κατά μέλη έκανες . Το επισήμανα μόνο για να μην το αντιγράψει κάποιος λανθασμένα.

[apolski]

Ωραια λυση

Για n -> οο είναι (3/4)^n ->0 διότι 3/4 < 1

Αυτο πως το αποδεικνύουμε ? Δηλαδη οτι αν 0<a<1 τοτε

[pao132003]

Αυτο πως το αποδεικνύουμε ? Δηλαδη οτι αν 0<a<1 τοτε

Αυτό δε χρειάζεται απόδειξη. Είναι φανερό από τη γραφική παράσταση!