[Ασκήσεις] Ανάλυση Ι

[apolski]

Το ξερω οτι ειναι φανερω απο την γ.π αλλα η ασκηση ζηταει να το αποδειξουμε

[darth]

Αυτο πως το αποδεικνύουμε ? Δηλαδη οτι αν 0<a<1 τοτε

Στο βιβλίο του Ρασσια σελ. 118 υπάρχει η απόδειξη.

[antony07]

Ωραια λυση

Για n -> οο είναι (3/4)^n ->0 διότι 3/4 < 1

Αυτο πως το αποδεικνύουμε ? Δηλαδη οτι αν 0<a<1 τοτε

Αυτό μπορείς να το δεις με την χρήση ακολουθιών.
Μπορείς να αποδείξεις ότι η ακολουθία , με συγκλίνει στο 0. Είχα δει κάπου την απόδειξη. Αν έχεις φρέσκα τα κριτήρια σύγκλισης (εγώ όχι πια), κάπως θα μπορείς να το βγάλεις.
Apolski,από περιέργεια, σε ποιο έτος είσαι;

κάτι γίνεται με το LaTeX.Πάτα quote για να δεις τι έγραψα!

[kostas.m]

Μπορείς να δουλέψεις και με συναρτήσεις για να το αποδείξεις. Θεώρησε την f(x)=a^x, τότε f(x)=e^(x*ln(a)) και καθώς το χ τείνει στο άπειρο η f τείνει στο μηδέν. Καθώς το χ τείνει στο άπειρο η χ*ln(a) τείνει στο μείον άπειρο (ln(a)<0 ) και η εκθετική καθώς τείνει στο μείον άπειρο γίνεται μηδέν. Οπότε limf(x)=0 και επειδή ισχύει για τους πραγματικούς, τότε ισχύει και για τους φυσικούς, όπου f(n)=a^n, n e N. Οπότε limf(n)=0

[fotispnb]

Θεωρείται τετριμμένο και μπορείς να το χρησιμοποιείς άφοβα χωρίς απόδειξη.

Αν θέλεις απόδειξη, νομίζω πως χρησιμοποιείς ανισότητα bernoulli για να φράξεις την ακολουθία με κάτι που είναι προφανές ότι πάει στο μηδέν καθώς το ν πάει στο άπειρο, όπως για παράδειγμα η 1/ν.

antony07 καλά έκανες και επεσήμανες το λάθος μου. Ευχαριστώ.

Πάντως, ούτε πολλαπλασιασμός κατά μέλη είναι τυπικά σωστό. Ωστόσο, όπως προανέφερα, αυτό δε σημαίνει ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα δε μπορεί να προκύψει η τελευταία από τις δύο προηγούμενες. Και όπου καταχρηστικά χρησιμοποιούμε την έκφραση πολλαπλασιάζω κατά μέλη (για ανισότητες πάντα μιλάμε) προφανώς μπορείς και να διαιρέσεις. Είναι το ίδιο πράγμα.

[apolski]

Ευχαριστω ολους για τις απαντησεις

Ο τροπος του kostas.m μου φενεται πιο ευκολος και πιο ωραιος.

ΥΓ. antony07, ειμαι πρωτοετης

[kostas.m]

Ευχαριστώ apolski

[apolski]

Πως να δειξουμε οτι

?


Μου φενεται λιγο περιεργο να ειναι κενο το συνολο αυτο, αφου για παραδειγμα



Ομως, μηπως μπορουμε να πουμε οτι:

[Dimitris]

Μπορει να μου πει καποιος πως λυνεται το οριο ?

Μπορείς να βγάλεις κοινό παράγοντα το 3^n στον αριθμητή και το 5^n στον παρανομαστή.Έπιτα θα παρατηρήσεις εύκολα ότι 3/5<1 άρα για n->Infinity θα έχεις (3/5)^n->0.

[fotispnb]

Έστω ότι δεν είναι διάφορο του κενού. Τότε θα υπάρχει ένα x τέτοιο ώστε 0 < x < 1/n για κάθε n ανήκει στους φυσικούς.

Αυτό όμως είναι άτοπο, διότι από το πόρισμα του Ευδόξου για κάθε ε θετικό υπάρχει n στους φυσικούς τέτοιο ώστε 1/n < ε, δηλαδή υπάρχει n στους φυσικούς τέτοιο ώστε 1/n < x.

Όσον αφορά στην εύρεση ορίων, να θυμάσαι ως μία γενική μέθοδο να φράζεις την ακολουθία άνω και κάτω από άλλες που έχουν κοινό όριο. Θα σου χρησιμεύσει αρκετά σε πιό σύνθετες ακολουθίες.

[apolski]

Έστω ότι δεν είναι διάφορο του κενού. Τότε θα υπάρχει ένα x τέτοιο ώστε 0 < x < 1/n για κάθε n ανήκει στους φυσικούς.

Αυτό όμως είναι άτοπο, διότι από το πόρισμα του Ευδόξου για κάθε ε θετικό υπάρχει n στους φυσικούς τέτοιο ώστε 1/n < ε, δηλαδή υπάρχει n στους φυσικούς τέτοιο ώστε 1/n < x.

Δεν πολυκατάλαβα την λύση αυτή. Μήπως μπορείς να μου πεις αν η λύση μου είναι σωστή?

Όσον αφορά στην εύρεση ορίων, να θυμάσαι ως μία γενική μέθοδο να φράζεις την ακολουθία άνω και κάτω από άλλες που έχουν κοινό όριο. Θα σου χρησιμεύσει αρκετά σε πιό σύνθετες ακολουθίες.

Ναι όντως, το κριτήριο παρεμβολής(ετσι το λέγαμε στο λύκειο) ειναι πολυ χρήσιμο για την εύρεση ορίων.

[fotispnb]

Αυτό που έχεις γράψει δεν είναι απόδειξη (και μη το παρουσιάσεις σε γραπτό), αλλά το πώς το αντιλαμβάνεσαι διαισθητικά, αν και πάλι υπάρχουν σοβαρά λάθη. Ας πούμε, δεν υπάρχει φυσικός αριθμός ν για τον οποίο 1/ν =0. Η' το ότι μια άπειρη τομή τη μετέτρεψες σε πεπερασμένη.

Αν θέλεις μπορώ να σου εξηγήσω τι έχω γράψει. Είναι πολύ απλό.

[apolski]

Αν μπορεις, σε παρακαλω εξηγησε το πιο καλα

[fotispnb]

Λοιπόν, το πόρισμα του Ευδόξου λέει ότι για κάθε ε>0 μπορούμε να βρούμε n φυσικό αριθμό τέτοιον ώστε 1/n < ε.

Υποθέτουμε, προς απαγωγή σε άτοπο, ότι αυτή η τομή των συνόλων δεν είναι κενή. Αφού δεν είναι κενή, θα υπάρχει ένα x που θα ανήκει σ'αυτή. Οπότε το x θα πρέπει να ανήκει σε κάθε σύνολο της τομής, δηλαδή να ανήκει στο (0 , 1/n) για κάθε n που ανήκει στους φυσικούς. Επομένως θα ισχύει 0 < x < 1/n [σχέση (1)] για κάθε n που ανήκει στους φυσικούς.

Βάλε τώρα το x αυτό, αφού είναι θετικό, στο πόρισμα του Ευδόξου, δηλαδή βάλτ'το όπου είναι το ε. Τότε θα πάρεις ότι υπάρχει n φυσικός τέτοιος ώστε 1/n < x [σχέση (2)].

Από (1) και (2) άτοπο. Άρα η τομή αυτή είναι το κενό σύνολο.

Αν και πάλι έχεις πρόβλημα, πες μου συγκεκριμένα τι δεν καταλαβαίνεις.

[apolski]

Thanks a lot!

Το καταλαβα, απλα δεν ειχα ξανακουσει για το πόρισμα του Ευδόξου.