[Ασκήσεις] Ανάλυση Ι

[fotispnb]

Για να θυμάσαι το πόρισμα του Ευδόξου αρκεί να θυμάσαι ότι οι φυσικοί αριθμοί δεν είναι άνω φραγμένοι (το οποίο αποδεικνύεται εύκολα), δηλαδή ότι για κάθε χ στους πραγματικούς υπάρχει ν στους φυσικους τέτοιο ώστε χ < ν (αν δεν υπήρχε, τότε όλοι οι φυσικοί θα ήταν άνω φραγμένοι από το χ).

Ε, τώρα βάλε όπου χ το 1/ε με ε>0. Θα έχεις ότι υπάρχει ν στους φυσικούς με 1/ε < ν. Και επειδή ε>0 και ν>0 είναι 1/ν < ε.

Αυτή ήταν η απόδειξη του πορίσματος του Ευδόξου.

[Katsarola]

Πως να δειξουμε οτι

?


Μου φενεται λιγο περιεργο να ειναι κενο το συνολο αυτο, αφου για παραδειγμα



Ομως, μηπως μπορουμε να πουμε οτι:

Αυτό είναι περσινό θέμα (της κανονικής εξεταστικής). Εγώ την ίδια λύση με εσένα έγραψα και μάλλον την πήραν για σωστή (το λέω αυτό με βάση τον βαθμό μου και συγκρίνοντάς τον με τους βαθμούς άλλων). Μην σε πάρω στον λαιμό μου όμως...

[coyote]

Όχι. Υπέθεσε αρχικα πως το σύνολο αυτό δεν είναι κενό και φτάσε σε άτοπο χρηιμοποιώντας το Ευδοξο. Αυτό που κάνεις διαισθητικά δεν είναι αλλά είναι λίγο ταρζανια που δεν θα σου βγαίνει πάντα.

[Giannis_G]

Apolski einai poly aplo ftanei na diabaseis tin arximidia idiotita ton pragmatikvn arithmwn...oustiastika ayto to synolo poy egrapses einai ta x poy anikoyn stous pragmatikoys etsi wste 0<x<1/n gia kathe n stoy fusikous ...poy sumfwna me tin arximidia idiotita ayto einai atopo..Epomenws dn yparxei kanena x poy na ikanopoiei ayti ti sxesi ..ara to synolo afoy dn periexei kanena stoixeio tha einai to keno...
Gia eknenesteri meleti des Mathimatiki Analysi 1 -Teuxos A- Rassias -Selida 26..Kalo diabasma...
Elpizw na boithisa

[armaos]

Παιδιά στα θέματα της κανονικής εξεταστικής 2006 στο ζητημα 1α το οριο πως το βρισκουμε;
Επισης, ζητημα 2β ι) Πως βγαινει αυτο; ξερω οτι δεν συγκλινει στο R αλλά γιατί;;
όποιος ξέρει ας πει κατι Σας πλιζαρω

[kostas.m]

Στο πρώτο ζήτημα για κάθε ν στους φυσικούς μεγαλύτερο ή ισο του 2 έχω ότι ν^(1/ν)>1 (1). Επίσης, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Buniakowski-Cauchy-Schwarg (γεωμετρικού μέσου - αριθμητικού μέσου) έχεις ότι
[ν^(1/2)*ν^(1/2)*1*1*...*1]^(1/ν)<_[2*ν^(1/2)+(ν-2)]/ν (2). Το όριο του δεύτερου μέλους καθώς το ν τείνει στο άπειρο είναι 1. Και από τις σχέσεις (1),(2) προκύπτει το ζητούμενο.

[apolski]

Επισης, ζητημα 2β ι) Πως βγαινει αυτο; ξερω οτι δεν συγκλινει στο R αλλά γιατί;;
όποιος ξέρει ας πει κατι Σας πλιζαρω

δεν συγκλινει στο R γιατι η ακολουθια (1+1/ν)^ν δεν ειναι μηδενικη αφου lim(1+1/ν)^ν=e

[fotispnb]

Για το 1α μπορείς να φράξεις την ακολουθία αριστερά απο τη νιοστή ρίζα του ν (που έχει όριο 1) και δεξιά από τη νιοστή ρίζα του κ(ν-2)^2. Το κ είναι ένας αριθμός που θα τον βρεις δοκιμαστικά. Αν βάλεις για παράδειγμα κ=10 νομίζω ότι ισχύει. Θα το δείξεις με επαγωγή. Το άνω φράγμα τελικά είναι ίσο με νιοστή ρίζα του κ επί (ν-2)στή ρίζα του ν-2. Το όριό τους είναι 1επί1=1.

[apolski]

Μια ωραια ασκηση που βρηκα:

Έστω f,g συνεχείς συναρτήσεις ατο [a,b]. Αποδείξτε ότι υπάρχει παραγματικός αριθμός τέτοιoς ώστε



ΥΓ. mods ποτε θα φτιαξετε επιτελους το Latex?

[apolski]

Υπαρχει περιπτωση ο κ.Ρασσιας να βαλει ανισοτητες?

Βαζω εγω μια για εξασκηση




νδο

[jason]

εγω ειμαι ακομη στην αρχη....
μου εξηγειτε πως βρισκουμε ανω κ κατω φραγμα στην 1/(2^ν) με ν φυσικο??? σελ 25 του βιβλιου λεει 15, 4, 1/2 κ 10, 3, 1 αντιστοιχα αλλα δεν καταλαβαινω πως βγαινει..

[apolski]

Τα 1,2,3,4,5,...,15, 16,17... ειναι ανω φραγματα του Α1 γιατι ισχυει οτι για καθε x στο Α1 ειναι x<1,2,3,4,5,...,15, 16, 17...
Το 1/2 ειναι το supA1 δηλαδη το ελαχιστο ανω φραγμα του Α1 αφου 1/2<1,2,3,4,...,15,16,17... και x<=1/2.

Εγω θεωρω οτι η Αναλυση Ι ειναι ευκολο μαθημα γιατι ακομα και μονο με γνωσεις λυκειου μπορεις να γραψεις 5. Επισης τα θεματα που βαζει ο κ.Ρασσιας ειναι απο το βιβλιο του οποτε οποιος το διαβασει νομιζω οτι μπορει πολυ ευκολα να γραψει ακομα και 10...

[apolski]

Υπαρχει περιπτωση ο κ.Ρασσιας να βαλει ανισοτητες?

Βαζω εγω μια για εξασκηση




νδο

Την προσπαθησε κανεις?

Για να βοηθησω

Βαζω αλλη μια ευκολη παρ' ολο που δεν βλεπω να υπαρχει ενδιαφερον...

Αν θετικοι πραγματικοι αριθμοι τ.ω και νδο



Η ανισοτητα αυτη υπαρχει στο βιβλιο του κ. Ρασσια.

[kostas.m]

Ωραίες οι ανισότητές σου kadafi. Η δεύτερη είναι σχετικά απλή. Κατ' αρχήν . Τότε, αρκεί να δείξω ότι Κάτι, που ισχύει, γιατί από Cauchy- Schwartz, έχω ότι . Τώρα, για το πρώτο πρόβλημα έχω ότι . Οπότε Και αυτό ισχύει και για τα b,c. Οπότε αρκεί να δείξω ότι Απαλοίφοντας, τους παρονομαστές η σχέση είναι ισοδύναμη με την Που ισχύει καθώς από Cauchy-Schwatz

[apolski]

Ωραίος Κώστα!
Αν και περίμενα λύση από κάνα πρωτοετή... αλλα δυστυχώς δεν υπάρχει ενδιαφέρον. Άραγε γιατί κάποιοι μπήκανε στην σχολή αυτή?