[Ασκήσεις] Ανάλυση Ι

[NickNafplio]

ναι εχεις δικιο, η ανισοτητα αυτη ειναι ευκολη και λυνεται με πολλους τρoπους. Αν δεις στην προηγουμενη σελιδα εγω εγραψα λυση με την Andreescu.

Για να γραψεις με το latex:

Κώδικας: Επιλογή όλων

[latex]e^x[/latex]

αλλα απ οτι φενεται εχει καποιο προβλημα

Ειδα τη λυση σου. Σωστη η σκεψη αλλα εχεις 2 τυπογραφικα λαθη (εχεις ξεχασει κατι 3αρια στις ανισοτητες που χρησημοποιησες)

Προσπαθησα να γραψω σε Latex για να σου δειξω που ακριβος εχεις τα 2 τυπογραφικα, αλλα για καποιο λογο οτι γραφω σε latex δεν μου εμφανιζεται... Μεχρι και copy-paste εκανα το latex απο το δικο σου ποστ (αλλαζοντας μονο μερικους αριθμους και τιποτα αλλο) αλλα και παλι δεν εμφανιζεται. Δεν μπορω να καταλαβω γιατι...

[apolski]

Δεν βλεπω καποιο λαθος στην λυση μου Αν μπορεις πες μου που ακριβως.

Μπορεις να γραφεις με το latex σε καποιο αλλο φορουμ(πχ. mathlinks) και εδω απλως να ανεβαζεις τις εικονες.

[apolski]

οντως, εχεις δικιο... μου ξεφυγε ενα 3 και επομενως η λυση μου ειναι λαθος

[NickNafplio]

οντως, εχεις δικιο... μου ξεφυγε ενα 3 και επομενως η λυση μου ειναι λαθος

Για να φτασεις στη λυση χρησημοποιησες 2 ανισοτητες, την Holder (η γενικευμενη B.C.S) και την προφανη ανισοτητα (α + β + γ)^2 >= 3(αβ + βγ + γα)

Απλα ξεχασες 2 τριαρια, στο αριστερο μελος της πρωτης και στο δεξι μελος της δευτερης. Βαλε τα 3αρια και η λυση σου θα ειναι σωστη, αφου στο τελος τα 3αρια αυτα απλοποιουνται και μενει η ζητουμενη ανισοτητα

[apolski]

Παντως με την Tschebychev βγαινει κατευθειαν...

Το θεμα ομωμς ειναι οτι πρεπει να λυθει αποκλειστικα με την Cauchy(AM-GM-HM).

[apolski]

Εδω μπορουμε να γραφουμε ασκησεις στην Αναλυση Ι ωστε να μην γεμιζουμε το topic "Αναλυση Ι" το οποιο ειναι για γενικα θεματα που αφορουν το μαθημα.

Μια παρακληση προς τους διαχειριστες... να φτιαχτει το latex και να μεταφερθουν εδω καποια μηνηματα με ασκησεις απο το αλλο τοπικ.

edited by el_greco: Τόνους στον τίτλο...

[apolski]

Ας ξεκινησω με μια ασκηση(ανισοτητα) που υπαρχει στο βιβλιο του κ.Ρασσια αλλα δεν υπαρχει λυση της.

Αν ειναι θετικοι πραγματικοι αριθμοι με νδο



Ειναι μια σχετικα ευκολη ανισοτητα η οποια αποδεικνυεται με πολλους(ετσι πιστευτω) τροπους. Εγω σκεφτικα μια λυση με την AM-GM και θα την ποσταρω αργοτερα...

[kostas.m]

Εδω μπορουμε να γραφουμε ασκησεις στην Αναλυση Ι ωστε να μην γεμιζουμε το topic "Αναλυση Ι" το οποιο ειναι για γενικα θεματα που αφορουν το μαθημα.

apolski, αν είναι να φτιαχτεί άλλο τόπικ, για ασκήσεις, προτείνω να περιέχει όχι μόνο θέματα ανάλυσης, αλλά και θέματα γραμμικής άλγεβρας, συνδυαστικής, θεωρίας αριθμών και ό,τι άλλο σχετίζεται με μαθηματικά. Και εκεί βέβαια θα μπορούν να μπουν και αρκετά δύσκολα θέματα που θα βοηθήσουν τους καινούργιους σε ό,τι θέλουν να καταφέρουν στον χώρο των μαθηματικών.
Τώρα, για την ανισότητα που έβαλες νομίζω ότι μπορεί να βγεί χρησιμοποιώντας την ανισότητα Muirhead, αλλά επειδή κάπου την έχω ξαναδει πρέπει να βγαίνει πολύ πιο απλά.

[apolski]

Ναι Κωστα, με Muirhead ειναι παιχνιδακι αφου

Η αλλη λυση ειναι με την ΑΜ-ΓΜ




ΥΓ. Πολυ καλη η ιδεα σου για το τοπικ με ασκησεις...

[antony07]

Πολύ καλή ιδέα. Είχα φτιάξει μια μικρή συλλογή ασκήσεων όταν ήμουν πρωτοετής. Θα προσπαθήσω να δώσω όσες μπορώ, για αρχή:

Για θετικούς πραγματικούς a,b,c να δειχθεί ότι:

[antony07]

Για a,b,c να ανήκουν στο [0,1], να δειχθεί ότι:

[kostas.m]

Για θετικούς πραγματικούς a,b,c να δειχθεί ότι:

Λοιπόν, μια λύση που βρήκα χρησιμοποιώντας την ανισότητα της αναδιάταξης (αν θέλει κάποιος να εξηγήσω την ανισότητα ας το ζητήσει)

Η σχέση λογαριθμώντας γίνεται
2alog(a)+2blog(b)+2clog(c)>=(b+c)log(a)+(c+a)log(b)+(a+b)log(c).
H οποία ισχύει καθώς από την ανισότητα της αναδιάταξης έχω ότι οι αριθμοί a,b,c και log(a),log(b),log(c) έχουν την ίδια διάταξη οπότε alog(a)+blog(b)+clog(c)>=blog(a)+clog(b)+alog(c)
και alog(a)+blog(b)+clog(c)>=clog(a)+alog(b)+blog(c)
και προσθέτοντας κατά μέλη βγαίνει

[NickNafplio]

Ωραια η λυση με την λογαριθμιση και την ανισοτητα αναδιαταξης.

Εγω εχω βρει μια αλλη:

Δειχνουμε οτι x^y*y^y >= x^y*y^x, η οποια γραφεται: x^(x - y)*y^(y - x) >=1 η (x/y)^(x - y) >=1 που ισχυει

Πολλαπλασιαζουμε κυκλικα και παιρνουμε: (a^a*b^b*c^c)^2 >= a^(b + c)*b^(c + a)*c^(a + b)

Πολλαπλασιαζουμε και τα 2 μελη με a^a*b^b*c^c και παιρνουμε: (a^a*b^b*c^c)^3 >= a^(b + c + a)*b^(c + a + b)*c^(a + b + c)

Οποτε εχουμε: a^a*b^b*c^c >= (abc)^((a + b + c)/3) και τελειωσαμε


Για την αλλη δεν μπορω να βρω κατι. Μαλον βγαινει αν κανουμε απλα τις πραξεις ωστε να χαθουν τα κλασματα και στο τελος (οταν μεινει μονο ενα μη-παραγοντοποιημενο πολυωνυμο 3ων μεταβλητων) χρηση της συνθηκης a,b,c =< 1

[apolski]

Για a,b,c να ανήκουν στο [0,1], να δειχθεί ότι:

Antony, δωσε αν μπορεις κανα hint γιατι μου φενεται πολυ ζορικη ανισοτητα.

[Wizard]

Sorry για την ταλαιπΏρια...
Το latex πρέπει να δουλεύει και πάλι.