Άσκηση σε κατανομές / τυχαίες μεταβλητές

[vassiliki]

Οποιος μπορει να βοηθησει στην επιλυση της παρακατω ασκησης...

Εαν U1,U2,...,U12 ειναι ανεξαρτητες ομοιομορφες κατανομες τυχαιες μεταβλητες στο U(0,1),να βρειτε ποια ειναι(προσεγγιστικα) η κατανομη της : X=[SUMUi-6],το SUM παιρνει τιμες απο i=1 εως 12.

Ευχαριστω πολυ!

[Giannis_G]

Κοιτα το μονο θεωρημα που ξερω για προσεγγιση μιασ κατανομης που ειναι αθροισμα ισονομων τυχαιων μεταβλητων ειναι το Κεντρικο Οριακο Θεωρημα...Ομως για να ισχυει θα πρεπει το n>=30 πραγμα που στην προκειμενη περιπτωση δν ισχυει....

[andreasPhD]

Η λύση αυτής της άσκησης βασίζεται στο Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Κ.Ο.Θ), προσεγγιστικά βέβαια!Σύμφωνα με το (Κ.Ο.Θ) το άπειρο άθροισμα (ή άπειρη σειρά) της ακολουθίας των ισόνομων τυχαίων μεταβλητών συγκλίνει σε τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί Κανονική κατανομή με μέση τιμή την μέση τιμή των μεταβλητών και τυπική απόκλιση πάλι την ίδια Ν(μ,σ*σ). Στην πράξη, δηλαδή κατά την επίλυση προβλημάτων και σε υπολογιστικά πακέτα με γεννήτριες τυχαίων αριθμών, όπου δεν έχουμε άπειρες παρατηρήσεις, εφαρμόζεται το θεώρημα προσεγγιστικά με κάποιο σφάλμα στον υπολογισμό (που βέβαια το σφάλμα είναι συνάρτηση και του αριθμού των παρατηρήσεων-τυχαίων μεταβλητών.Ο αριθμός των παρατηρήσεων εδώ που είναι 12 είναι πολύ μικρός, αλλά ισχύει η προσέγγιση με το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα ).
Για το πρόβλημα που έχουμε πιο πάνω ο αριθμών των 12 τυχαίων μεταβλητών χρησιμοποιείται σκόπιμα για τον εξής λόγο:Μία τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί ομοιόφορφη κατανομή στο διάστημα [0,1] έχει μέση τιμή:Ε[Χ]=1/2 και τυπική απόκλιση σ=sqrt(12)=ρίζα του 12. Άρα για n=12 τυχαίες μεταβλητές και μέση τιμή 1/2 επειδή η προσέγγιση, προκειμένου να συγκλίνει σε Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή,γίνεται ως εξής:
(ΣΧι - 12*E[X])/ (σ* sqrt(12)) = ΣΧι -6,
τελικά η τυχαία μεταβλητή ΣΧι -6=Υ (προσεγγιστικά με το Κ.Ο.Θ) ακολουθεί ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ, δηλαδή
Υ~Ν(0,1).

Ο αριθμός των παρατηρήσεων έχει ρόλο καθώς το Θεώρημα συγκλίνει όταν τείνει στο άπειρο, για αυτό και χρησιμοποιείται σε προβλήματα με πολλές παρατηρήσεις δίνοντας πάλι προσέγγιση. Σε αυτή την περίπτωση ο αριθμός 12 χρησιμοποιείται προκειμένου να φύγει ο παρονομαστής καθώς σ*sqrt(12) = 1!!!Δεν ξέρω αν το σφάλμα της προσέγγισης είναι σημαντικό αλλά η μέθοδος χρησιμοποιείται ευρέως όπως γράφω και στην παρατήρηση καθώς δουλέυει όταν προγραμματίζει κάποιος σε FORTRAN

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!!Αν κάποιος δουλέψει σε FORTRAN υπάρχει γεννήτρια τυχαίων αριθμών μόνο για ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [0,1], που είναι η subroutine RANDOM_NUMBER.Άρα για να πάρει κάποιος αριθμούς που ακολουθούν κανονική κατανομή ακολουθεί ακριβώς την προυγούμενη διαδικασία, δηλαδή παίρνει 12 παρατηρήσεις στη σειρά (καλεί δηλαδή την γεννήτρια 12 φορές) προσθέτει τα αποτελέσματα και μετά αφαιρεί με 6, ή Υ=ΣΧι -6. Το αποτέλεσμα που παίρνει είναι ( σύμφωνα με τα παραπάνω, προσεγγιστικά επαναλαμβάνω) αριθμός - αποτέλεσμα της τυχαίας μεταβλητής Υ - που προέρχεται από την Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή. Σε MATLAB υπάρχει η γεννήτρια rand που δίνει αριθμούς που ακολουθούν ομοιόμορφη κατανομή στο [0,1] και η εντολή randn που δίνει αριθμούς που ακολουθούν την τυποποιημένη κανονική κατανομή.

[armaos]

@andreasphd: πολυ διαφωτιστικο το ποστ σου ακομα κ για μενα που δεν το εχω πολυ με αυτα
@vassiliki: που την βρηκες αυτη την ασκηση; Αναλυση παλινδρομησης μηπως;
Αν ναι εκανε τπτ ιδιαιτερο χτες κ σημερα;Ειπε τπτ για τα εργαστηρια;

[vassiliki]

@vassiliki: που την βρηκες αυτη την ασκηση; Αναλυση παλινδρομησης μηπως;
Αν ναι εκανε τπτ ιδιαιτερο χτες κ σημερα;Ειπε τπτ για τα εργαστηρια;

Οχι,καμια σχεση,απλως απο περιεργεια.
Μαλλον θα χρειαστω και τη βοηθεια για αλλη μια,αλλα εν καιρω...

[vassiliki]

Eυχαριστω Ανδρεα παρα πολυ,η λυση σου ειναι αρκετα κατανοητη και σωστη.Εισαι διδακτορικος φοοιτητης οπως λεει και το nickname σου;Ελπιζω να σε ξαναβρω σε κανενα αλλο τυχον προβλημα μου...Να σαι καλα!

[andreasPhD]

Έχει ενδιαφέρον να δει κανείς τη Θεωρία Μέτρου για τη σύγκλιση των τυχαίων μεταβλητών, όπως και τρομερό ενδιαφέρον έχει κατά τη διάρκεια εφαρμογών να ορίζεις τυχαίες μεταβλητές π.χ. από μία απλή Διαφορική Εξίσωση καθώς δίνει ουσία στα μεγέθη που εισάγονται.Αυτά βέβαια για να πω την πικρή αλήθεια τα βλέπω τώρα στο Διδακτορικό - κλεισμένος από το πρωί ως το βράδυ σε ένα εργαστήριο κάπου μέσα στο Πολυτεχνείο - ενώ θα έπρεπε να καλύπτονται εν μέρει και προπτυχιακά....