Τα μαθηματικά των Μινωιτών

[Wizard]

16ος αιώνας π.Χ.: Κλάσματα, δεκαδικό σύστημα, γεωμετρικές πρόοδοι

Του ΠΑΝΑΓΙΩΤΗ ΓΕΩΡΓΟΥΔΗ

Σύνθετες και πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις γνώριζαν να πραγματοποιούν οι Μινωίτες από τον 16ο αιώνα π.Χ. με κλάσματα και χρήση του δεκαδικού συστήματος, γεγονός το οποίο ανατρέπει πλήρως την εικόνα που έχουμε μέχρι τώρα για την επιστήμη και τις εφαρμογές της στον αρχαίο κόσμο και μάλιστα τόσο νωρίς.


Τη συγκλονιστική αυτή ανακάλυψη πραγματοποίησε ο ερευνητής αιγαιακών γραφών Μηνάς Τσικριτσής, σε πρωτότυπο μαθηματικό κείμενο που βρίσκεται χαραγμένο στον τοίχο του διαδρόμου της μινωικής έπαυλης της Αγίας Τριάδας που είναι πλησίον του ανακτόρου της Φαιστού. Το ίδιο κείμενο είχε εντοπίσει το 1965 ο Μ. Pope που δημοσίευσε στο περιοδικό BSA, όπως αναφέρει ο Μηνάς Τσικριτσής, λέγοντας πως πρόκειται για γεωμετρική πρόοδο, αλλά χωρίς κανέναν άλλο σχολιασμό. Μάλιστα ο Ελληνας ερευνητής τονίζει ότι αντίστοιχα μαθηματικά συναντώνται μόνο στον Ευκλείδη, δηλαδή 11 αιώνες αργότερα.

Η πρωτοποριακή αυτή ανακάλυψη έρχεται να δικαιολογήσει τη δημιουργία των αρχιτεκτονικά πολύπλοκων και πολυδαίδαλων μινωικών ανακτόρων για τα οποία χρειαζόταν ένα συγκροτημένο υπόβαθρο επιστημονικών και θεωρητικών γνώσεων σε διαφορετικά επιστημονικά αντικείμενα και όχι μόνο καλούς εμπειρικούς μαστόρους. Επίσης το ανεπτυγμένο μινωικό εμπόριο στη Μεσόγειο, η εξελιγμένη μικροτεχνία, η ανακάλυψη ολόκληρου οικισμού στον Ψηλορείτη στα 1.200 μέτρα υψόμετρο (Ζώμινθος) απαιτούσαν μια τεχνολογία αρκετά προωθημένη.

Ο ερευνητής Μηνάς Τσικριτσής, με τη χρήση μαθηματικού αλγόριθμου, έχει αναγνώσει τη Γραμμική Α' Γραφή, βρίσκοντας πως συγγενεύει με τη Γραμμική Β', ενώ το 70% των εγγράφων της Γραμμικής Α' είναι μία πρώιμη Αιολική Γραφή και το 30% είναι σε μία άγνωστη γραφή πιθανόν Λουβική. Τη μελέτη του εξέδωσαν οι εκδόσεις της Βικελαίας Βιβλιοθήκης του Δήμου Ηρακλείου.

Σύμφωνα με τον κ. Τσικριτσή, «Τα αριθμητικά σύμβολα που χρησιμοποιούνται στο δεκαδικό σύστημα της γραμμικής Α' είναι όμοια με εκείνα της γραμμικής Β':


* Η κάθετη γραμμή Ι για τη μονάδα Ι

* Η οριζόντια γραμμή - για τη δεκάδα -

* Η κουκκίδα ή κύκλος για την εκατοντάδα ο

* Το σύμβολο για τη χιλιάδα .ο+

π.χ. ο αριθμός 1224 γραφόταν ο+ ο ο =Ι Ι Ι Ι

Εκτός των ακεραίων αριθμητικών συμβόλων οι Μινωίτες καταγραφείς χρησιμοποιούσαν ένα πολύπλοκο σύστημα κλασματικών σημείων για τα μέτρα των στερεών και ρευστών προϊόντων.

Γι' αυτό το σύστημα ο ίδιος ερευνητής αναφέρει: «Χαρακτηριστικά ο υπάλληλος που απασχολείτο με διανομή των προϊόντων, αν ήθελε να αποδώσει 4 και 3/8 (δηλαδή 4 >7) μονάδες κρασιού, μετρούσε πρώτα 4 ολόκληρα μέτρα, έπειτα το 1/4 και τέλος το 1/8 του μέτρου.

Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα βασικά σύμβολα, όπως συναντώνται στις πινακίδες της γραμμικής Α', που δηλώνουν μεγέθη μέτρησης υγρών και στερεών. Τα περισσότερα έχουν συσχετισθεί, από τον Ε. Bennett και άλλους ερευνητές, με κλασματικά μεγέθη. Στις δύο τελευταίες γραμμές εμφανίζεται ο αντίστοιχος του κλασματικού μεγέθους όγκος σε λίτρα, με αναγωγή στη μονάδα των 144 λίτρων για τα στερεά και των 36 λίτρων για τα υγρά.

Κλασματικά μεγέθη με αναγωγή στη μονάδα μέτρησης

Σύμβολο 7 + > λ >7 < <7 τ <λ

Κλάσμα 1/8 1/5 1/4 1/3 3/8 1/2 5/8 1/6 3/4 5/6

Στερεα 144 18 28,8 36 48 54 72 90 24 108 120

Υγρά 36 4,5 7,2 9 12 13,5 18 25 6 27 30

Για την πολυπλοκότητα των Μινωικών Ανακτόρων και τη χρήση των μαθηματικών, ο κ. Τσικριτσής, επισημαίνει τα εξής: «Στην αρχιτεκτονική κατασκευή των αυλαίων χώρων των ανακτόρων ο W. Graham προσδιόρισε έναν ιερό πόδα 36 εκατοστών (παρατήρησε στην Κνωσό η κεντρική αυλή να έχει διαστάσεις 180Χ90 πόδια, στα Μάλια και Φαιστό 170Χ80 πόδια ενώ στη Ζάκρο 100Χ60 πόδια). Είναι ενδιαφέρον ότι η υποδιαίρεση του ποδιού σε μονάδες (2, 3, 4, 6, 9, 12 και 18) βοηθούσε πιθανόν στις κλασματικές πράξεις».


Μινωικά Μαθηματικά

po-to ku-ro 400+50+2+0,5

ποσσόν ούλο 452,5

ku-ro 31+1 ούlo 31+1

ku-ro 65 ούlo 65

qo-to - ku-ro 97 ποσσόν ούlo 97

Αναλύοντας το σύστημα των Μινωικών Μαθηματικών, ο ίδιος ερευνητής τονίζει: «Σε 32 πινακίδες της γραμμικής Α' υπάρχει, στην τελευταία σειρά, η λέξη ku-ro=χουλο=ούλον, και ακολουθεί το αριθμητικό ποσό, που είναι το άθροισμα των μονάδων που αναγράφονται στις προηγούμενες σειρές. Σε δύο πινακίδες της Αγ. Τριάδας αναγράφεται μερικό άθροισμα με τη λέξη ούλο, και στο τέλος μια γραμμή με τη φράση po-to - ku-ro = po-(s)o- ku-lo, που ερμηνεύεται "ποσόν ούλον" και ακολουθεί το συνολικό άθροισμα των προηγηθέντων μερικών αθροισμάτων».

Το συγκλονιστικό εύρημα

Εκτός των παραπάνω καθημερινών τρόπων καταγραφής των μαθηματικών υπολογισμών των αναγκών της μινωικής γραφειοκρατίας, υπάρχει και ένα μοναδικό εύρημα στην Αγ. Τριάδα (έπαυλη πλησίον της Φαιστού). Στη βορεινή πλευρά του δωματίου, που είχε τοιχογραφίες με παραστάσεις κρίνων και αγριόγατων που κυνηγούν φασιανούς, μία σκάλα οδηγεί σε ένα διάδρομο με τρεις κολώνες. Ο τοίχος του διαδρόμου είχε επίχρισμα, που είχε 3 εγχάρακτες επιγραφές (graffiti). Οι δύο εγχάρακτες επιγραφές αναφέρουν σε γραμμική Α' τις φράσεις: «αισθάνομαι να με διατρέχει η σκέψη του Διός» και «θεραπεία η σκέψη του Διός».

Το μεγαλύτερο ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην τρίτη εγχάρακτη επιγραφή, η οποία φέρει με κλασματικά σύμβολα της γραμμικής Α' τους τέσσερις πρώτους όρους μιας γεωμετρικής προόδου. Το κείμενο της εγχάρακτης επιγραφής παρατηρούμε στην παρατιθέμενη εικόνα. Η μεταγραφή των αριθμητικών σημείων του κειμένου και η μετατροπή τους σε σύγχρονη μορφή είναι η εξής:

1 1½ 21/4 3 1/4 1/8 ta 3 1/6

1 3/2 9/4 27/8 στάν 19/6

Στους παραπάνω όρους της γεωμετρικής προόδου παρατηρούμε ότι επιλύεται ένα σύνθετο κλασματικό πρόβλημα: (1+3/2)+(9/4/27/8) = 19/6. Οπου τα αποτελέσματα των πράξεων αποδίδονται (αντί του=) με την λέξη ta= στάν (αναύξητος επικός τύπος αορίστου β' με σημασία στον Ομηρο ζυγίστηκαν). Αντίστοιχη μορφή μαθηματικών παρατηρούμε την ίδια περίοδο του 16ου π.Χ. αιώνα στον αιγυπτιακό πάπυρο του Rhind. Το πρόβλημα που επιλύει είναι σχετικό με μια γεωμετρική πρόοδο με ακέραια πολλαπλάσια του 7 και στο τέλος ευρίσκει το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων.

Ο πάπυρος Rhing

Το πρόβλημα είναι το εξής: σε 7 σπίτια (pr w) είναι 7 γάτες (myw w), που κάθε μια τρώει 7 ποντίκια (pnw w). Αν κάθε ποντίκι έτρωγε 7 στάχια σίτου (bd t), που αν τα έσπερνε κάποιος, θα παρήγαγαν 7πλάσια μονάδα Hekat, πόσο στάρι σώθηκε. Το αποτέλεσμα (dmd) των πράξεων παρατηρούμε από τον παρατιθέμενο πίνακα, που στο τέλος κάνει την πράξη:

(7+49+343+2301+16807)=19607

Το μαθηματικό πρόβλημα της γεωμετρικής προόδου παρατηρούμε ότι είναι γνωστό στους Αιγυπτίους από τον 16ο αιώνα π.Χ. με ακεραίους αριθμούς και συγκεκριμένα πολλαπλάσια του 7.

Το πρωτότυπο που παρατηρούμε στο εγχάρακτο αριθμητικό κείμενο στον τοίχο του διαδρόμου της Αγ. Τριάδας είναι ότι: περίπου στο 1550 π.Χ. οι Μινωίτες καταγράφουν μία κλασματική γεωμετρική πρόοδο με λόγο 3/2 που σε κανέναν άλλο λαό δεν συναντάται, παρά μόνο ύστερα από 11 αιώνες στα μαθηματικά του Ευκλείδη. Παράλληλα δε επιλύουν ένα σύνθετο μαθηματικό κλασματικό πρόβλημα.

Τη χρονική περίοδο, γύρω στο 16ο αι., οι Μινωίτες, όπως παρατηρούμε αφενός από το εγχάρακτο αριθμητικό κείμενο της Αγ. Τριάδας με την κλασματική γεωμετρική πρόοδο, και αφετέρου από τις λογιστικές πινακίδες με το άθροισμα των μερικών συνόλων προκύπτει ότι είχαν ανακαλύψει σύνθετες μαθηματικές πράξεις. Το φαινόμενο αυτό μπορεί να χαρακτηρισθεί πρωτοποριακό στην παγκόσμια ιστορία των μαθηματικών (τουλάχιστο με τις μέχρι σήμερα γνωστές γραπτές πηγές).

Πρωτότυπο κείμενο

Άραγε πόση πληροφορία έχει χαθεί κατά το πέρασμα του χρόνου?
Σε τι επίπεδο γνώσης θα είχαμε φτάσει τώρα αν δεν αρχίζαμε από το μηδέν αρκετές φορές κατά τη διάρκεια της ιστορίας μας?

[Νάξιος]

Eξαιρετικό το άρθρο, συνάδελφε Wizard!

Μου προκαλεί δέος πως το σύστημα αριθμητικής που περιγράφεται είχε αναπτυχθεί το 16ο αιώνα π.Χ.

Όπως φαίνεται και από το κείμενο υπήρχε και γραφή...  :!:  :idea:

[ManOzzY]

Άραγε πόση πληροφορία έχει χαθεί κατά το πέρασμα του χρόνου?

Όπου τις περισσότερες φορές έχει γίνει επίτηδες από ανθρώπους για να μη χάσουν την εξουσία τους και τη δύναμή τους... βλέπε θρησκευτικούς ηγέτες!!!

[titanomegistoterastios]

Δεν πιστεύω πως φταίει(μόνο)η θρησκεία για όλα....

[O kanenas]

Πάνω απ'όλα, νομίζω, ειναι το συμφέρον. Απλά, η θρησκεία είναι ένας ακόμα τρόπος να πραγματοποιήσουν οι λίγοι το συμφέρον τους.

[ManOzzY]

Δεν πιστεύω πως φταίει(μόνο)η θρησκεία για όλα....

Μα δεν είπα ότι φταίει μόνο η θρησκεία γα όλα.

[antony07]

Ναι,αλλά φταίει για τα περισσότερα!

[Νάξιος]

Μηνάς Τσικριτσής: Πρόσφατα έμαθα ότι έχει γράψει και βιβλίο για την αποκρυπτογράφηση του Δίσκου της Φαιστού.



Ρε μάγγες στο άρθρο φαίνεται ξεκάθαρα ότι οι Μινωίτες είχαν αναπτύξει υψηλού επιπέδου αριθμητικό σύστημα, δεκαδικό σύστημα, πράξεις με κλάσματα, γεωμετρικές προόδους κλπ και έγραφαν , έγραφαν από το 16ο αιώνα π.Χ., δηλαδή το 1.600 π.Χ.  

[drcypher]

Ίσως, αλλά ποτέ δεν θα το μάθουμε... παρεμπιπτόντως, ο 16ος αιώνας π.Χ. είναι 1.600 π.Χ.

[Νάξιος]

Τυπογραφικό λάθος dr γι αυτό και το διόρθωσα...

Γιατί ίσως; Παραθέτω από το άρθρο το σημείο που το αναδεικνύει

Αναλύοντας το σύστημα των Μινωικών Μαθηματικών, ο ίδιος ερευνητής τονίζει: «Σε 32 πινακίδες της γραμμικής Α' υπάρχει, στην τελευταία σειρά, η λέξη ku-ro=χουλο=ούλον, και ακολουθεί το αριθμητικό ποσό, που είναι το άθροισμα των μονάδων που αναγράφονται στις προηγούμενες σειρές. Σε δύο πινακίδες της Αγ. Τριάδας αναγράφεται μερικό άθροισμα με τη λέξη ούλο, και στο τέλος μια γραμμή με τη φράση po-to - ku-ro = po-(s)o- ku-lo, που ερμηνεύεται "ποσόν ούλον" και ακολουθεί το συνολικό άθροισμα των προηγηθέντων μερικών αθροισμάτων».

[antony07]

Αναλύοντας το σύστημα των Μινωικών Μαθηματικών, ο ίδιος ερευνητής τονίζει: «Σε 32 πινακίδες της γραμμικής Α' υπάρχει, στην τελευταία σειρά, η λέξη ku-ro=χουλο=ούλον, και ακολουθεί το αριθμητικό ποσό, που είναι το άθροισμα των μονάδων που αναγράφονται στις προηγούμενες σειρές. Σε δύο πινακίδες της Αγ. Τριάδας αναγράφεται μερικό άθροισμα με τη λέξη ούλο, και στο τέλος μια γραμμή με τη φράση po-to - ku-ro = po-(s)o- ku-lo, που ερμηνεύεται "ποσόν ούλον" και ακολουθεί το συνολικό άθροισμα των προηγηθέντων μερικών αθροισμάτων».

Μήπως τα παραλέμε? Ο ερευνητής λέει αντίστοιχα πράγματα σε αυτό το διαφωτιστικό βίντεο.
Είναι προσωπική πίστη και πεποίθηση (ενώ εύχομαι να γίνει και συλλογική) η ανάπτυξη αυτού του κλάδου της μελέτης των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών,να δημιουργήσει μία νέα ροή στην κατεύθυνση του Μαθηματικού Εφαρμογών. Όπως είδατε παραπάνω ,καθώς και στο σχετικό βίντεο, έχει τρομερές εφαρμογές στην ανάλυση κειμένων!
 :whatever:  :whatever:

[Βραχνός Προφήτης]

Δεν μου φαινονται κ τοσο πρωτοποριακα τα μαθηματικα των μινωιτων, εν συγκρισει με αυτα των αιγυπτιων ή των βαβυλωνιων....Μαλλον το αρθρο εντασσεται στην ελληνοψυχη δημοσιογραφια η οποια παρουσιαζει ακομα κ τα σημεια που υστερουσαν οι αρχαιοι ελληνες ως αποσταγματα σοφιας. Αυτο φαινεται  κ απο το οτι το αρθρο ειναι ανιστορητο, καθως παρουσιαζει καποια ιστορικα δεδομενα αποκομμενα απο την τοτε παγκοσμια εξελιξη, με αποτελεσμα καποιος που δεν γνωριζει την ιστορια των αρχαιων μαθηματικων να εκπλησσεται απο τις ‘ανακαλυψεις’ των μινωιτων. Και εξηγουμαι:
1) ας μην μας ξενιζει οτι εγραφαν απο τον 16ο αιωνα, καθως οι αιγυπτιοι εγραφαν στα ιερογλυφικα απο το 3000πχ και στα ιερατικα απο το 2500πχ, ενω οι μεσοποταμιοι λαοι απο το 2900πχ.
2) εχουν μη θεσιακο συστημα αριθμησης(δηλαδη αλλα συμβολα για τις μοναδες, δεκαδες, εκατονταδες κλπ), οπως κ οι αιγυπτιοι, τη στιγμη που οι βαβυλωνιοι ειχαν κληρονομησει 60κονταδικο(!!!) μη θεσιακο απο τους ασσυριους (χρησημοποιηθηκε απο 2900 εως το 2000πχ) το οποιο μετετρεψαν σε θεσιακο το 1900πχ. Ειναι προφανη τα πλεονεκτηματα του θεσιακου κ μονο απο το γεγονος οτι χρησιμοποιειται κ σημερα,ως 2δικο,10δικο,16δικο κλπ.
3) Τα κλασματα που χρησιμοποιουνται, καθως και οι πραξεις με αυτα,ηταν γνωστα στους αιγυπτιους και κατα πολυ ξεπερασμενα απο τους βαβυλωνιους. Ο παπυρος Rhind(γυρω στο 1900πχ) που αναφερεται στο αρθρο ηταν ενας πληρεστατος πινακας αντιστροφων για ολους τους μονους αριθμους μεχρι το 101! Αντιστοιχα, οι βαβυλωνιοι ηδη απο το 1800πχ ειχαν φτιαξει πινακες αντιστροφων, με αποτελεσμα να μπορουν να βρουν οποιο κλασμα ηθελαν με τον απλο τυπο μ/ν= μ*(1/ν). Μαλιστα, τη στιγμη που οι μινωιτες ‘επαιζαν’ με κλασματα, οι βαβυλωνιοι ηταν οι πρωτοι που ανακαλυψαν τους αρρητους, (με μια πρωτη μορφη του πυθ. Θεωρηματος) κ εβρισκαν προσεγγισεις τους με αριθμητικες μεθοδους.
4) Απο πουθενα δεν προκυπτει οτι οι μινωιτες γνωριζαν τα αθροισματα των γεωμετρικων προοδων κ μαλιστα με τον τροπο που τις γνωριζε ο Ευκλειδης. Το γεγονος οτι ηξεραν τρια κλασματικα αθροισματα απο 4 πρωτους ορους γεωμ. προοδων δεν σημαινει τιποτα, καθως δεν ειχαν κανενα αλγεβρικο τυπο για αυτες. Αντιστροφα, οι βαβυλωνιοι γνωριζαν τα αθροισματα των 1+2+4+8+....+2^ν και 1+4+9+16+...+ν^2 για καθε ν!

Υ.Γ. πραγματικα, δεν βλεπω που ειναι οι ‘συνθετες μαθηματικες πραξεις’ και γιατι να χαρακτηρισθει ‘πρωτοποριακο φαινομενο στην παγκοσμια ιστορια των μαθηματικων’. Αλλωστε ειναι βεβαιο οτι οι μινωιτες ειχαν ερθει σε επαφη τουλαχιστον με τον αιγυπτιακο πολιτισμο, οποτε γνωριζαν μερος των μαθηματικων τους.

Υ.Γ.2 αν οι εληνοψυχοι ιστορικοι θελουν να βρουν ‘συνθετες μαθηματικες πραξεις’ κ ‘πρωτοποριακα φαινομενα στην παγκοσμια ιστορια των μαθηματικων’, ας ψαξουν στα μετα-Θαλη ελληνικα μαθηματικα, αν βεβαια μπορουν να τα καταλαβουν...

[Ευ-Αγγελος]

) ας μην μας ξενιζει οτι εγραφαν απο τον 16ο αιωνα, καθως οι αιγυπτιοι εγραφαν στα ιερογλυφικα απο το 3000πχ και στα ιερατικα απο το 2500πχ, ενω οι μεσοποταμιοι λαοι απο το 2900πχ.

Και οι Έλληνες έγραφαν απο το 3000 π.Χ.
Για παράδειγμα ο κυκλαδικός πολιτισμός.
Κι ακόμα καλύτερα οι Πελασγοί.Ένα απο τα γνωστότερα πρωτοελληνικά φύλλα που έζησε απο το 7000 π.Χ μέχρι και το 2000(αν θυμάμαι καλά) .
Π.Χ. : η ονομασία Υμμητός και πολλές άλλες που έχουν κρατηθεί μέχρι σήμερα είναι ονομασίες Πελασγικές!
Άλλο παράδειγμα είναι τα μεταλλεία χαλκού που χρονολογούνται γύρω στο 7000 π.Χ. και είναι Πελασγικά(νομίζω βρίσκονται στο Λαύριο)

Αντιστοιχα, οι βαβυλωνιοι ηδη απο το 1800πχ ειχαν φτιαξει πινακες αντιστροφων, με αποτελεσμα να μπορουν να βρουν οποιο κλασμα ηθελαν με τον απλο τυπο μ/ν= μ*(1/ν).

Νομίζω πως μου είχε πει ο κ. Καρασμάνης(καθηγητής ιστορίας και φιλοσοφίας των Μαθηματικών στη Σεμφε) πως το συγκεκριμένο τύπο τον πρωτοανακάλυψαν οι πυθαγώρειοι.Αλλά μπορεί και να μη θυμάμαι καλά το συγκεκριμένο.

Υ.Γ. πραγματικα, δεν βλεπω που ειναι οι ‘συνθετες μαθηματικες πραξεις’ και γιατι να χαρακτηρισθει ‘πρωτοποριακο φαινομενο στην παγκοσμια ιστορια των μαθηματικων’. Αλλωστε ειναι βεβαιο οτι οι μινωιτες ειχαν ερθει σε επαφη τουλαχιστον με τον αιγυπτιακο πολιτισμο, οποτε γνωριζαν μερος των μαθηματικων τους.

Ή είχε συμβεί το αντίστροφο.


Τα υπόλοιπα που έγραψες δεν τα γνώριζα.Δεν το είχα μελετήσει ξανά το θέμα.
Ωστόσο , κάπου είχα διαβάσει κι εγώ πως τα μαθηματικά των Βαβυλωνίων ήταν πρωτοποριακά για την εποχή τους.
Αρκεί βέβαια να παρατηρήσουμε την καταπληκτική αρχιτεκτονική τους η οποία υποδηλώνει υψηλές γνώσεις μαθηματικών.

[Νάξιος]

Αναλύοντας το σύστημα των Μινωικών Μαθηματικών, ο ίδιος ερευνητής τονίζει: «Σε 32 πινακίδες της γραμμικής Α' υπάρχει, στην τελευταία σειρά, η λέξη ku-ro=χουλο=ούλον, και ακολουθεί το αριθμητικό ποσό, που είναι το άθροισμα των μονάδων που αναγράφονται στις προηγούμενες σειρές. Σε δύο πινακίδες της Αγ. Τριάδας αναγράφεται μερικό άθροισμα με τη λέξη ούλο, και στο τέλος μια γραμμή με τη φράση po-to - ku-ro = po-(s)o- ku-lo, που ερμηνεύεται "ποσόν ούλον" και ακολουθεί το συνολικό άθροισμα των προηγηθέντων μερικών αθροισμάτων».

Μήπως τα παραλέμε? Ο ερευνητής λέει αντίστοιχα πράγματα σε αυτό το διαφωτιστικό βίντεο.
Είναι προσωπική πίστη και πεποίθηση (ενώ εύχομαι να γίνει και συλλογική) η ανάπτυξη αυτού του κλάδου της μελέτης των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών,να δημιουργήσει μία νέα ροή στην κατεύθυνση του Μαθηματικού Εφαρμογών. Όπως είδατε παραπάνω ,καθώς και στο σχετικό βίντεο, έχει τρομερές εφαρμογές στην ανάλυση κειμένων!
 :whatever:  :whatever:

Τι σχέση έχει αυτό με τα Μαθηματικά των Μινωιτών;Πώς λένε τα ίδια πράγματα Τσακριτσής και Αργυρόπουλος;Μην τα ισοπεδώνουμε όλα...

Καταρχάς η παράγραφος αυτή είναι από το αρχικό post του Wizard βασιμένο από το δημοσίευμα μιας εφημερίδας.

Κατά δεύτερον σκοπός μου δεν ήταν να αναδειχθεί το μαθηματικό υπόβαθρο των Μινωιτών. Σκοπός μου ήταν να φανεί ότι ελληνικά φύλλα γνώριζαν γραφή από το 16ο αιώνα π.Χ και έτσι να αποδειχθεί  ότι είναι εσφαλμένη η άποψη ότι η γραφή έγινε γνωστή στους Έλληνες το 8ο αιώνα π.Χ. όπως μαθαίναμε στο σχολείο.  

                                       :DevilFlames:

[Βραχνός Προφήτης]

Νομίζω πως μου είχε πει ο κ. Καρασμάνης(καθηγητής ιστορίας και φιλοσοφίας των Μαθηματικών στη Σεμφε) πως το συγκεκριμένο τύπο τον πρωτοανακάλυψαν οι πυθαγώρειοι.Αλλά μπορεί και να μη θυμάμαι καλά το συγκεκριμένο.

Μαλλον δεν θυμασαι καλα! Ειδικα ο Καρασμανης αποκλειεται να ειπε κατι τετοιο! Μιας κ το ανεφερες παντως, αφενος ξερουμε πολυ λιγα για τους πυθαγορειους (διοτι ηταν τρομερα μυστικιστες, στα ορια του θρησκευτικου ταγματος), αφετερου δεν ειμαστε βεβαιοι για αυτα, καθως ειδικα οι νεοπυθαγορειοι (γυρω στο 100μχ) ειχαν την ταση να αποδιδουν τα παντα στον πυθαγορα! Επιπλεον, η πρωτη αλγεβρα που χρησιμοποιουσανε ('αλγεβρα των ψηφων') δεν σου δινει τη δυνατοτητα κατασκευης αντιστροφων, ενω μετα την ανακαλυψη της ασυμμετριας ειχαν τοσα προβληματα που αποκλειεται να ασχληθηκαν με κατι τοσο τετριμμενο!

Αλλωστε ειναι βεβαιο οτι οι μινωιτες ειχαν ερθει σε επαφη τουλαχιστον με τον αιγυπτιακο πολιτισμο, οποτε γνωριζαν μερος των μαθηματικων τους.

Ή είχε συμβεί το αντίστροφο.

Προφανως κ οι μεν γνωριζαν τι εκαναν οι δε! Αλλα το αρχαιοτερο σωζομενο τεκμηριο για τα μαθηματικα που περιγραφει το αρθρο, αξιολογειται για τους αιγυπτιους στα 1900πχ κ για τους μινωιτες στα 1600πχ! Μαλλον ειναι προφανες ποιος επηρεασε ποιον....

Ωστόσο , κάπου είχα διαβάσει κι εγώ πως τα μαθηματικά των Βαβυλωνίων ήταν πρωτοποριακά για την εποχή τους.

Απο τα λιγα που εχω διαβασει, δεν θα τα χαρακτηριζα πρωτοποριακα, αλλα εφαρμοσμενα! Στην ουσια, τα προ-Θαλη μαθηματικα (οποιουδηποτε πολιτισμου), απαντουσαν μονο σε προβληματα της καθημερινοτητας, πχ πως βρισκω το εμβαδο μιας εκτασης, αλλοτε με ακριβεια κ αλλοτε προσεγγιστικα. Η πραγματικη πρωτοπορια ηταν η εισαγωγη της εννοιας της αποδειξης (εστω και σε πρωτολεια μορφη) απο τον Θαλη, οπου τα ερωτηματα των μαθηματικων μετατοπιστηκαν απο το 'πως' στο 'γιατι'.