Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Δευ Οκτ 05, 2009 4:31 pm

Φαίνεται εύκολα ε;

Eίναι ιδιότητα αύτο; Πρώτη φορά το βλέπω.

Δευ Οκτ 05, 2009 5:03 pm

Αν αντικαταστήσεις τις ψ1 και ψ3 στην φ(x,0) θα έχεις μόνο τα x^4 και δυο x^2. Επομένως η φ(x,0) είναι γραμμικός συνδυασμός των ψ0, ψ2 και ψ4. Τα a, b και c δεν χρειάζεται καν να τα υπολογίσεις για να πεις ότι p1=p3=0.

Δευ Οκτ 05, 2009 7:11 pm

Kαλόοοοοοο....

Τρί Οκτ 06, 2009 6:37 pm

apolski έγραψε:Βασικά το 4.5 ήταν πολύ εύκολο ερώτημα και δεν χρειαζόταν να κάνεις πράξεις. Εύκολα φαίνεται ότι:
$\Phi(x,0)=x \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} \psi_{1}(x) + x \cdot \sqrt{\frac{5}{6}} \psi_{3}(x)=a\psi_0+b\psi_2+c\psi_4$

όπου a,b,c σταθερές, διάφορες του μηδενός. Επομένως

$P_1=P_3=0$

Ακριβώς αυτό ήθελα να δω. Το έφερες στη βάση της χαμιλτονιανής

Επομένως οι πιθανότητες είναι τα τετράγωνα των συντελεστών. Για να μαθαίνουμε και εμείς αλλά και οι νεώτεροι, δεν δίνεις λίγο τις λύσεις της Shroendiger για τον Α.Τ ; (τις ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής εκπεφρασμένες ως προς x, ώστε να φανεί η λύση αμέσως).

Cheers,
Νίκος

P.S: Αν θέλετε ν κοιτάξουμε και κανένα άλλο θέμα, πείτε

Πότε δίνετε το μάθημα;

Τρί Οκτ 06, 2009 7:18 pm

Βασικα τις πεντε πρωτες ιδιοσυναρτησεις στο φυσικο συστημα μοναδων (h=m=ω=1) μποορεις να τις δεις στο βιβλιο του Τραχανα στη σελιδα 293.

$\psi_{n}(x)=H_n(x) e^{-x^2/2}$

Το μαθημα νομιζω οτι το δωσανε σημερα.

Τρί Οκτ 06, 2009 7:42 pm

Ναι, αλλά θα ήθελα λιγάκι και τα πολυώνυμα Hermite για τις 5 πρώτες ιδιοσυναρτήσεις, ώστε να δούμε καθαρά τα ιδιοδιανύσματα της Χαμιλτονιανής!

Το ξέρω οτι τα έχει ο Τραχανάς, μα εδώ στη Γενεύη δεν τα έχω πρόχειρα..γιαυτό ζήτησα τη μορφή

Ας ανεβάσει κάποιος τα θέματα να δούμε τι έβαλαν!

Τρί Οκτ 06, 2009 8:57 pm

$\psi_0(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{\pi}} e^{-x^2/2}$

$\psi_1(x)=\sqrt[4]{\frac{4}{\pi}} x e^{-x^2/2}$

$\psi_2(x)=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{\pi}} (2x^2-1) e^{-x^2/2}$

$\psi_3(x)=\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt[4]{\pi}} (2x^3-3x) e^{-x^2/2}$

$\psi_4(x)=\frac{1}{2\sqrt{6}\sqrt[4]{\pi}} (4x^4-12x^2+3) e^{-x^2/2}$

Επειδή στο βιβλίο του Τραχανά και στο πλαίσιο του μαθήματος Κβαντομηχανική Ι δεν διδάσκεται ο μαθηματικός φορμαλισμός της Κβαντομηχανικής που χρησιμοποιείται διεθνώς (φορμαλισμός του Dirac, χώρος Hilbert κτλ.) μπορείς να πεις δυο λογάκια για αυτά? Γιατί δεν καταλαβαίνω κάποιες έννοιες που χρησιμοποιείς, όπως η βάση της Χαμιλτονιανής.
Αν κατάλαβα καλά οι ιδιοσυναρτήσεις ψn(x) αποτελούν τη βάση του χώρου Hilbert ο οποίος είναι ένα σύνολο των κυματοσυναρτήσεων ψ. Αλλά όταν λες “εκπεφρασμένα στη βάση της Χαμιλτονιανης” τι εννοείς ακριβώς?

Τετ Οκτ 07, 2009 7:38 pm

Επειδή στο βιβλίο του Τραχανά και στο πλαίσιο του μαθήματος Κβαντομηχανική Ι δεν διδάσκεται ο μαθηματικός φορμαλισμός της Κβαντομηχανικής που χρησιμοποιείται διεθνώς (φορμαλισμός του Dirac, χώρος Hilbert κτλ.) μπορείς να πεις δυο λογάκια για αυτά? Γιατί δεν καταλαβαίνω κάποιες έννοιες που χρησιμοποιείς, όπως η βάση της Χαμιλτονιανής.
Αν κατάλαβα καλά οι ιδιοσυναρτήσεις ψn(x) αποτελούν τη βάση του χώρου Hilbert ο οποίος είναι ένα σύνολο των κυματοσυναρτήσεων ψ. Αλλά όταν λες “εκπεφρασμένα στη βάση της Χαμιλτονιανης” τι εννοείς ακριβώς?

Χίλια συγγνώμη. Νόμιζα οτι ήσασταν εξοικειωμένοι με αυτό, θα επανορθώσω αμέσως! Θα προσπαθήσω να το πω όσο πιο απλά γίνεται.

Ας υποθέσουμε οτι η Χαμιλτονιανή ενός συστήματος είναι ένας πίνακας. Συνήθως, στο μαθηματικό φορμαλισμό της κβαντομηχανικής (που θα κάνετε μάλλον στην Κβάντο ΙΙ), επειδή μας βολεύει στην άλγεβρα, χρησιμοποιούμε ΠΙΝΑΚΕΣ για να αναπαριστούμε τελεστές

Άρα λοιπόν, ας υποθέσουμε οτι η Χαμιλτονιανή είναι ένας πίνακας. ΟΚ ως εδώ;

Από την Γραμμική άλγεβρα γνωρίζω οτι ΠΑΝΤΑ ισχύει η εξίσωση ιδιοτιμών, η οποία στη γλώσσα της κβαντομηχανικής είναι:

Τελεστής $\times$ ιδιοδιάνυσμα = ιδιοτιμή (του τελεστή) $\times$ ιδιοδιάνυσμα.

( Πολύ πιθανόν το "ιδιοδιάνυσμα" να το συναντήσεις στη βιβλιογραφία και σαν "ιδιοσυνάρτηση". Είναι το ίδιο πράγμα, γιατί οι συναρτήσεις αντιμετωπίζονται και αυτές σαν διανύσματα. )

Η "βάση" της χαμιλτονιανής, δεν είναι τίποτα παραπάνω από το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων της

Και για να γίνω πιο σαφής, αν η χαμιλτονιανή είναι ένας πίνακας $2 \times 2$ , τότε έχει δύο ιδιοτιμές, και δύο ιδιοδιανύσματα. Π.Χ, σου λέω εγώ οτι η χαμιλτονιανή σου είναι:

$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)$

πρώτα βρίσκεις ιδιοτιμές (με διαγωνοποίηση, χαρακτηριστικό πολυώνυμο κλπ) ο συγκεκριμένος πίνακας είναι πανεύκολος, και άρα οι ιδιοτιμές του είναι $\pm 1$ , και στη συνέχεια, λύνοντας την εξίσωση ιδιοτιμών, βρίσκεις τα ιδιοδιανύσματα (που σε αυτήν την περίπτωση είναι τα:

$\left(\begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$

και

$\left(\begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$

Επομένως, η βάση της χαμιλτονιανής μας είναι τα δύο διανυσματάκια που βρήκαμε παραπάνω

Φαντάσου τώρα πως, όταν έχεις ένα αρκετά πιο πολύπλοκο πίνακα, με $n \times n$ πίνακα χαμιλτονιανής, θα έχεις n ιδιοτιμές, και n ιδιοδιανύσματα! Άρα λοιπόν, στην περίπτωση π.χ του Α.Τ, η βάση της χαμιλτονιανής, δεν είναι τίποτα άλλο από τις ιδιοσυναρτήσεις της χαμιλτονιανής (τα ιδιοδιανύσματα της χαμιλτονιανής), αυτά δηλαδή που ικανοποιούν την εξίσωση ιδιοτιμών της χαμιλτονιανής, που στη δική σου περίπτωση, μάντεψε ποια είναι: (

)

$H \cdot \psi_{n} = E_{n} \cdot \psi_{n}$

Αυτό που ήθελα να πω είναι, ότι, αν δεν έχεις την ΤΥΧΑΙΑ τώρα κατάσταση, εκπεφρασμένη στη βάση της χαμιλτονιανής, δηλαδή σαν γραμμικό συνδυασμό των ιδιοδιανυσμάτων της χαμιλτονιανής, ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙΣ να βγάλεις συμπέρασμα για πιθανότητες. Γιατί οι πιθανότητες εμφάνισης ΕΝΕΡΓΕΙΩΝ, έχουν μόνο νόημα, όταν ικανοποιείται η εξίσωση ιδιοτιμών (== η Shrondiger στην περίπτωση μας

) , και για να ικανοποιείται η εξίσωση ιδιοτιμών, πρέπει φυσικά να έχεις ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένο πίνακα (== τελεστή), και αυτά δεν είναι άλλα, από τα ιδιοδιανύσματα της Χαμιλτονιανής σου. Με άλλα λόγια, πρέπει πάντα να βρίσκεσαι στην βάση της χαμιλτονιανής, και αν δεν είσαι, πρέπει να έρθεις

Ελπίζω να βοήθησα,
Χαιρετισμούς,
Νίκος

Σάβ Οκτ 24, 2009 2:44 am

το χαρτί έξω από την πόρτα της παπαδοπούλου λέει ότι τα αποτελέσματα θα βγουν στις 5/11 (μέχρι νεωτέρας αναβολής

)

Σάβ Οκτ 24, 2009 4:51 pm

μην αγχώνεστε.....................μέχρι τις εγγραφές του εαρινού εξαμήνου έχουμε καιρό

Πέμ Νοέμ 05, 2009 5:11 pm

Παιδιά μήπως πέρασε κανείς απο το γραφείο της κ. Παπαδοπούλου να δει αν τυχόν (λέμε τώρα) βγήκανε τα αποτελέσματα?

Πέμ Νοέμ 05, 2009 5:45 pm

Άλλαξε η ημερομηνία για 10/11 λόγω φόρτου εργασίας

Τρί Νοέμ 10, 2009 12:56 pm

βγήκαν ή άλλαξε η ημερομηνία λόγω φόρτου εργασίας;

Τρί Νοέμ 10, 2009 3:42 pm

Πέρασα στις 3 και είπε ότι θα τα βγάλει σε 2 ώρες...Αναμένουμε...

Τρί Νοέμ 10, 2009 8:28 pm

Μέχρι τις 4 δεν είχαν βγει... Μάλλον λόγω φόρτου εργασίας

ΣΕΜΦΕ forum

Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)

Re: Φυσική IV (Κβαντομηχανική Ι)