Ένα πρόβλημα πιθανοτήτων

[papagalakos]

Έχουμε τρεις πόρτες, την Α, τη Β και τη Γ. Πίσω απ' τις δύο υπάρχει μια κατσίκα, ενώ πίσω απ' την τρίτη υπάρχει ένα αυτοκίνητο.
Διαλέγουμε μια πόρτα. Έστω την Β.
Ο εκφωνόν μας ενημερώνει ότι στη Γ υπάρχει κατσίκα. Μας προτείνει τώρα να αλλάξουμε πόρτα άμα θέλουμε.
Το ερώτημα είναι, θα αλλάξεις την πόρτα σου με την Α;

Απάντηση:
Αν θες να μεγιστοποιήσεις τις πιθανότητες τότε θα πρέπει να αλλάξεις την πόρτα. Αυτό γιατί εσύ διάλεξες τη Β με ποσοστό επιτυχίας 33,3%. Με τα νέα δεδομένα (ότι η Γ έχει κατσίκα και άρα βγαίνει απ' το παιχνίδι), οι νέες πιθανότητες είναι 66,6% να είναι στην Α και 33,3% να είναι στη Β, που έχουμε.

Θα ήθελα κάποιο σχόλιο γιατί εγώ διαφωνώ με την συλλογιστική της απάντησης του προβλήματος.

[apolski]

http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

Αν εχεις το κατσικη #1 σε συμφερει να αλλαξεις την πορτα. Το ιδιο ισχυει και στην περιπτωση που εχεις κατσικι #2. Ομως η αρχικη πιθανοτητα να επιλεξεις κατσικη ειναι 2/3. Επομενως αν αλλαξεις μετα την επιλογη σου, η πιθαντητα να κερδισεις αμαξι ειναι 2/3.

[pao132003]

το έχει και ο φουσκάκης στο site του, http://www.math.ntua.gr/~fouskakis/MoreExercises.pdf είναι η τρίτη άσκηση, το δίλημμα του τηλεοπτικού παίκτη.
οπότε, αν έχεις κάποια αντίρρηση στη λύση, να πας να του το πεις, να μην έχει λάθος λύση στο site του ο άνθρωπος.

[Slym]

Έτσι όπως το λέει ο apolski είναι.Σκέψου το εξής όμως αν κολλάς κάπου.Αν έχεις 100 πόρτες , οι 99 με κατσίκες από πισω και πίσω από μία το αυτοκίνητο.Διαλέγεις μια , άρα έχεις πιθανότητα 1/100 να υπάρχει αυτοκίνητο από πίσω.Ο εκφωνητής ανοίγει 98 άλλες πόρτες με κατσίκες και σε ρωτάει τώρα τί κάνεις;Η πιθανότητα είναι 99/100 να είναι πίσω από την άλλη πόρτα το αυτοκίνητο.

[O kanenas]

Off Topic

[quote="Slym"]Αν έχεις 100 πόρτες , οι 99 με κατσίκες από πισω και πίσω από μία το αυτοκίνητο.[/quote]Το ωραίο στα μαθηματικά είναι το σουρεάλ της υπόθεσης

[o_apolytos]

το αυτοκίνητο τί μάρκα είναι;

[Nasia!]

ξερετε ποσο εχουν παει οι κατσικες στις μερες μας???

[Hengeo]

Το κλειδί είναι ότι ο παρουσιαστής δεν ανοίγει στην τύχη (διότι τότε θα μπορούσε να ανοίξει και το αυτοκίνητο) αλλά επιλέγει γνωρίζοντας. Το γεγονός αυτό μας δίνει κάποια πληροφορία, και για αυτό αντί για την πλήρη αβεβαιότητα του 50%-50% στις δύο πόρτες, έχουμε το 66%-33%. Πιο αναλυτικά το θέμα παρουσιάζεται στον σύνδεσμο που έστειλε ο apolski.

[papagalakos]

Στη λογική των πιθανοτήτων καταλαβαίνω πως λειτουργεί. Απλώς αμφισβητώ τη σοβαρότητά τους. Μάλιστα έχω ένα φίλο μαθηματικό που δεν αναγνωρίζει καν σαν μαθηματικά τις πιθανότητες.
Αν έχουμε μια και μόνο πόρτα κι από πίσω ένα αμάξι (φεράρι για να μην κλαίει και ο lunatic), τότε η πιθανότητα να το βρεί κάποιος είναι 100%.
Αν θέσουμε το ίδιο πρόβλημα σε δύο διαφορετικούς ανθρώπους, όπου στον ένα δώσουμε 10 πόρτες και στον άλλο 100, (τυχαία τα νούμερα), τότε για τον έναν η πιθανότητα να το βρεί είναι 10%, για τον άλλο 1%. Αυτό όμως είναι πλασματικό αφού το αυτοκίνητο δεν γνωρίζει από πιθανότητες και θα είναι στη θέση του ό,τι και να γίνει.
Επί του προβλήματος τώρα. Η λογική της απάντησης θα ήταν βάσιμη αν είχαμε νέα κατανομή. Έχοντας τρεις πόρτες η πιθανότητα είναι 33,3%. Ξέρωντας τι έχει η μια πόρτα δεν αλλάζει το γεγονός ότι η πόρτα μας έχει 33,3%. Η πιθανότητα έχει να κάνει με το πλήθως των επιλογών κι όχι με το αν εμείς γνωρίζουμε κάτι. Από την αρχή λοιπόν το αυτοκίνητο βρίσκεται σε μια και μόνο μια θέση, και αυτό είναι ανεξάρτητο από πιθανότητες. Αν η επιστήμη των πιθανοτήτων λέει ότι τώρα οι πιθανότητες είναι 66,6% για την Α και 33,3% για τη δικιά μας, εγώ λέω ότι για έναν φίλο μας που εμφανίζεται εκείνη τη στιγμή η πόρτα μας πάει ξαφνικά στο 50% (και 50% η Α), δηλαδή αυξήθηκαν οι πιθανότητες να βρίσκεται στη πόρτα μας το αμάξι χωρίς εμείς να κάνουμε τίποτε και χωρίς κανένα νέο δεδομένο.
Η πλάνη είναι παρόμοια με αυτή των μέσων όρων. Μέση ταχύτητα π.χ. 50 χλμ. την ώρα. Και μπορεί το αυτοκίνητο να πέρασε στιγμιαία από τα 50 χλμ. την ώρα.

edit: Επαναδιατυπώνω ένα σημείο παραπάνω. Οι τρείς πόρτες έχουν στην αρχή πιθανότητα επιτυχίας 33,3%. Το ποσοστό αυτό δεν αλλάζει μετά την ενημέρωσή μας για την Γ πόρτα. Δηλαδή 33,3% έχει η Α, 33,3% η δικιά μας, και 33,3% πιθανότητες να είναι στην Γ που έχει την κατσίκα. Το ότι ξέρουμε τι υπάρχει από πίσω δεν σημαίνει ότι η πιθανότητα δεν είναι 1 σε πλήθως τρία. Αν τώρα κάποιος πει "μα τη Γ την αγνοούμε", τότε έχουμε νέο πρόβλημα με 50% για την Α και 50% για τη δικιά μας.

Υ.Γ. Ενδιαφέρον πείραμα θα ήταν να γίνει η διαδικασία του προβλήματος στην πράξη, για πολύ μεγάλο πλήθως δοκιμών, όπου νομίζω σύμφωνα με τη θεωρία των μεγάλων αριθμών θα πρέπει να επαληθευτεί, αν ισχύει, ότι κατά προσέγγιση η πόρτα Α εμφάνισε διπλάσιες φορές το αυτοκίνητο από τη δικιά μας πόρτα.

[timos_m]

Παπαγαλάκο έλεος! Αυτά που λες είναι πιο αστεία κι απ' τις θεωρίες του Τσόλκα! Αστεία στην περίπτωση που τρολάρεις.. Αλλιώς είσαι απλώς εκνευριστικός. Δεν έκανες καν τον κόπο να κοιτάξεις τη wikipedia που σου έδωσαν ως μασημένη τροφή πιο πάνω και κάθεσαι και μας εξηγείς τη λανθασμένη σκέψη σου ενώ ήδη σου έχει δοθεί απάντηση! Δεν είναι φιλοσοφικό το ζήτημα! Κάποια πράγματα έχουν αντικειμενική απάντηση. Διάβασε στη wikipedia. Πιο μεγάλη ανάλυση δε θα μπορούσε να γίνει. Αν δεν την καταλάβεις, έλα και παραδέξου πως είσαι χαζός, μην έρθεις και ξαναπείς όμως σε forum σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ότι αμφισβητείς τη σοβαρότητα της πράξης 1+1=2 ή οτιδήποτε ανάλογο.

[papagalakos]

για έναν φίλο μας που εμφανίζεται εκείνη τη στιγμή η πόρτα μας πάει ξαφνικά στο 50% (και 50% η Α), δηλαδή αυξήθηκαν οι πιθανότητες να βρίσκεται στη πόρτα μας το αμάξι χωρίς εμείς να κάνουμε τίποτε και χωρίς κανένα νέο δεδομένο.

Αυτό δηλαδή τώρα εσύ το λες σοβαρή επιστήμη;

[timos_m]

Όχι. Αν μες στο quote ήταν κάτι σύμφωνο με τη θεωρία των πιθανοτήτων, θα το έλεγα όμως. Κοινώς, αυτό που γράφεις είναι λάθος.

[Chris]

Παπαγαλάκο έλεος! Αυτά που λες είναι πιο αστεία κι απ' τις θεωρίες του Τσόλκα! Αστεία στην περίπτωση που τρολάρεις.. Αλλιώς είσαι απλώς εκνευριστικός. Δεν έκανες καν τον κόπο να κοιτάξεις τη wikipedia που σου έδωσαν ως μασημένη τροφή πιο πάνω και κάθεσαι και μας εξηγείς τη λανθασμένη σκέψη σου ενώ ήδη σου έχει δοθεί απάντηση! Δεν είναι φιλοσοφικό το ζήτημα! Κάποια πράγματα έχουν αντικειμενική απάντηση. Διάβασε στη wikipedia. Πιο μεγάλη ανάλυση δε θα μπορούσε να γίνει. Αν δεν την καταλάβεις, έλα και παραδέξου πως είσαι χαζός, μην έρθεις και ξαναπείς όμως σε forum σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ότι αμφισβητείς τη σοβαρότητα της πράξης 1+1=2 ή οτιδήποτε ανάλογο.

Νευράκια???
Γιατί εγώ πιστεύω πως...

[ex8ros tou malaka]

Οι πιθανότητες δεν σου δείχνουν τι θα σου τύχει, αλλά τι είναι πιο πιθανό να σου τύχει. Αρκετές φορές όμως το πιθανό δεν έρχεται και καταντάει απίθανο! Μπορεί ας πούμε ο τύπος να σου λέει ότι αφού έχει στις 2 από τις 3 πόρτες κατσίκες, τότε έχεις περισσότερες πιθανότητες να έχεις πέσει σε κατσίκα, οπότε αν αλλάξεις πόρτα όταν θα έχει φύγει η μια κατσίκα, έχεις περισσότερες πιθανότητες να πέσεις στο αυτοκίνητο. Παρ' όλα αυτά υπάρχει η πιθανότητα, έστω και πολύ μικρή, να διαλέξεις 100 φορές πόρτα και να διαλέξεις και τις 100 αυτήν με το αυτοκίνητο. Το ότι κάτι είναι πιο πιθανό δεν σημαίνει ότι και θα συμβεί.

[apolski]

για έναν φίλο μας που εμφανίζεται εκείνη τη στιγμή η πόρτα μας πάει ξαφνικά στο 50% (και 50% η Α), δηλαδή αυξήθηκαν οι πιθανότητες να βρίσκεται στη πόρτα μας το αμάξι χωρίς εμείς να κάνουμε τίποτε και χωρίς κανένα νέο δεδομένο.

Αυτό δηλαδή τώρα εσύ το λες σοβαρή επιστήμη

Ναι, γιατι οχι? Για τον φιλο σου θα ειναι 50-50 γιατι αυτος δεν εχει τις επιπλεον πληροφοριες που εχεις εσυ. Αυτο ονομαζεται υποκειμενικη πιθανοτητα.