Θέματα Μαθηματικών

[Hengeo]

Ομολογώ ότι κάπου σε έχασα

Σε ένα βιβλίο ανάλυσης που έχω, αναφέρει την εξής πρόταση:

Κάθε μονότονη και φραγμένη ακολουθία συγκλίνει στο αντίστοιχο ανώτερο ή κατώτερο πέρας του πεδίου τιμών της.

Η συνθήκη (μονότονη και φραγμένη) είναι όντως μόνο ικανή (και όχι αναγκαία), υπό την έννοια ότι μπορεί να υπάρχει συγκλίνουσα ακολουθία που να μην την ικανοποιεί. Άπαξ όμως και μία ακολουθία την ικανοποιεί συγκλίνει, αυτό σημαίνει ικανή.

Εκτός αν εννοείς κάτι άλλο..

[apolski]

Και πως ακριβως θα δειξεις οτι ειναι μονοτονη και φραγμενη (που μπορει και να μην ειναι)?

[1/2rizax]

Το ότι είναι φραγμένη φαίνεται άμεσα από τον επαγωγικό τύπο. Ένα άνω φράγμα είναι το . Όμως, όπως έγραψε και ο νικ, η ακολουθία δεν είναι κατ' ανάγκην μονότονη, πράγμα το οποίο επίσης φαίνεται από την επαγωγική ανισότητα. Έχει όμως 2 πολύ όμορφες υπακολουθίες που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του hengeo.

[kostas.m]

Έστω .
Τότε κάτω φραγμένη και . Άρα η είναι φθίνουσα και φραγμένη, άρα συγκλίνει και άρα και η συγκλίνει.

[Hengeo]

Έχετε δίκιο δεν είναι μονότονη, μου είχε σκαλώσει αυτή η εντύπωση για κάποιο λόγο.

Επειδή όμως είμαι λίγο πεισματάρης και δεν έχω το κουράγιο να το σκεφτώ άλλο, από που έπεται ότι αν συγκλίνει η b_n που όρισε ο kostas.m συγκλίνει η α_n;

[apolski]

Σου λεει οτι οποτε και

[kostas.m]

Έχετε δίκιο δεν είναι μονότονη, μου είχε σκαλώσει αυτή η εντύπωση για κάποιο λόγο.

Επειδή όμως είμαι λίγο πεισματάρης και δεν έχω το κουράγιο να το σκεφτώ άλλο, από που έπεται ότι αν συγκλίνει η b_n που όρισε ο kostas.m συγκλίνει η α_n;

Καλά κάνεις και ρωτάς . Είναι πολύ σημαντικό να ρωτάμε ακόμα και τα πιο τετριμένα, οπότε από το post του apolski βλέπεις ότι η a_{n} γράφεται σαν άθροισμα δυο συγκλινουσών ακολουθιών, άρα συγκλίνει

[apolski]

Ισχυρίζομαι ότι
ισχύει ο ισχυρισμός ή όχι?

Αυτο ισχυει? Στο πρωτο μελος αθροιζονται μονο οι ρητοι αριθμοι σε αντιθεση με το δευτερο μελος. Η υπαρξη του ολοκληρωματος για κ>0 μας λεει οτι η ακολουθια συγκλινει για κ>0.

[Hengeo]

Όντως, ρωτώντας μαθαίνει κανείς. Ευχαριστώ για την απάντηση

[NickNafplio]

Ωραία η λύση του Κώστα. Αυτό που ήθελα να πω είναι ότι η ακολουθία α_ν μπορεί και να μην είναι μονότονη, οπότε το να δείξεις ότι είναι μονότονη είναι αδύνατο.
Η λύση που είχα υπ όψην όταν έδωσα το hint είναι η ακόλουθη (αλλά αυτή του Κώστα είναι ακόμα πιο γρήγορη):
α_ν < α_(ν-1) + 1/ν^2 < α_(ν-1) + 1/ν*1/(ν-1) = 1/(ν-1) - 1/ν + α_(ν-1). Άρα η α_ν + 1/ν είναι φθίνουσα και κάτω φραγμένη και συγκλίνει. Και αφου 1/ν πάει στο 0, η α_ν πάει στο ίδιο όριο με την α_ν + 1/ν.
Η λύση του Κώστα με το ολοκλήρωμα στο άλλο πρόβλημα με το όριο, είναι επίσης σωστή. Το όριο είναι άθροισμα Riemman ολοκληρώσημης συνάρτησης και δεν έχει σημασία που οι όροι του είναι ρητοί, διότι το ολοκλήρωμα είναι ένα όριο και όχι ένα συνεχές άθροισμα, ενώ έτσι κι αλλιώς στα μαθηματικά δεν ορίζεται "συνεχές άθροισμα" πάνω σε διάστημα πραγματικών



Συνεχίζουμε με μερικά ακόμα σχετικά απλά (για ολυμπιακό επίπεδο πάντα) προβληματάκια με σύντομες λύσεις από την περσινή προετοιμασία για τον seemous:

1) Έστω f θετική και ολοκληρώσημη συνάρτηση, δείξτε ότι αν το γενικευμένο ολοκλήρωμα:

συγκλίνει, τότε η ακολουθία

συγκλίνει στο 0



2) Έστω n ακέραιος μεγαλύτερος του 1 και f(x,y) συνάρτηση ώστε

Για ποιές τιμές του n υπάρχει υποχρεωτικά συνάρτηση g μιας μεταβλητής ώστε
?



3) Έστω A,B πραγματικοί πίνακες ώστε

Δείξτε ότι




4)
Έστω 1-1 και επί συνάρτηση από το Ν* στο Ν*.
α) Να εξεταστεί αν η σειρά:

συγκλίνει πάντα η αποκλείνει πάντα.
β) Τι μπορείτε να πείτε για τη σειρά:
?

[apolski]

3) Έστω A,B πραγματικοί πίνακες ώστε

Δείξτε ότι

[A,B]=0 ή B=I

Επομενως [A,B]=0.

[NickNafplio]

3) Έστω A,B πραγματικοί πίνακες ώστε

Δείξτε ότι

[A,B]=0 ή B=I

Επομενως [A,B]=0.

Δεν κατάλαβα τίποτα
Τι συμβολίζει το [Α,Β]?
Πρώτη φορά βλέπω αυτό το σύμβολο στη γραμμική άλγεβρα

[apolski]

[A,B]=AB-BA

http://en.wikipedia.org/wiki/Commutator

[NickNafplio]

Υπαρχει λαθος στο τελος ομως. Το οτι ειναι 0 το γινομενο 2 πινακων δε σημαινει οτι ενας τουλαχιστον ειναι 0, αλλα οτι η εικονα της μιας απεικονησης ειναι υποσυνολο του πυρινα της αλλης.
Μπορεις ομως να το κανεις αυτο αν δειξεις οτι καποιος αντιστρεφεται. Μπορεις να το σωσεις λοιπον δειχνοντας οτι το 1 δεν ειναι ιδιοτιμη του Β

[Hengeo]

1) Έστω f θετική και ολοκληρώσημη συνάρτηση, δείξτε ότι αν το γενικευμένο ολοκλήρωμα:

συγκλίνει, τότε η ακολουθία

συγκλίνει στο 0



2) Έστω n ακέραιος μεγαλύτερος του 1 και f(x,y) συνάρτηση ώστε

Για ποιές τιμές του n υπάρχει υποχρεωτικά συνάρτηση g μιας μεταβλητής ώστε
?

Για το 2. Για κάθε n > 1. Απόδειξη: Έστω ότι υπάρχουν x, y στο R ώστε f(x,y) διάφορο του g(x) - g(y). Τότε, για κάποια από τα σύνολα , θα ισχύει ότι για τα παραπάνω x και y. Τότε θα έχουμε από τα δεδομένα ότι , ταυτόχρονα όμως το οποίο από την υπόθεσή μας θα είναι διάφορο του , άτοπο.

Για το 1, έχω σπάσει το κεφάλι μου, τι τον τύπο ολοκλήρωσης γινομένου χρησιμοποίησα, τι διάφορα κριτήρια σύγκλισης, τι τον κανόνα de l'hospital για τα όρια, τίποτα. Κανένα hint please;

Off Topic

Το τελευταίο και οι δύο ωραίες λύσεις στο προηγούμενο με την ακολουθία που συζητάγαμε, μου δημιούργησαν κάποιες σχετικές-άσχετες απορίες. Πόση ώρα σας παίρνει κατά μέσο όρο να βρείτε αυτές τις λύσεις; Σε αυτές τις ολυμπιάδες φαντάζομαι θα υπάρχει χρόνος στο διαγωνισμό. Υπάρχει συγκεκριμένη ύλη; Υπάρχουν σημειώσεις; Δεν το βλέπω να παίρνω μέρος στα γεράματα, για άλλο λόγο ρωτάω