Πραγματική Ανάλυση

[O kanenas]

Πέμπτες κάνουμε ασκήσεις 3-5 στο αμφ.2 και Παρασκευή στις 12:30 στο αμφ.1 νομίζω.

[kingdiamond]

Για τις λύσεις που ανεβήκαν.Άσκηση 3.1 β,γ χωρίς αιτιολογήσεις

άσκηση 8 στην πορεία της λύσης μπορεί να σταματήσει πιο πριν αφού δείχνει ότι έχουν τα ίδια κλειστά

άσκηση 9 ΛΑΘΟΣ υπάρχουν παραδείγματα ξένων κλειστών υποσυνόλων του ενός μετρικού χώρου με απόσταση 0.πχ

με τη συνήθη μετρική

[O kanenas]

άσκηση 9 ΛΑΘΟΣ υπάρχουν παραδείγματα ξένων κλειστών υποσυνόλων του ενός μετρικού χώρου με απόσταση 0.πχ

με τη συνήθη μετρική

Εξήγησέ το λίγο παραπάνω. Δεν καταλαβαίνω καν πώς σχετίζεται το παράδειγμά σου. Το δεύτερο ερώτημα της άσκησης αναφέρεται σε ανοιχτά υποσύνολα.

Επίσης, πώς γίνεται να μιλάμε (στον R με τη συνήθη μετρική) για ξένα μεν υποσύνολα, αλλά με μεταξύ τους απόσταση 0? Αν έχουν απόσταση 0, τότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο από το ένα υποσύνολο και τουλάχιστον ένα στοιχείο από το άλλο υποσύνολο, τα οποία θα ταυτίζονται. Επομένως, η τομή των δύο υποσυνόλων δεν θα είναι κενή και άρα τα δύο υποσύνολα δεν θα είναι ξένα.

[1/2rizax]

Τα σύνολα που αναφέρει ο Τάσος είναι ένα παράδειγμα κλειστών και ξένων συνόλων που απέχουν απόσταση μηδέν. Ένα άλλο παράδειγμα είναι να θεωρήσεις, στο καρτεσιανό επίπεδο, ως Α τον άξονα x'x και ως Β το γράφημα της συνάρτησης 1/x. Τα Α και Β είναι κλειστά, ξένα αλλά η απόστασή τους είναι μικρότερη του 1/n για κάθε φυσικό n.

[O kanenas]

Α, τώρα κατάλαβα το λάθος. Ωραία, οπότε εκεί που κάνω το λάθος θα μπορούσα να χωρίσω σε περιπτώσεις? Περίπτωση 1: ρ(F,G)>0 και Περίπτωση 2: ρ(F,G)=0. Αλλά την περίπτωση 2 δεν ξέρω πώς να την πάω... Αν έχει κανείς όρεξη να βοηθήσει...

Ή μήπως υπάρχει πολύ ευκολότερη λύση που να μην μπλέκει καν το ρ(F,G)?

Edit: Μια στιγμή. Το 0 είναι οριακό σημείο το γραφήματος του f(x)=1/x, αλλά δεν ανήκει στο γράφημα. Άρα το γράφημα δεν είναι κλειστό υποσύνολο του R. Έτσι δεν είναι? Παιδιά, μπερδεύομαι...

[1/2rizax]

Ή μήπως υπάρχει πολύ ευκολότερη λύση που να μην μπλέκει καν το ρ(F,G)?

Υπάρχει όντως απλούστερη λύση, μια απλη εφαρμογή του ότι η f του ερωτήματος i) είναι συνεχής.

Έτσι από περιέργεια δοκίμασα να δω πως βγαίνει με ρ(x,F):
Για κάθε ισχύει ότι . Θέτουμε .
Για κάθε ισχύει ότι . Θέτουμε .
Θέτουμε και
Τα U και V είναι ανοικτά ως τυχαίες ενώσεις ανοικτών, ξένα επειδή αν υπάρχουν x, y και z τέτοια ώστε εφαρμόζοντας την τριγωνική ανισότητα στα x και y παίρνουμε ότι
Όμως . Ομοίως, παίρνουμε ότι και τελικά . Αυτό όμως είναι άτοπο, αφού θέτοντας έχουμε . Άρα τα U και V ξένα.
Επίσης και .

[AlexandrosG]

Καλησπέρα.

Φίλε Kanenas συγχαρητήρια για την προσπάθεια που κάνεις και την βοήθεια που δίνεις σε άλλους.

Μια ψιλοδιόρθωση: Στο κεφάλαιο με τα ανοιχτά η πρώτη άσκηση ζητάει το ανάποδο από αυτό που έλυσες: η μεγάλη μπάλα να περιέχεται στην μικρότερη. Αυτό έχει πολύ περισσότερο ενδιαφέρον και νομίζω ότι είναι η καλύτερη άσκηση του βιβλίου.

[O kanenas]

Υπάρχει όντως απλούστερη λύση, μια απλη εφαρμογή του ότι η f του ερωτήματος i) είναι συνεχής.

Όχι, το λάθος βρίσκεται στο ερώτημα i. Στη "λύση" μου, δείχνω ότι η f είναι (ρ(F,G))^(-1)-Lipschitz (άρα συνεχής) και λέω ότι η σταθερά (ρ(F,G))^(-1) είναι θετική, επειδή δεν γίνεται να είναι μηδενική αφού τα σύνολα F,G είναι κλειστά και ξένα. Αυτό, όπως μου λέτε, δεν ισχύει (αν και ακόμα έχω απορίες) οπότε σκέφτηκα ότι θα μπορούσα να χωρίσω σε περιπτώσεις. Μία περίπτωση που όντως η (ρ(F,G))^(-1) είναι θετική και άλλη μία που είναι ίση με μηδέν. Το θέμα είναι ότι δεν ξέρω πώς να προχωρήσω για να δείξω τη συνέχεια της f στη δεύτερη περίπτωση. Αν όμως έχει σκεφτεί κανείς ευκολότερο τρόπο να λυθεί το ερώτημα i, χωρίς τη χρήση του ρ(F,G), τότε ας τον ποστάρει.


@AlexandrosG, merci για τα καλά σου λόγια

Μια ψιλοδιόρθωση: Στο κεφάλαιο με τα ανοιχτά η πρώτη άσκηση ζητάει το ανάποδο από αυτό που έλυσες: η μεγάλη μπάλα να περιέχεται στην μικρότερη. Αυτό έχει πολύ περισσότερο ενδιαφέρον και νομίζω ότι είναι η καλύτερη άσκηση του βιβλίου.

Στο μάθημα με τη Δέσποινα, που λύνουμε ασκήσεις, μας είχε πει ότι είναι τυπογραφικό και την είχαμε λύσει αλλάζοντας την εκφώνηση όπως την έχω γράψει στο pdf. Εσύ την έχεις λύσει με την εκφώνηση των σημειώσεων?

[AlexandrosG]

Δεν είναι τυπογραφικό. Η άσκηση υπάρχει αυτούσια στο βιβλίο Real Analysis του Kolmogorov. Εμένα με απασχολούσε για μέρες και δεν κατάφερα να τη λύσω. Τελικά τη συζήτησα με άλλους και μου είπαν τη λύση. Αξίζει να την προσπαθήσεις.

[1/2rizax]

Όχι, το λάθος βρίσκεται στο ερώτημα i.

Για το ερώτημα i) αρκεί να παρατηρήσεις ότι η f είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών και ότι ο παρονομαστής της δεν μηδενίζεται ποτέ.

[O kanenas]

Ώρες-ώρες μου'ρχεται να χτυπήσω το κεφάλι μου στον τοίχο

[Hengeo]

O kanenas ευχαριστώ και από εμένα για τις ασκήσεις!

Edit: Μια στιγμή. Το 0 είναι οριακό σημείο το γραφήματος του f(x)=1/x, αλλά δεν ανήκει στο γράφημα. Άρα το γράφημα δεν είναι κλειστό υποσύνολο του R. Έτσι δεν είναι? Παιδιά, μπερδεύομαι...

Αν δεν τα μπέρδεψα και εγώ, η απόσταση ρ ορίζεται ως το κάτω πέρας (inf) κάποιων ρ(x,y), συνεπώς, δεν χρειάζεται αναγκαστικά υπάρχουν x,y ώστε ρ(x,y)=0 για να είναι 0 το κάτω πέρας, αρκεί το ρ(x,y) να τείνει ασυμπτωματικά στην τιμή αυτή (δηλαδή για κάθε ε>0 να υπάρχουν x,y ώστε ρ(x,y)<ε), κάτι το οποίο ισχύει στα σύνολα που σου είπαν.

[O kanenas]

Ναι, δε διαφωνώ σ'αυτό όταν μιλάμε για τη γενική περίπτωση. Αλλά, νομίζω ότι στα κλειστά σύνολα δεν μπορεί να συμβαίνει αυτή η ασυμπτωτική τάση σε κάποιο σημείο εκτός του συνόλου, αφού ένα κλειστό σύνολο περιέχει τα οριακά του σημεία. Έτσι, αν υπάρχει κάποια ακολουθία (μέσα στο σύνολο) που συγκλίνει σε κάποιο x, τότε και το x θα ανήκει στο σύνολο. Οπότε, πχ στην περίπτωση ενός συνόλου που ορίζεται από μια ασυμπτωτική συνάρτηση (όπως η 1/x), η κλειστότητά του περιέχει το σημείο στο οποίο τείνει οριακά (το 0). Το ίδιο θα συμβαίνει και για κάποιο άλλο κλειστό σύνολο. Οπότε, το infimum θα ισούται με το minimum των αποστάσεων των σημείων τους. Και αν η απόσταση είναι 0, τότε αυτό θα είναι το minimum, άρα θα υπάρχουν όντως σημεία στα δύο σύνολο για τα οποία η απόστασή τους θα είναι μηδενική. Καταλαβαίνεις τι λέω?

Τέλος πάντων, δεν επιμένω γιατι δεν είμαι σίγουρη κιόλας και δεν ξέρω αν το εξηγώ καλά από το forum. Θα ρωτήσω καμια Δέσποινα, κάναν Αργυρό...

[AlexandrosG]

Καλημέρα.

Ακόμη και δυο κλειστά σύνολα μπορούν να έχουν απόσταση 0. Κοίτα το παράδειγμα του άξονα χχ' και του γραφήματος της συνάρτησης 1/χ που προαναφέρθηκε. Και τα δυο σύνολα είναι κλειστά αλλά αν τα σχεδιάσεις θα δεις ότι πλησιάζουν όσο θέλουμε. Επίσης είναι και ξένα. Το σημείο 0 δεν είναι οριακό σημείο του γραφήματος της 1/χ όπως λες. Και αυτό φαίνεται από το σχήμα.

Γενικά το γράφημα στο R^2 κάθε συνεχής συνάρτησης είναι κλειστό υποσύνολο του R^2 με τη συνήθη μετρική.

Όταν γράφω μια εντολή με Latex τι βάζω αριστερά και δεξιά για να εμφανιστεί?

[1/2rizax]

Όταν γράφω μια εντολή με Latex τι βάζω αριστερά και δεξιά για να εμφανιστεί?

Κώδικας: Επιλογή όλων

[latex][/latex]

πχ στην περίπτωση ενός συνόλου που ορίζεται από μια ασυμπτωτική συνάρτηση (όπως η 1/x), η κλειστότητά του περιέχει το σημείο στο οποίο τείνει οριακά (το 0).

Τί εννοείς όταν λες 0; Βρισκόμαστε στο R^2, επομένως τα σημεία θα έχουν τη μορφή (χ,ψ). Αν εννοείς το , αυτό δεν ανήκει στο R^2. Το 0 δεν ανήκει καν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Κοίταξε και εδώ, Θέμα 1, i).

Έτσι, αν υπάρχει κάποια ακολουθία (μέσα στο σύνολο) που συγκλίνει σε κάποιο x, τότε και το x θα ανήκει στο σύνολο.

Πρόσεξε όμως ότι οι ακολουθίες που παίρνουμε δεν είναι συγκλίνουσες. Στην ουσία πήραμε την ακολουθία (n, 1/n) από το σύνολο Β και την (ν,0) από το σύνολο Α. Οι δύο αυτές ακολουθίες πλησιάζουν πολύ κοντά η μία στην άλλη, αλλά καμια τους δεν συγκλίνει. Αν συνέκλιναν, τότε θα είχαμε αυτό που λες. (πχ. αν το ένα από τα δύο σύνολά σου ήταν συμπαγές, τότε σίγουρα η μία από αυτές τις ακολουθίες θα είχε συγκλίνουσα υπακολουθία και ο συλλογισμός σου θα ήταν σωστος, όντως θα ίσχυε ρ(Α,Β)>0, δες άσκηση 1, σελ. 65 των σημειώσεων).