Απορία στην Ευκλείδεια Γεωμετρία

[dimmath]

Σε τόξο ΑΒ κύκλου παίρνουμε μεταβλητό σημείο Δ και στην προέκταση του ΑΔ λαμβάνουμε ΔΜ=ΔΒ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ.

Ελπίζω να μπορέσει κάποιος να με βοηθήσει...
Ευχαριστώ εκ των προτέρων!!!!

[rontrigez]

Το θέτεις ως κουιζ? Η ειναι προβλημα το οποιο πρεπει να επιλύσεις?

[dimmath]

Το χρειάζομαι για την εξεταστική...

[rontrigez]

Ok γεωμετρία ιησουηιτων μου θυμίζει. Θα κοιτάξω και θα σου πω αν δεν προλάβει άλλος.

[dimmath]

ok!!!

[NickNafplio]

Έστω Κ σημείο της εφαπτομένης του κύκλου στο Α, τέτοιο ώστε ΑΚ = ΑΒ.

Ο Ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το τόξο ΚΒ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΚΒ.

Για να το δείξουμε αυτό, θεωρούμε Μ' την τομή της ΑΜ με τον παραπάνω περιγεγραμμένο, και αρκεί να δείξουμε ότι Μ'Μ = ΜΒ (προφανώς υπάρχει μοναδικό τέτοιο σημείο Μ' πάνω στην ΑΜ). Αρκεί να ισχύει:
<ΑΜ'Β = <ΜΒΜ'. Επειδή το ΚΜ'ΒΑ είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο, ισχύει: <ΑΜ'Β = <ΑΚΒ = <ΚΒΑ (διότι ΑΚΒ ισοσκελές), οπότε αρκεί <ΑΒΚ = <ΜΒΜ' <=> <ΑΒΜ + <ΜΒΚ = <ΜΒΚ + <ΚΒΜ' <=> <ΑΒΜ = <ΚΒΜ'. Όμως πάλι από το εγγεγραμμένο ΚΜ'ΒΑ ισχύει <ΚΒΜ' = <ΚΑΜ' = <ΑΒΜ, όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει διότι είναι ευρέως γνωστό (και μπορεί να αποδειχτεί εύκολα) ότι η γωνία μεταξύ χορδής και εφαπτομένης ισούται με την αντίστοιχη εγγεγραμμένη γωνία της χορδής αυτής.

Το Μ' κινείται συνεχώς πάνω σε αυτό το τόξο, και τίνει να ταυτιστεί με το Κ όταν το Μ τίνει να ταυτιστεί με το Α, ενώ τίνει να ταυτιστεί με το Β όταν το Μ τίνει να ταυτιστεί με το Β (γιατί;).

Η Απόδειξη είναι πλήρης.

[dimmath]

Ευχαριστώ πολύ!!!

[NickNafplio]

Tipota. Se poia sxoli eisai omws kai kanete mathima efkleidias geometrias? Giati ap oso kserw akoma kai ta kathara mathimatika tmimata den kanoun sxedon tipota, enw fisika oute kai i semfe.

*Na diothwthei se Ellinika an ginetai, den exei ellinika to sigkekrimeno pc.

[dimmath]

Ειμαι στο τμημα εφαρμοσμενων μαθηματικων του πανεπιστημιου κρητης....Το μαθημα της Ευκλειδειας Γεωμετριας το εχω παρει ως μαθημα επιλογης απο το τμημα μαθηματικων...Απ'οτι γνωριζω το μαθημα αυτο διδασκεται μονο στο πανεπιστημιο κρητης!!!!

[mojito163]

καλησπέρα
Είμαι φοιτητής του πανεπιστημίου Μακεδονίας στο τμήμα Εφ. Πληροφορικής και στην προσπάθεια επίλυσης ενός προβλήματος γραφικής αναπαράστασης δεδομένων σε υπολογιστή χρειάστηκα κάποιες βασικές αρχές τριγωνομετρίας, αλλά κατέληξα σε κάποια συμπεράσματα που για την ευκλείδεια γεωμετρία είναι αδύνατα με χρήση μόνο κανόνα και διαβήτη.
Παρακαλώ αν μπορείτε να κάνετε έναν έλεγχο της λογικής που ακολούθησα και να μου εξηγήσετε σε πιο σημείο δεν ακολουθώ την ευκλείδεια τριγωνομετρία.
ευχαριστώ για τον χρόνο σας.
έχω απευθυνθεί ήδη σε κάποιους καθηγητές αλλά μάλλον μέχρι να ανοίξουν την αλληλογραφία τους θα πάρει χρόνο που αυτή τη στιγμή εμένα με καίει και επίσης λόγο της φύσης του συμπεράσματος φοβάμαι να μην δημιουργηθεί η εντύπωση ότι είμαι "αρπαγμένος" και θέλω να ανατρέψω την κλασσική γεωμετρία.
ευχαριστώ εκ τον προτέρων όποιον βοηθήσει.
υ.γ.: το σχέδιο ήταν ότι πιο πρόχειρο μπορούσα να κάνω αλλά σε πραγματικό χαρτί όλες η μετρήσεις ήταν σχεδόν ορθές
(δεν έχω υπολογιστικό πρόγραμμα οπότε θεώρησα τις αποκλίσεις ότι θα οφείλονται σε σχεδιαστικό λάθος)

[constant]

Στην αρχή-αρχή, τη γωνία Α, πώς την 3-πλασίασες;

[mojito163]

πήρα μια τυχαία γωνία και μετά πήρα το ίδιο τόξο από δεξιά και αριστερά με τον διαβήτη.

[constant]

Αυτό είναι οκ, μετά είναι το πρόβλημα. Ο λόγος των γωνιών Α και 3Α είναι 1/3 αλλά δεν ισχύει το ίδιο για τα τόξα. Πες ότι είχες τη γωνία ΚΟΛ (Ο το κέντρο του κύκλου, Κ,Λ στον κύκλο) και τη διπλασίαζες, έστω μέχρι το σημείο Μ (προς τη μεριά του Λ). Τότε από τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΚΛΜ έχεις ότι ΚΛ+ΛΜ > ΚΜ και άρα οι λόγοι δεν είναι ίσοι..

[mojito163]

ναι το παρατήρησα αυτό αλλά αυτό που έκανα χρήση εγώ είναι οι λόγοι τους και όχι τα πραγματικά τους μεγέθη δηλαδή αν και σαν άθροισμα όντως είναι μεγαλύτερα,
ο λόγος (πχ στο παράδειγμα που ανέφερες ΚΛ/ΚΜ ) θα είναι σταθερός για κάθε άλλη γωνία και την διπλάσια της στο συγκεκριμένο παράδειγμα
και αυτό γιατί αντιστοιχούν σε 2 ομόκεντρες με όλους τους άλλους όρους σταθερούς και αναλογία 1 προς 2 αφού διπλασίασες τις γωνίες).
Δε μετράω δηλαδή ισότητες απλά κάνω χρήση ενός δεδομένου λόγου πλευρών που εγώ κατασκευάζω αρχικά και τις αντιστοιχώ σε χορδές των γωνιών.

[Georgrinder]

Δεν νομίζω να έχεις λογικά σφάλματα στον συλλογισμό σου.
Το πρόβλημα νομίζω όμως ότι είναι ότι κάποιο από τα βήματα σου δεν είναι εφικτό με χρήση μόνο κανόνα και διαβήτη (ίσως η μεταφόρα των χορδών στο τρίγωνο που παίρνεις θαλή..)

Τσέκαρε εδώ ας πούμε στην επίλυση του προβλήματος της τριχοτόμησης από τον Αρχιμήδη που λέει για το απαραίτητο όργανο μέτρησης (ιππέας) προκειμένου να κατασκευαστεί η ΓΛ.

Όπως και να χει συγχαρητήρια για τις ευφυείς σκέψεις.