Αριθμητική Ανάλυση I και Εργαστήριο

[Full Metal Alchemist]

Οπως μας ειπε ο Κολετσος, ο βαθμος των εργαστηριων ισχυει για 4 εξεταστικες.

[congi]

Στην αρχή της χρονιά είχε πει πως ο βαθμός των εργαστηρίων μετρά για 4 εξεταστικές, οπότε μπορείς να δώσεις τώρα και τον σεπτέμβρη...

p.s.Μετά ειδα το από πάνω....

[cpapanik]

re paidia tin ili mporei na tin pei kapios?

[diosak]

there you go...

[Dr.Doom]

kserei kaneis an oi diaforikes exiswseis einai mesa h genikotera kati apo to kefalaio 8 ???

[Chris]

kserei kaneis an oi diaforikes exiswseis einai mesa h genikotera kati apo to kefalaio 8 ???

Κοίτα πάνω, βλέπεις πουθενά να είναι μέσα οι Διαφορικές;

Και τώρα...HELP
Ερώτηση πάνω σε παλιά θέματα. Το συγκεκριμένο θέμα μπαίνει πολύ συχνά και θα ήθελα να ρωτήσω αν η προσέγγιση μου είναι σωστή.
Μιλάω για το 2ο θέμα εδώ.

Στο α εώτημα λέει να βρεθεί η εκτίμηση του σφάλματος παρεμβολής της μορφής:

Μετά μας δίνει το γενικό τύπο του σφάλματος:
Ερωτήσεις: Το n=1 σωστά;
Ο όρος τι θα πάρει στην παρένθεση; Εν προκειμένω, εγώ θα έβαζα τα και θα γινόταν τελικά
(Δηλαδή για βάζουμε τους όρους που μας δίνει στην αρχή; Ή βάζουμε τα άκρα του διαστήματος που μας δίνει να υπολογίσουμε το σφάλμα; Μάλλον το δεύτερο...)

Άρα ο τύπος γίνεται...
Έστω ότι είμαι σωστός μέχρι εδώ. Μετά πως συνεχίζουμε; Θέτουμε συνάρτηση ξ για το συνημίτονο και συνάρτηση για το πολυώνυμο δεξιά και βρίσκουμε τα μέγιστα τους; (όπως περίπου η λύση της άσκησης στη σελίδα 191 στο βιβλίο του Παπαγεωργίου;)

Βοήθηστε όποιος μπορεί...τέτοιο θέμα μπαίνει κάθε χρόνο.

Υ.Γ. Για όσους παρακολουθούσαν: Ο Κολέτσος δεν μας έκανε μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων έτσι; Μην την έχει κάνει σε καμιά παράδοση που έλειπα... αλλά δεν τη βλέπω και να είναι μέσα στην ύλη.

[spartiatisgx]

Bάλε απόλυτο.....Βρες το μεγιστο της παραστασης |x(x-1)| που για x στο [0,1] ειναι x(1-x) με τον κλασικο απαισιο τροπο:
Aν g(x)=x(1-x) βρες το x για το οποιο η g'(x) ειναι μηδεν και για το x αυτο βρες το g''(x).Αν g''(x) <0 ειναι τοπικό μέγιστο.Ειναι το x=1/2 μου φαινεται.
Επιπλέον επειδη |cos(πx/2)| στο [0,π/2]---(οταν το x ανηκει στο [0,1] το πx/2 ανηκει στο [0,π/2])--- ειναι γνησίως φθίνουσα έχουμε ότι το πεδιο τιμων του cos(πx/2) ειναι το [cos(π/2),cos0] κι αρα max|cos(πx/2)|=1 για x στο [0,1]..........

Προσοχη...Αν είχαμε το x να ανηκει ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΧΑΡΙΝ στο [1/3,1] τότε δεν αρκει να γραψουμε το κλασικο |cos(πx/2)|<=1 αλλά ότι max|cos(πx/2)| για x στο [1/3,1] ειναι το cos(π/6)...........

[Chris]

Ωραίος, ευχαριστώ πολύ...! Τελικά για βάζουμε τα δύο άκρα του διαστήματος που είμαστε;

[spartiatisgx]

Aκου.......Τα xj ειναι η διαμεριση του [α,β]...
Παίρνουμε συνηθως το x0=α και το xn=β.Εδω ετυχε το j να ειναι απο 0 εως 1 κι αρα πηραμε τα ακρα.Αν ομως ειχαμε το J να παιρνει τιμες απο 0 εως 2 τοτε θα επρεπε να βαλεις (x-x0)(x-x1)(x-x2).Tα x0,x2 εξακολουθουν να ειναι τα α,β αντιστοιχα αλλα το x1 θα σου δινεται και εννοειται οτι δεν ειναι ουτε το α ουτε το β.

[Chris]

Ά μάλιστα! Ευχαριστώ και πάλι.

[Chris]

Λοιπόν επόμενη ερώτηση (μικρή ) πάνω στα ίδια θέματα: λινκ.
Θέμα 1, ερώτημα (γ). Πως θα δώσουμε μια καλή εκτίμηση του σφάλματος μετά την 3η επανάληψη;

Ξέρω ότι ο καλύτερος τύπος εύρεσης σφαλμάτων για επαναληπτικούς τύπους είναι ο:


Αλλά δεν έχω ιδέα πως τον εφαρμόζουμε...

[diosak]

το 7ο κεφαλαιο το εχουμε ολο ε?

[spartiatisgx]

Chris βαλε αντι για k το n.Πχ αν εχουμε εφαρμοσει την επαναληπτικη μεθοδο τρεις φορες δηλαδη n=3,τοτε εχουμε βρει τα ξ0(δοθεν),ξ1,ξ2,ξ3 οποτε λεμε οτι:

|ξ3-ξ|<=κ/(1-κ)|ξ3-ξ2|.

Το κ ειναι το |g'(x)|=k<1 στο διαστημα που θελεις.....

Θεωρημα
Εαν η f ανηκει στο C[α,β] και ισχυει οτι f([α,β]) ειναι υποσυνολο του [α,β], τοτε υπαρχει τουλαχιστον ενα σταθερο σημειο στο [α,β].
Εαν επιπλεον υπαρχει η f στο (α,β) και |g'(x)|=k<1 για καθε x στο (α,β) τοτε το σταθερο σημειο ειναι μοναδικο στο [α,β].
Βρισκεις λοιπον οτι ικανοποιειται το θεωρημα οποτε εχεις υπολογισει το k κι απλως στον παραπανω τυπο κανεις μια αντικαταστασει των τιμων κ,ξ3,ξ2 στο δευτερο μελος της ανισοτητας.....Οτι αλλο θελεις ρωτα...

[moutsos]

Βλέπω ότι στανταρ θέμα είναι και η γενική επαναληπτική μέθοδος σε μη γραμμικές και η απόδειξη της σύγκλισης.Ξέρω ότι για την ακολουθία x(k+1)=g(x(k)) αν για κάθε χ που ανήκει ισχύει g'(x)<=C όπου 0<=C<1 τότε αυτή συκλίνει. Το c το παίρνω τυχαία?

[Chris]

Chris βαλε αντι για k το n.Πχ αν εχουμε εφαρμοσει την επαναληπτικη μεθοδο τρεις φορες δηλαδη n=3,τοτε εχουμε βρει τα ξ0(δοθεν),ξ1,ξ2,ξ3 οποτε λεμε οτι:

|ξ3-ξ|<=κ/(1-κ)|ξ3-ξ2|.

Το κ ειναι το |g'(x)|=k<1 στο διαστημα που θελεις.....

Θεωρημα
Εαν η f ανηκει στο C[α,β] και ισχυει οτι f([α,β]) ειναι υποσυνολο του [α,β], τοτε υπαρχει τουλαχιστον ενα σταθερο σημειο στο [α,β].
Εαν επιπλεον υπαρχει η f στο (α,β) και |g'(x)|=k<1 για καθε x στο (α,β) τοτε το σταθερο σημειο ειναι μοναδικο στο [α,β].
Βρισκεις λοιπον οτι ικανοποιειται το θεωρημα οποτε εχεις υπολογισει το k κι απλως στον παραπανω τυπο κανεις μια αντικαταστασει των τιμων κ,ξ3,ξ2 στο δευτερο μελος της ανισοτητας.....Οτι αλλο θελεις ρωτα...

Λοιπόν. Έστω ο επαναληπτικός τύπος . Άρα παίρνουμε τη συνάρτηση με παράγωγο: με

Για να αποδείξουμε ότι ο επαναληπτικός τύπος συγκλίνει στη ρίζα, αρκεί ν.δ.ο. KAI .
Η g και g' είναι γνησίως αύξουσες και συνεχείς. Επομένως: άρα ισχύει η πρώτη προϋπόθεση. Εν συνεχεία, λέμε ότι η g' είναι αύξουσα στο (0,1) επομένως το μέγιστο της θα είναι το Άρα k=0.4108. Αποδείξαμε ότι συγκλίνει στη ρίζα.

Τώρα, έστω ότι μας ζητάει το σφάλμα στην τρίτη επανάληψη (n=3). Εμείς έχουμε βρει το g(2) και g(3). Άρα το σφάλμα δίνεται από τον τύπο: .
Η αλήθεια τώρα είναι ότι το ποστ σου με μπέρδεψε λίγο, γιατί τη μία στιγμή υποννοείς να θέσω όπου n το k και ο τύπος να γίνει: αλλά μετά κατάλαβα ότι πρέπει να βάλω όπου k εκείνο που βρήκα στη διαδικασία απόδειξης της σύγκλισης της επαναληπτικής διαδικασίας.
Δηλαδή εν προκειμένω: . Ποιός από τους δύο τύπους είναι ο σωστός;

Νομίζω ότι το παραπάνω post απαντάει και στον moutso. (Όπως το καταλαβαίνω εγώ, για c παίρνεις το μέγιστο της συνάρτησης στο δωθέν διάστημα.)

Σε γενικές γραμμές πάντως φαίνεται εύκολο μάθημα. (και ευχάριστο να διαβάζεις) Αυτή τη στιγμή βαράω το κεφάλι μου στον τοίχο βέβαια γιατί δεν πήγα καμία εργασία και θα μου μειωθεί ο βαθμός...