Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Τρί Αύγ 10, 2010 1:36 pm

apolski έγραψε:
The Godfather έγραψε:Συγνώμη που θα σας απογοητεύσω αλλά η μάζα m2 εντός του σφαιρικού φλοιού θα μείνει αμετακίνιτη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η μάζα m2 εντός του σφαιρικού φλοιού δεν αισθάνεται το βαρυτικό πεδίο του φλοιού μάζας m1 επειδή η μάζα m2 βρίσκετε ακριβώς στο κέντρο του φλοιού. Συνεπώς λόγω συμμετρίας η συνολική δύναμη που δέχετε από το φλοιό είναι μηδέν. Επίσης το βαρυτικό πεδίο του φλοιού μάζας m1 για r>R είναι ισοδύναμο με το πεδίο μιας μάζας m1 συγκεντρωμένης στο κέντρο του φλοιού. Άρα

$m_{1}: F_{1}=m_{1}a_{1} => \frac{-Gm_{1}M}{h^{2}}=m_{1}a_{1} => a_{1}=\frac{-GM}{h^{2}} m_{2}: F_{2}=m_{2}a_{2} => \frac{-Gm_{2}M}{h^{2}}=m_{2}a_{2} => a_{2}=\frac{-GM}{h^{2}} a_{1}=a_{2}$

Συνεπώς οι επιταχύνσεις των δύο σωμάτων είναι ίσες άρα η m2 θα παραμείνει στο κέντρο του φλοιού. Συμφωνώ και εγώ κύριε Τσόλκα ότι το πρόβλημα είναι για παιδιά λυκείου...

Η λυση σου ειναι πραγματι ελλιπης και για να εχει νοημα πρεπει να μας πεις τα εξης:

1) Τι ακριβως ειναι τα a1,a2, h και σε ποιο συστημα αναφορας τα οριζεις.

2) Γιατι στις δυο εξισωσεις κινησης το h ειναι το ιδιο (αυτο δεν ειναι και τοσο προφανες επειδη η μαζα Μ κινειται).

3) Γιατι διωχνεις τις μαζες και στα δυο μελη των εξισωσεων(η μια μαζα ειναι αδρανειακη ενω η αλλη βαρυτικη).

Θα γραψω κι εγω την λυση μου η οποια ειναι ιδια με την δικη σου αλλα σε διανυσματικη μορφη και με περισσοτερες λεπτομεριες. Ο δευτερος νομους του Newton δινει τις εξισωσεις κινησεις των τριων μαζων:

$m_{1i}\frac{dt^2 \vec{r_1}}{dt^2}=-G\frac{Mm_{1g}}{|\vec{r_1}-\vec{R}|^3}(\vec{r_1}-\vec{R})$

$m_{2i}\frac{dt^2 \vec{r_2}}{dt^2}=-G\frac{Mm_{2g}}{|\vec{r_2}-\vec{R}|^3}(\vec{r_2}-\vec{R})$

$M_i\frac{dt^2 \vec{R}}{dt^2}=G\frac{(m_{1g}+m_{2g})M_g}{|\vec{r}-\vec{R}|^3}(\vec{r}-\vec{R})$

οπου τα r_1, r_2, r kai R ειναι τα διανυσματα θεσης των μαζων m1, m2, m1+m2 και M αντιστοιχα, ως προς εναν αδρανειακο παρατηρητη στο Ο. Οι δεικτες i και g στις μαζες υποδηλωνουν οτι η μια μαζα ειναι αδρανειακη και η αλλη βαρυτηκη. Οι m1 και m2 δεν αλληλεπιδρουν βαρυτικα μεταξυ τους (νομος του Gauss).

Το R ειναι ιδιο και στις δυο εξισωσεις κινησης των m1 kai m2 γιατι η δυναμη που ασκειται στη μαζα Μ ειναι η βαρυτικη ελξη απο τις δυο μαζες m1 και m2 μαζι παντα.
Πειραματικα εχει αποδειχτει οτι $m_{i}=m_{g}$ οποτε διωχνουμε τις μαζες και τελικα προκυπτει οτι

$\frac{dt^2 \vec{r_1}}{dt^2}=\frac{dt^2 \vec{r_2}}{dt^2}$

Η βασικη παραδοχή που κανουμε ειναι οτι $\frac{m_{i}}{m_{g}}=1$ . Ομως αν στο μελλον αποδειχτει οτι διαφερουν εστω και λιγο τοτε ο Τσολκας θα εχει δικιο...

ΚΟΚΙΝΑ της παραθεσης σου,
Αμ,,,, εδω ειναι το κολπο....!!!! Αυτο το R ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΙΔΙΟ!!!!
Δυστυχως με το σκεπτικο σου το R το παιρνεις ΛΑΘΟΣ ΚΑΙ ΑΥΘΑΙΡΕΤΑ, ΟΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΙΔΙΟ!!! ΝΑ ΟΜΩΣ, ΠΟΥ ΣΤΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ TO R ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΙΔΙΟ, γιατι βασικα αυτο θελουμε να αποδειξουμε!!!

Νασαι και εσυ καλα αλλα ομως θα πρεπει να ξαναπροσπσθησεις για να λυσεις το προβλημα ΣΩΣΤΑ!!!!

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Μη ξεχνας οτι εγω ΔΕΧΟΜΑΙ οτι η αδρανειακη μαζα ειναι ιση με τη βαρυτικη σε ενα σωμα.

tsolkas

Τρί Αύγ 10, 2010 1:59 pm

Αν ειχες δυο χωριστα συστηματα μαζων m1, M kai m2,M τοτε το R θα ηταν διφορετικο στις δυο περιπτωσεις αυτες οπως και οι επιταχυνσεις. Ομως επειδη στο προβλημα σου το συστημα ειναι το m1+m2, Μ το R ειναι ιδιο στις εξισωσεις κινησης των m1 kai m2. Σκεψου οτι το R ειναι το διανυσμα θεσης της μαζας Μ το οποιο μεταβαλλεται λογω της ελξης απο τις δυο μαζες μαζι. Δεν μπορεις να πεις οτι πχ. στην πρωτη εξισωση ειναι καποιο R1 το οποιο μεταβαλλεται μονο λογω της ελξης απο την m1 γιατι η m2 υπαρχει εκει και επισης ασκει δυναμη στην Μ.

Τρί Αύγ 10, 2010 2:26 pm

apolski έγραψε:διωχνουμε τις μαζες και τελικα προκυπτει οτι

$\frac{dt^2 \vec{r_1}}{dt^2}=\frac{dt^2 \vec{r_2}}{dt^2}$

Να συμπλυρωσω οτι το παραπανω προκυπτει απο την διατηρηση της ορμης του συστηματος των τριων μαζω:

$P=constant\Leftrightarrow \frac{dP}{dt}=0$

$-G\frac{M_g\cdot m_{1g}}{|\vec{r_1}-\vec{R}|^3}-G\frac{M_g\cdot m_{2g}}{|\vec{r_2}-\vec{R}|^3}+G\frac{(m_{1g}+m_{2g})M_g}{|\vec{r}-\vec{R}|^3}=0$

οπου ξεχασα να πω οτι το διανυσμα r ειναι το διανυσμα κεντρου βαρους των μαζων m1 kai m2.
Κανοντας πραξεις προκυπτει οτι $r_1=r_2=r$ και τελικα:

$\frac{dt^2 \vec{r_1}}{dt^2}=\frac{dt^2 \vec{r_2}}{dt^2}$

Βλεπουμε οτι μονο δυο εξισωσεις κινησης των m1 kai m2 δεν αρκουν για να το αποδειξεις αυτο και ετσι χρειαζομαστε την εξισωση κινησης του Μ και την αρχη διατηρησης της ορμης. Αρα η λυση που εδωσε ο The Godfather και παλιοτερα ο Falgorn ειναι λαθος.

Τρί Αύγ 10, 2010 5:19 pm

@ apolski

Στη λύση μου θεωρώ σύστημα αναφοράς χψζ με την μάζα Μ τοποθετημένη στο κέντρο Ο του συστήματος. Πάνω στον άξονα ζ και σε απόσταση h από το κέντρο της μάζας Μ βρίσκεται η μάζα m2 καθώς και το κέντρο του σφαιρικού φλοιού μάζας m1. Τα 3 σώματα θεωρούνται ακίνητα τη χρονική στιγμή t = 0. Τα α1, α2 είναι οι επιταχύνσεις των σωμάτων m1, m2 αντίστοιχα. Το h είναι το ίδιο επειδή λόγω του νόμου του Gauss, έξω από σφαιρικό φλοιό μάζας Μ' το βαρυτικό πεδίο ισοδυναμεί με πεδίο μάζας Μ' συγκεντωμένο στο κέντρο του φλοιού, άρα σε απόσταση h από το κέντρο της μάζας M. Δεν καταλαβαίνω που βλέπεις το λάθος. Επίσης παραθέτεισ την ίδια λύση ακριβώς απλά με κάποιες λεπτομέρειες!!!

@ tsolkas

Ωραία λοιπόν τότε που ακριβώς κάνω λάθος? Επίσης στην "απόδειξή" σου κάνεις την παγκόσμια πρωτοτυπία να θεωρείς ότι η μάζα Μ έχει 2 διαφορετικές ταχύτητες(εξισώσεις 7-12)!!!! Αγνοείς εντελώς την αρχή της υπέρθεσης. Επίσης πως γίνεται να λές ότι η αρχή της ισοδυναμίας είναι λάθος τη στιγμή που θεωρείς ότι βαρυτική και αδρανειακή μάζα είναι ίσες;

Τρί Αύγ 10, 2010 5:54 pm

The Godfather έγραψε:@ apolski

Στη λύση μου θεωρώ σύστημα αναφοράς χψζ με την μάζα Μ τοποθετημένη στο κέντρο Ο του συστήματος. Πάνω στον άξονα ζ και σε απόσταση h από το κέντρο της μάζας Μ βρίσκεται η μάζα m2 καθώς και το κέντρο του σφαιρικού φλοιού μάζας m1. Τα 3 σώματα θεωρούνται ακίνητα τη χρονική στιγμή t = 0. Τα α1, α2 είναι οι επιταχύνσεις των σωμάτων m1, m2 αντίστοιχα. Το h είναι το ίδιο επειδή λόγω του νόμου του Gauss, έξω από σφαιρικό φλοιό μάζας Μ' το βαρυτικό πεδίο ισοδυναμεί με πεδίο μάζας Μ' συγκεντωμένο στο κέντρο του φλοιού, άρα σε απόσταση h από το κέντρο της μάζας M. Δεν καταλαβαίνω που βλέπεις το λάθος. Επίσης παραθέτεισ την ίδια λύση ακριβώς απλά με κάποιες λεπτομέρειες!!!

Οι επιταχυνσεις α1, α2 ειναι ως προς το Ο του συστηματος αναφορας? Το συστημα αναφορας σου ειναι αδρανειακο? Ελαβες υποψιν την κινηση της Μ?

Το λαθος σου ειναι οτι υποθετεις οτι το h ειναι το ιδιο ομως ειναι κατι που θελουμε να αποδειξουμε

Στην λυση μου γραφω το h ως r1-R kai r2-R και μετα αποδεικνυω οτι r1=r2.

Τετ Αύγ 11, 2010 11:51 am

Nα σας διεκολυνω λιγο, γιατι εχετε μπλεχθει ασχημα...!!!!!!!!

Στο προβλημα μας:
1) Ο φλοιος m1 και η σημειακη μαζα m2 ΔΕΝ ΣΥΜΠΕΡΙΦΕΡΟΝΤΑΙ ΠΟΤΕ σαν ενα ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ μαζας m1+m2!!!! ΠΡΟΣΟΧΗ!!! σε αυτο εδω το ΚΡΙΣΙΜΟ σημειο!!!
Συγκεκριμενα, η μαζα m1 εχει τη δικη της ταχυτητα υ1, η μαζα m2 εχει τη δικη της ταχυτητα υ2 και το ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ των μαζων m1 και m2 εχει τη δικη του ταχυτητα Vκμ.....ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ μεταξυ τους κατα την ελευθερη πτωση τους.
2) Η μαζα Μ, ΜΕΤΑΚΙΝΕΙΤΑΙ παντοτε προς τις δυο μαζες m1 και m2..Συνεπως οι αποατασεις της μαζας m1, m2 και του κεντρου μαζας αυτων εχουν ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗ αποσταση για καθε χρονικη στιγμη t κατα τη ελευθερη πτωση τους....

3) Επαναλαμβανω, η ΙΣΟΤΗΤΑ της αδρανειακης και βαρυτικης μαζας για τις μαζες m1, μm2 και Μ, ΕΙΝΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΗ ΚΑΙ ΣΥΝΕΠΩΣ ΑΠΟΔΕΚΤΗ....κατα την επιλυση του προβληματος μας.

tsolkas

Τετ Αύγ 11, 2010 3:23 pm

Τσολκα δεν ξερω αν η λυση μου ειναι σωστη, ομως επειδη δεχεσαι οτι mi=mg πρεπει να συμφωνεις στο οτι οι επιταχυνσης των m1 kai m2 δεν εξαρτωνται απο τις μαζες m1 kai m2. Αρα αυτο που λες οτι το ελαφρυτερο σωμα πεφτει πιο γρηγορα δεν ισχυει...

Τετ Αύγ 11, 2010 4:51 pm

Λοιπον, ξανακοιταξα την λυση μου και παιζει να ειναι λαθος...
Οι επιταχυνσεις των τριων μαζων ειναι:

(1) $\frac{dt^2 \vec{r_1}}{dt^2}=-G\frac{M}{|\vec{r_1}-\vec{R}|^2}\hat{n}$

(2) $\frac{dt^2 \vec{r_2}}{dt^2}=-G\frac{M}{|\vec{r_2}-\vec{R}|^2}\hat{n}$

(3) $\frac{dt^2 \vec{R}}{dt^2}=G\frac{m_{1}}{|\vec{r_1}-\vec{R}|^2}\hat{n}+G\frac{m_{2}}{|\vec{r_2}-\vec{R}|^2}\hat{n}$

Πως δειχνουμε οτι (1)=(2) ?

Πέμ Αύγ 12, 2010 12:29 pm

apolski έγραψε:Τσολκα δεν ξερω αν η λυση μου ειναι σωστη, ομως επειδη δεχεσαι οτι mi=mg πρεπει να συμφωνεις στο οτι οι επιταχυνσης των m1 kai m2 δεν εξαρτωνται απο τις μαζες m1 kai m2. Αρα αυτο που λες οτι το ελαφρυτερο σωμα πεφτει πιο γρηγορα δεν ισχυει...

Προσεξε τωρα για να καταλαβεις οτι εισαι λαθος, σε ολα αυτα που λες........

Ως προς ενα ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ:

Οταν ενα σωμα Α πεφτει ελευθερα μεσα στο πεδιο βαρυτητας (μη ομογενες) μιας μαζας Μ, τοτε σε καθε σημειο (π.χ στο σημειο Ρ )της τροχιας του (που αντιστοιχει σε μια χρονικη στιγμη t1) η επιταχυνση γ του σωματος Α, ΙΣΟΥΤΑΙ με τη ενταση g του πεδιου βαρυτητας της μαζας Μ στο σημειο αυτο Ρ, (αυτο προκυπτει απο την ισοτητα της αδρανειακης και βαρυτικης μαζας του σωματος Α).

Προσεξε τωρα.....
Εαν δυο σωματα πεφτουν ταυτοχρονα απο το ιδιο υψος h μεσα στο πεδιο βαρυτητας της μαζας Μ και τη χρονικη στιγμη t1 ΔΕΝ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ Ρ, τοτε τα δυο αυτα σωματα θα εχουν ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΕΙΣ, διοτι απλουστατα δεν βρισκονται ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ Ρ κατα την χρονικη στιγμη t1(οπως ακριβως συμβαινει με το προβλημα μας του σφαιρικου φλοιου).
Πιστευω να τα καταλαβαινεις αυτα που σου λεω......

Δηλαδη, οπως αντιλαμβανεσαι η ΙΣΟΤΗΤΑ της αδρανειακης και βαρυτικης μαζας ενος σωματος (την οποια ΔΕΧΟΜΑΙ ασφαλως) δεν εχει καμια απολυτως σχεση με αυτα που ισχυριζεται ο Γαλιλαιος, ο Νευτων, ο Αινσταιν, και πολλοι σημερινοι Φυσικοι....!!!!!!!!

Στα ειπα λιγο συνοπτικα, αλλα πιστευω να τα καταλαβες τοσο ΑΠΛΑ που σου τα λεω.............

Ριξε σε παρακαλω εδω μια ματια για να δεις τι μ@λ@κιες μας ΚΟΠΑΝΑΕΙ αυτος ο ΒΛΑΚΑΣ!!!! ο Αινσταιν!!!!!!!!!!!!!

http://www.tsolkas.gr/forums/tga4.jpg

tsolkas

Παρ Αύγ 13, 2010 10:00 am

Και μετά μου λέγατε για το lunatic. Αρκουδέηδες.

Εικόνα

Παρ Αύγ 13, 2010 11:36 am

Γιατι ρε Falgorn? Μπορεις να λυσεις αυτο το συστηματακι διαφορικων εξισωσεων?
Μου αρεσει που λεγατε οτι ειναι προβλημα για παιδια λυκειου

Παρ Αύγ 13, 2010 12:21 pm

apolski έγραψε:Γιατι ρε Falgorn?

Γιατί ecchi μας αρέσει.

apolski έγραψε:Μπορεις να λυσεις αυτο το συστηματακι διαφορικων εξισωσεων?

Όχι, λόγω ανυπόφορης ζέστης.

apolski έγραψε:(1) $\frac{dt^2 \vec{r_1}}{dt^2}=-G\frac{M}{|\vec{r_1}-\vec{R}|^2}\hat{n}$

(2) $\frac{dt^2 \vec{r_2}}{dt^2}=-G\frac{M}{|\vec{r_2}-\vec{R}|^2}\hat{n}$

Επειδή δεν το κατέχω το latex (

), θα κάνω μια πρόχειρη περιγραφή του τι νομίζω πως γίνεται.

Ο φλοιός συμπεριφέρεται σε σχέση με το σώμα Μ σα να βρισκόταν όλη η μάζα του συγκεντρωμένη στο κέντρο (εφ' όσον είναι ομογενής). Από το πως δίνεται το πρόβλημα, το βαρυτικό κέντρο της μάζας m (αυτής που είναι μέσα στο φλοιό) ταυτίζεται με το βαρυτικό κέντρο του φλοιού. Γι' αυτό και οι δύο εξισώσεις έχουν R. Τώρα, τα r1 και r2 μεταβάλλονται στο χρόνο σε συνάρτηση των (βαρυτικών) αλληλεπιδράσεων φλοιού-Μ και m-M. Καθώς τη στιγμή t=0 ισχύει r1=r2=0, εκείνη τη στιγμή είναι και τα πρώτα μέλη ίσα. Δηλαδή, οι ρυθμοί μεταβολής των ρυθμών μεταβολής των r1,r2 θα είναι ίσοι. Επειδή τη στιγμή t=0 όλες οι μάζες είναι ακίνητες, οι ρυθμοί μεταβολής των r1,r2 την t=0 είναι επίσης ίσες με μηδέν. Έτσι έχεις δυο ποσότητες (r1,r2) που είναι ίσες και μεταβάλλονται με τον ίδιο ρυθμό. Repeat. Έτσι, θα συνεχίσουν να είναι ίσες.

apolski έγραψε:Μου αρεσει που λεγατε οτι ειναι προβλημα για παιδια λυκειου

Βασικά, μάλλον το μπερδεύει ο τρόπος που έχεις πάρει τις αποστάσεις και η προσέγγιση. Με Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας και αποστάσεις μετρημένες από το κέντρο της M νομίζω πως βγαίνει πιο εύκολα.

Παρ Αύγ 13, 2010 12:57 pm

Αυτο που γραφεις δεν ειναι μαθηματικη λυση του συστηματος των τριων δ.ε. αλλα μια διαισθητικη λυση του προβληματος (με την οποια νομιζω οτι συμφωνω). Αυτο που πρεπει να βρεις ομως ειναι τρεις συναρτησεις του χρονου... Επιπλεον δεν λαμβανεις υποψιν την τριτη εξισωση του συστηματος χωρις την οποια οι δυο πρωτες δεν αποτελουν συστημα δ.ε.

Αυτο που σκεφτηκα ειναι να ολοκληρωσουμε την τριτη εξισωση δυο φορες, ετσι θα βρουμε μια γραμμικη σχεση αναμεσα στις συναρτησεις r1(t),r(2) και R(t) (αυτο το χρειαζομαστε για να βρουμε το R μετα, αν και για το προβλημα μας δεν ειναι απαραιτητο). Οι δυο πρωτες εξισωσεις εχουν ακριβως την ιδια μορφη, μονο με διαφορετικο συμβολισμο των συναρτησεων τους. Επομενως η λυση τους θα δωσει δυο συναρτησεις που θα διαφερουν μονο κατα μια στεθερα η οποια αν εφαρμοσουμε τις αρχικες συνθηκες που μας δινονται ειναι μηδεν (τωρα ποιες ακριβως θα ειναι οι λυσεις δεν ξερω γιατι η δ.ε αυτη δεν ειναι ευκολη και δεν ξερω πως λυνεται αλλα αυτο δεν παιζει κανενα ρολο γιατι θελουμε απλως να δειξουμε οτι ειναι ισες). Οποτε r1(t)=r2(t) kai ayth η σχεση ικανοποιει και την γραμμικη σχεση που προκυπτει απο την τριτη δ.ε. Thats it. So Tsolkas is completely wrong

Edit: Να διορθωσω λιγο αυτο που ειπα. Οι συναρτησεις r1 kai r2 θα ειναι της μορφης r1(t)=b1*f(t)+b2 kai r2(t)=c1*f(t)+c2 και οι αρχικες συνθηκες θα δωσουν b2=c2 kai b1=c1.

Παρ Αύγ 13, 2010 2:37 pm

ΚΙ εγώ αυτό που περιέγραψες σκέφτηκα, αλλά λόγω ζέστης δε μπορώ να κάνω τους σχετικούς υπολογισμούς για να επαληθεύσω

.

Αλλά προτείνω Διατήρηση Ενέργειας. Αρκετά απλούστερη οδός, αν πάρουμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το βαρυτικό κέντρο της μάζας M... Κι είναι και φυσική Λυκείου!

apolski έγραψε:So Tsolkas is completely wrong

Παρ Αύγ 13, 2010 3:36 pm

Falgorn έγραψε: Αλλά προτείνω Διατήρηση Ενέργειας. Αρκετά απλούστερη οδός, αν πάρουμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το βαρυτικό κέντρο της μάζας M...

Μπορεις να το γραψεις αυτο? Νομιζω οτι επειδη το συστημα εχει τρεις βαθμους ελευθεριας θα χρειαστεις τουλαχιστον αλλες δυο εξισωσεις.

Παντως αν δεν κανω λαθος εχει αποδειχθει οτι το n-body problem για n=3,4,5... δεν εχει γενικη αναλυτικη λυση παρα μονο προσεγγιστικες λυσεις. Yπαρχουν ομως καποιες πολυ ειδικες περιπτωσεις (αρχικες συνθηκες) που επιτρεπουν την επιλυση του προβληματος.

ΣΕΜΦΕ forum

Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού

Re: Το πρόβλημα του σφαιρικού φλοιού