Νάμαστε πάλι.....Ερώτηση κρίσεως...
Θέμα 4ο κανονική μαθηματικού εφαρμογών 2010, έχουμε το
 = y(L) = 0)
Μή τετριμμένες λύσεις βρίσκουμε μόνο για λ > 1 και τα ζεύγη ιδιοτιμών - ιδιοσυναρτήσεων που προκύπτουν είναι :
 = \sqrt{\frac{2}{L}}e^x\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\qquad n = 1,2,\ldots)
όπου έχω πάρει κατευθείαν τις κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις, που προκύπτουν αφού φέρουμε το πρόβλημα σε μορφή Strum:
'+\lambda e^{-2x}y=0)
και από την οποία προκύπτει η σχέση ορθοκανονικότητας :
y_n y_m dx=\delta_{n,m},\qquad w(x)=e^{-2x},\qquad \delta_{n,m}=\begin{cases} 1\qquad n=m \\ 0\qquad n\neq m\end{cases})
Τώρα θέλουμε να επιλύσουμε το ημιομογενές
 = y(L) = 0)
Το οποίο είναι ισοδύναμο με το
' + 2e^{-2x}y = e^{-x} \qquad x \in [0,L], \qquad y(0) = y(L) = 0)
Σύμφωνα λοιπόν με την θεωρία τα ιδιοδιανύσματα του ομογενούς αποτελούν μία ορθοκανονική βάση του χώρου των συνεχών συναρτήσεων στο [0,L] και έτσι η λύση του ημιομογενούς (άν υπάρχει) η οποία θα είναι αναγκαστικά συνεχής αφού είναι διαφορίσιμη, θα μπορεί να γραφτεί ώς :
όπου η τελευταία ισότητα ισχύει λόγω του ότι τα ιδιοδιανύσματα είναι κανονικοποιημένα, και η ισότητα της λύσης με την σειρά είναι κατά norm, ενώ αν η λύση έχει συνεχείς παραγώγους μέχρι και δεύτερης τάξης η σύγκλιση είναι και ομοιόμορφη.
Τώρα ορίζουμε τον γραμμικό διαφορικό τελεστη
')
ο οποίος ικανοποιεί τις:
Αφού οι
και
είναι λύσεις του ομογενούς και του ημιομογενούς αντίστοιχα.
Επίσης σύμφωνα με την ταυτότητα Lagrange αφού οι συναρτήσεις
και
ικανοποιούν τις ίδιες συνοριακές συνθύκες ισχύει ότι:
Έτσι έχουμε τα επόμενα :
y_n dx=\int_{0}^{\qquad L} e^{-x} y_n dx - 2\int_{0}^{\qquad L} e^{-2x}\phi y_n dx = \int_{0}^{\qquad L} e^{-x} y_n dx - 2a_n)
Συνεπώς έχουμε
και αφού
 dx = \frac{1}{1-\frac{n^2\pi^2}{L^2}} \sqrt{\frac{2}{L}} \int_0^{\qquad L} \sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx)
Από το οποίο καταλήγουμε στο τελικό αποτέλεσμα
^n\right))
Έτσι η λύση του ημιομογενούς θα είναι η
 = \sum_{n=1}^{\infty} a_n y_n = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{1-\frac{n^2\pi^2}{L^2}} \sqrt{\frac{2}{L}}\dfrac{L}{n\pi}\left(1-(-1)^n\right) \sqrt{\frac{2}{L}}e^x\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right))
Απλοποιώντας όσο γίνεται
 = \sum_{n=1}^{\infty} a_n y_n = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2L^2\left(1-(-1)^n\right)}{n\pi\left(L^2-n^2\pi^2\right)}e^x\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right))
Στην συνέχεια και για να φτάσουμε στο ζουμί του θέματος μας ζητείται να εκφράσουμε την συνάρτηση
ώς στην ορθοκανονική της ανάπτυξη ώς πρός τις ιδιοσυναρτήσεις του προβλήματος. Έχουμε
 \right) \sqrt{\frac{2}{L}}e^x\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\rightarrow)
 \right)e^x\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{2\left(1-(-1)^n\right)}{n\pi}e^x\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right))
Παραδίδουμε την κόλλα μας και είμαστε ευχαριστιμένοι... ή μήπως όχι?
Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση
είναι λύση του ημιομογενούς... η οποία θα πρέπει να είναι και μοναδική αρα οι συντελεστές στα δύο αναπτύγματα θα έπρεπε να είναι ίσοι αφού για δεδομένη ορθοκανονική βάση του χώρου έχουμε μοναδική αναπαράσταση, αυτό όμως δεν ισχύει.......
Τί μλκσ που είμαι!!!!
τώρα μόλι συνειδητοίησα ότι το μή ομογενές γενικά έχει λύση μοναδική ανν το ομογενές έχει μόνο την τετριμμένη!!! grrrrrrrr τσάμπα το post
P.S Αλήθεια πόσες ασκήσεις πρέπει να έχει λύσει κάποιος από κάθε τύπο προβλήματος ώστε να καταφέρει να γράψει 6 τέτοια θέματα μέσα σε τρείς ώρες?
Facebook
Reddit
Discord Invitation
