BILLYDELUXE έγραψε:Ξέρει κανεις πως λυνετε το θέμα με το θεώρημα ύπαρξης κ μοναδικοτητας λύσης για το ΠΑΤ;;;
Για παράδειγμα στην κανονική του 2012 ρωτά αν ισχύει το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας για το
=0)
.
Γενικά, αν προσπαθήσεις να δείξεις ότι το θεώρημα ισχύει, προφανώς το μόνο που έχεις να κάνει είναι να ελέγξεις ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του. Μερικές φορές βολεύει να παραγωγίσεις ως προς y και να δείξεις ότι έχει φραγμένη παράγωγο. Εδώ
= \sqrt{|y|}+y^2)
η οποία δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, οπότε σε αυτή την περίπτωση το ξεχνάμε αυτό.
Αν προσπαθήσεις να δείξεις ότι το θεώρημα δεν ισχύει, αυτό μπορείς να το επιτύχεις με δύο τρόπους, ο ένας είναι να δείξεις ότι κάποια προϋπόθεση του θεωρήματος αποτυγχάνει, ενώ ο δεύτερος είναι να βρεις δύο διαφορετικές λύσεις του προβλήματος, οπότε αφού έχεις δείξει ότι το πρόβλημα έχει περισσότερες της μιας λύσεις, αποκλείεται να ισχύει το θεώρημα μοναδικότητας.
Στο παράδειγμά μας τώρα, υποψιαζόμαστε ότι δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος. Μπορείς να βρεις δύο διαφορετικές λύσεις; Μια προφανής είναι η μηδενική, ενώ μια δεύτερη δεν είμαι σίγουρος αν είναι και τόσο εύκολο να βρεθεί.
Μπορούμε όμως πολύ εύκολα να δείξουμε ότι η βασική προϋπόθεση του θεωρήματος αποτυγχάνει. Συγκεκριμένα, αν ίσχυε το θεώρημα μοναδικότητας, θα έπρεπε να υπάρχει σταθερά κ τέτοια ώστε
-f(x,y_2)|<k|y_1-y_2|, \ \ \forall y_1,y_2 \in [-\epsilon,\epsilon])
για κάποιο θετικό ε. Όμως
-f(x,y_2)|=\left|\sqrt{|y_1|}+y_1^2-\sqrt{|y_2|}+y_2^2\right|<k|y_1-y_2|,\ \ \forall y_1,y_2 \in [-\epsilon,\epsilon])
. Επιλέγοντας

, έχουμε ότι

, το οποίο προφανώς είναι άτοπο.